2023年高考数学大题练习（新高考） 19 独立性检验 含解析

专题19独立性检验

一、解答题

1.(2022.全国•高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯

(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称

为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到

的人患有该疾病镭拼与谓义的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为R

P(AB)P(A∖B)

(i)证明:

P(A∣B)P(A∣B)

(ii)利用该调查数据，给出P(AIB),P(A∣耳)的估计值，并利用(i)的结果给出R的估

计值.

Mad-be)2

(a+⅛)(c+d)(a+c)(b+d)

P(κ1≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)R=6;

【解析】

【分析】

⑴由所给数据结合公式求出代的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握

认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)⑴根据定义结合条件概率公式

即可完成证明；(ii)根据(i)结合已知数据求R.

(1)

K'”(αd-6c)2=200(40x90-60x10)2=24

"J"—(α+7)(c+d)(α+c)S+d)--50×150×100×100-’

又P(K2>6.635)=0.01,24>6.635,

所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.

⑵

P(BlA)P(B∣A)P(AB)P(A)尸(福P(∙)

⑴因为R=------------------■''_一,一一•,

P(B∣A)P(BIN)P(A)P(AB)P(A)P(AB)

P(AB)尸(B)尸(X耳)P曲

所以R=

P(B)P(AB)P(B)P(AB)

P(AlB)P(AjB)

所以R=

P(A[B)P(A∖B)

(ii)

由已知P(4∣B)=更，尸(AI分)=”，

-60--90

又P(4∣B)=",P(A∣B)=-

100IOO

所以R=

PalB)P(A∣B)

2.(2022•全国•高考真题(文))甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为

了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面

列联表：

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

n(ad-be)2

(Q+⅛)(c+d)(o+CXb+d)

P(K2..&)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

127

【答案】(I)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为"，ʌ

13O

⑵有

【解析】

【分析】

(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；

(2)根据表格中数据及公式计算K"再利用临界值表比较即可得结论.

(1)

根据表中数据，4共有班次260次，准点班次有240次,

设A家公司长途客车准点事件为M,

240_12

则P(M)

260--∣3

8共有班次240次，准点班次有210次,

设B家公司长途客车准点事件为N,

2107

则P(N)=函

8

A家公司长途客车准点的概率为TZ:

7

8家公司长途客车准点的概率为

O

(2)

列联表

准点班次数未准点班次数合计

A24020260

B21030240

合计45050500

.2=n(ad-bc)’

(o+⅛)(c+(/)(«+c)(b+d)

_500x(240x30-210x20)2

------------------------------------≈3.205>2.706,

260×240×450×50

根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公

司有关.

3.(2021•全国•高考真题(文))甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和

二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量

情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

(I)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

n(ad-bc)2

(«+b)(c+d)(a+c)(b+d)

p(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)75%；60%；

(2)能.

【解析】

【分析】

根据给出公式计算即可

【详解】

(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为登=75%,

120

乙机床生产的产品中的一级品的频率为亚=6。％.

⑵KJ嘿蒸察坐…，

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

4.(2022∙四川省内江市第六中学模拟预测(理))国内某大学有男生6000人，女生4000人，

该校想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取IOO人,

调查他们平均每天运动的时间(单位：小时)，统计表明该校学生平均每天运动的时间范围

是[0,3],若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学

生为''非运动达人根据调查的数据按性别与“是否为‘运动达人进行统计，得到如下2×2列

联表：

运动时间

运动达人非运动达人合计

性别

男生36

女生26

合计IOO

(1)请根据题目信息，将2x2列联表中的数据补充完整，并通过计算判断能否在犯错误概率

不超过0.025的前提下认为性别与“是否为‘运动达人有关；

(2)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查该校的3名男生，设调查的3人中运动达

人的人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)及方差O(X).

附表及公式：

P(K2≥%)0.150.100.050.0250.010

⅛o2.0722.7063.8415.0246.635

„9n(ad-bc)^..,,

K-----------------------,其+中"=a+b+c+d.

(α+⅛)(c+J)(α+c)(b+d)

【答案】(1)列联表答案见解析，在犯错误概率不超过0∙025的前提下，可以认为性别与“是

否为‘运动达人有关

918

(2)分布列答案见解析,E(X)=;,D(X)=-

525

【解析】

【分析】

(I)根据题意完善2x2列联表，根据卡方公式计算出K2,结合临界表即可得出结论；

(2)根据题意可知随机变量X满足二项分布，求出对应事件的概率，列出随机变量的分布列，

结合二项分别的数学期望和方差公式直接计算即可.

(1)

由题意，该校根据性别采取分层抽样的方法抽取的IOO人中，有60人为男生，

40人为女生，据此2x2列联表中的数据补充如下.

所以在犯错误概率不超过0.025的前提下，可以认为性别与“是否为‘运动达人有关.

(2)由题意可知，该校每个男生是运动达人的概率为票=3，

故X可取的值为0,1,2,3,

所以P(X=O)TlJllJ卷，P(X=D=C(I『国噌，

52)=噬Π沪卷3)=咱⑶嗯.

X的分布列为:

X0123

8365427

P

125125125125

ɜQ32IR

ΛE(X)=3×-=-,D(X)=3×-×-=-

555525

5.（2022.青海•海东市第一中学模拟预测（文））某公司为了解用户对公司生产的产品的满

意度做了一次随机调查，共随机选取了100位用户对其产品进行评分.用户对产品评分情况

如表所示（已知满分100分，选取的100名用户的评分分值在区间[70,100）上）.

选取的100名用户中男性用户评分情况:

得分[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

男生人数711181288

选取的100名用户中女性用户3Z分情况：

得分[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

女生人数3912822

⑴分别估计用户对产品评分分值在[70,80）,[80,90）,[90,100）的概率;

（2）若用户评分分值不低于80分，则定位用户对产品满意.填写下面的2x2列联表，并分析

有没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关?

男性用户女性用户合计

对产品满意

对产品不满意

合计100

n{ad-⅛c)2

参考公式与数据：K2=,n=a+b+c+d.

(〃+h)(c+d)(o+c)(h+d)

p(κ1训0.0500.0250.0100.0050.001

k3.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴士3」1，1

1025

(2)表格见解析•，没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关.

【解析】

【分析】

(1)利用古典概型分别去求用户对产品评分分值在［70,80),［80,90),［90,100)的概率；

(2)先按要求填写2x2列联表，再计算出K?并与3.841进行大小比较，进而判断是否有95%

以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关.

(1)

由统计数据得，用户对产品评分分值在［70,80)的概率为=黑=日,

用户对产品评分分值在［80,90)的概率为I"；京2+8=喘=；,

用户对产品评分分值在［90,100)的概率为殳W詈=H=

1OO1005

(2)

男性用户有64人，女性用户有36人，根据统计数据得到2x2列联表:

男性用户女性用户合计

对产品满意462470

对产品不满意181230

6436100

小嗤蒜鬻O.".

所以没有95%以上的把握认为用户对产品满意与否与性别有关.

6.(2022・全国.模拟预测)某社区为庆祝中国共产党成立100周年，举办一系列活动，通过

调查得知其中参加文艺活动与体育活动的居民人数如下表：

男性女性合计

文艺活动1530

体育活动2010

合计

(1)补全上表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为参加活动的类型与性别

有关？

(2)在参加活动的男性居民中，用分层抽样方法抽取7人，再从这7人中随机抽取3人接受

采访，记抽到参加文艺活动的人数为X,求X的分布列与期望.

附:

P-k。)0.050.0250.0100.∞50.∞l

&03.8415.0246.6357.87910.828

n(ad-hc)2

其中“=α+b+c+d.

(α+%)(c+d)(q+c)(Z>+d)，

【答案】(1)填表见解析；在犯错的概率不超过0∙5%的前提卜，可以认为参加活动的类型与

性别有关

9

(2)分布列见解析；期望为/

【解析】

【分析】

(I)先直接补齐联列表，然后计算K?,即可求解；

(2)先求出参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取值为0,I,

2,3,再求出每个值所对应的概率即可求解

(1)

依题意，2x2列联表如下：

男生女生合计

文艺活动153045

体育活动201030

合计354075

K?=\二叱30X2叱=225。8036>7879,

45×30×35×4028

故在犯错的概率不超过0.5%的前提下，可以认为参加活动的类型与性别有关.

(2)因为男性居民中参加文艺活动的有15名，参加体育活动的有20名，用分层抽样方法抽

取7人，则参加文艺活动的应抽取3人，参加体育活动的有4人，则X的可能取值为0,1,

2,3,

所以尸(X=O)=警=AP(X=I)=警=能

P(X=2)=管嚼Pd=*/

所以X的分布列为

X0123

418121

P

35353535

4IR1?1Q

所以E(X)=OX—+lx'+2x—+3x—=Z

'J353535357

7.（2022•山西大附中三模（文））甲、乙两所学校高三年级分别有IOOO人，IlOO人，为了

了解两所学校全体高三年级学生高中某学科基础知识测试情况,采用分层抽样方法从两个学

校一共抽取了105名学生的该学科成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在

[120,15OJ内为优秀.

甲校:

分[70,[80,[90,[100,[110,[120,[130,[140,

组80)90)100)110)120)130)140)150J

频

12981010X3

数

乙校:

分[70,[80,[90,[100,[110,[120,[130,[140,

组80)90)100)110)120)130)140)150]

频

23101515y31

数

（1）计算X,y的值;

（2）由以上统计数据填写下面2X2列联表，若按是否优秀来判断，是否有97.5%的把握认为

两个学校的数学成绩有差异？

甲校乙校总计

优秀

非优秀

总计

独立性检验临界值表:

2

P(κ≥ko)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

卜02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】⑴x=7,y=6

(2)有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异

【解析】

【分析】

(I)由分层抽样计算甲乙两校分别抽取的人数，结合表格即可求解：(2)补充列联表，11'

算卡方，根据独立性检验的性质判断.

(1)

由题可知，采用分层抽样共抽取105人，IoOo:1100=10:11,

所以甲校抽取105x4=50人，乙校抽取105义十55人，

故l+2+9+8+10+10+x+3=50,解得x=7,

2+3+10+15+15+y+3+l=55,解得y=6；

(2)

由频数分布表可得2x2列联表为

甲校乙校总计

优秀201030

非优秀304575

总计5055105

所以KJ吗黑30分-3

故有97.5%的把握认为两个学校的数学成绩有差异.

8.(2022.全国.模拟预测(文))在一次数学考试中，将某班所有学生的成绩按照性别绘制

成如下茎叶图，规定；分数不低于125分为优秀.

男生女生

210137

346691144678

2345689120144479

124557813346689

(I)求本次成绩的众数、中位数;

(2)从该班中任意抽取一位学生，求该学生成绩优秀的概率；

(3)完成下列2x2列联表,并判断是否有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关？

数学成绩男生女生总计

优秀

不优秀

总计

n(^ad-bc)^

附：K2，其中〃=α+b+c+d.

(α+⅛)(c+t∕)(α+c)(⅛+J)

2

P(κ≥ko)0.150.100.050.0250.010

即2.0722.7063.8415.0246.635

【答案】(1)众数为124,中位数为127.5

(3)答案见解析

【解析】

【分析】

(1)根据茎叶图可得答案；

(2)由图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，根据古典概型概率计算公式可得

答案；

(3)根据茎叶图完成2x2列联表，代入市可得答案.

(1)

197-μ192

本次成绩的众数为124,中位数为;=127.5.

(2)

由图可知，该班有50名学生，成绩优秀的有28名，所以从该班中任意抽取一名学生，该学

OQ14

生成绩优秀的概率为P=*=石.

(3)2x2列联表如下，

数学成绩男生女生总计

优秀161228

不优秀91322

总计252550

K2=50x06x13-12x9)=理=1299，因为L299<2.705,

28×22×25×2577-

所以没有90%的把握认为学生数学成绩是否优秀与性别有关.

9.(2022•青海西宁•二模(文))第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京开幕，本次

冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情

况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为IOm(meN*).统计得到以

下2x2歹IJ联表，经过计算可得/°4.040.

力生.女生合计

「解6m

不了解Sm

合计∖QmIOzw

(1)求加的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关;

(2)为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥

运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取2人进行面对面交流，求“至少抽到一

名女生”的概率.

附：独立性检验临界值表

i2

I(κ>ko)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001•••

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828・・・

n(ad-bc)-

(参考公式：K2=其中“=4+0+c+d)

(α+⅛)(c+rf)(α+c)(⅛+d)

【答案】(l)∕n=20,有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关

【解析】

【分析】

(D根据题意完成表格，再根据公式计算即可；

(2)抽取的9人中男生的人数为4,设为。，h,c,d,女生的人数为5,设为1,2,3,4,

5,用列举法求解即可.

(1)

解：列联表如下表所示:

男生女生合计

了解6m5m1∖m

不了解4m5m9m

合计IOmIOzn20m

Mad-bCy20〃？(6mχ5"z-4mx5m)~20/n4040

则K2=

(4+b)(c+d)(〃+c)伍+d)10∕π×10∕n×lbn×9m9×11

因为m∈N*,可得机=20,

而4.040>3.841,且4.040V5.024

因此，有95%的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关.

⑵采用分层抽样的方法从抽取的不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，

这9人中男生的人数为4,设为CJb,c,d,女生的人数为5,设为1,2,3,4,5,

则从这9人中抽取2人的情况有：ab,ac,ad,a∖,a2,,。4,a5,be,bd,b∖,

b2,b3,⅛4,b5,cd,cl,c2,c3,c4,c5,d∖,d2,d3,d4,d5,12,13,14,

15,23,24,25,34,35,45,共36种；

其中这2人中至少抽到一名女生的有H,al,a3,。4,。5,bl,b2,b3,b4,⅛5,cl,

c2,c3,c∙4,c5,dl,d2,d3,J4,d5,12,13,14,15,23,24,25,34,35,

45,共30种.所以这9人中抽取2人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为

P=史=2.

366

10.(2022•吉林・沸南市第一中学模拟预测(文))某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是

否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如表：

喜欢统计课程不喜欢统计课程合计

男生20525

女生102030

合计302555

下面的临界值表供参考:

P(KNk0)0.0100.005

ko6.6357.879

(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？

(2)用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生做进一步调查，将这6名学生

作为一个样本，从中任选2人，求恰有1个男生和1个女生的概率.

屋(ad-bc)~

n=a+b+c+d,

(a+⅛)(c÷J)(a+c,)(⅛+J)

【答案】(1)见解析

【解析】

【分析】

(I)由公式计算出K2值，与题中所给的值进行比较可得答案；

(2)根据分层抽样的定义可知样本中有4个男生，2个女生，然后利用古典概型的概率公

式求解可得答案.

255x20x210x5

⑴由公式可得K=(°-)\11978>7,879，所以有99.5%的把握认为喜欢“应

30×25×25×30

用统计”课程与性别有关.

(2)设所抽样本中有小个男生，则卷=为，得加=4,所以样本中有4个男生，2个女生，

分别记作用，B2,B,,B4,Gl,G-

从中任选2人的基本事件有(4,员)，(4,4)，(B,Λ),(Bl,G1),(BI,G2),(B2,B3),(B2,B4),

(B2,G∣),(B2,G2),(B,,β4)>(4,G)'(j⅝,(⅞)>(δ4,G∣),(¾,G2),(GpG2),共15个，

其中恰有1个男生和1个女生的事件有(4,GJ,(β,,G2),(β2,G1),(B2,G2),(βvG,),

(&G)，(&，G)，(B4C),共8个，

Q

所以恰有1个男生和1个女生的概率为

11.(2022・河南•平顶山市第一高级中学模拟预测(文))2021年10月1日是中华人民共和国

第72个国庆日，很多人通过短视频APP或微信、微博表达了对祖国的祝福.某调查机构为

了解通过短视频APP或微信、微博表达对祖国祝福的人们是否存在年龄差异，将年龄不低于

45岁的人称为中老年，低于45岁的人称为青少年.通过不同途径调查了数千个通过短视频

APP或微信、微博表达对祖国祝福的人，并从参与者中随机选出400人.经统计这400人中通

9

过微信、微博表达对祖国祝福的有320人，其中中老年占二，这400人中通过短视频APP表

达对祖国祝福的青少年有28人.

(1)完成下列2x2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为通过短视频APP或微信、微博表达

对祖国的祝福与年龄有关？

通过短视频APP表达祝福通过微信、微博表达祝福合计

青少年

中老年

合计400

（2）从通过微信、微博表达对祖国祝福的320人中按照年龄分层抽样的方法抽取5人,再从这

5人中随机抽取2人，求这2人中恰好有一个是青少年的概率.

附：

∕>(K、4J0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

Qn(ad-bc]ɪ.

K2=------------———57-------7，其中1鹿=α+b+c+d.

(tz+⅛)(c+J)(tz+c)(∕7÷J)

【答案】（1）列联表答案见解析，有99.9%的把握认为通过短视频A/平或微信、微博表达对祖

国的祝福与年龄有关

【解析】

【分析】

（1）首先完成2x2列联表，再计算K?即可得到答案.

（2）根据古典概型公式求解即可.

（1）

由题意得2x2列联表：

通过短视频APP表达祝福通过微信、微博表达祝福合计

青少年28192220

中老年52128180

合计80320400

^^400x(28xl28-52xl92^i6i62>i0828,

80×320×220×180

所以有99.9%的把握认为通过短视频APP或微信、微博表达对祖国的祝福与年龄有关.

⑵抽取的5人中，青少年：192x37=3人，记为α,h,c；

中老年：128X言=2人，记为d,e.

从这5人中随机抽取2人有(α,6),(0,c),(a,<∕),(a,e),(b,c),(⅛,d),

(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),共10种情况.

其中恰好有一个是青少年的有(a,d),(α,e),Cb,d),(b,e),(c,d),(c,e),

共6种情况.所以这2人中恰好有一个是青少年的概率P=指=：.

12.(2022∙河南开封•模拟预测(理))大豆是我国重要的农作物，种植历史悠久.某种子实

验基地培育出某大豆新品种，为检验其最佳播种日期，在A,B两块试验田上进行实验(两

地块的土质等情况一致).6月25日在A试验田播种该品种大豆，7月IO日在B试验田播种

该品种大豆.收获大豆时，从中各随机抽取20份(每份1千粒)，并测量出每份的质量(单

位：克)，按照［100,150),［150,200),［200,250］进行分组，得到如下表格：

[100,150)[150,200)[2∞,250]

A试验田/份3611

8试验田/份6104

把千粒质量不低于200克的大豆视为籽粒饱满，否则视为籽粒不饱满.

(1)判断是否有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关？

(2)从A,B两块实验田中各抽取一份大豆，求抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率；

(3)用样本估计总体，从A试验田随机抽取IOO份(每份千粒)大豆，记籽粒饱满的份数为X,

求X的数学期望和方差.

参考公式：/+双端瀛+犷其中I+""」

2

P(κ≥k0)0.150.100.050.0250.0100.001

%2.0722.7063.8415.0246.63510.828

【答案］⑴;

⑶E(X)=55,O(X)=—

4

【解析】

【分析】

(1)根据完成列联表，然后根据公式K2=-_MmTC)计算六，再与临界值

(Q+Z?)(c+d)(Q+c)(0+d)

表比较可得结论，

(2)A,B两块实验田中各抽取一份大豆中，籽粒饱满的概率分别为，1,两份大豆都籽粒

949

不饱满的概率为三XW=石，再结合对立事件概率和为1求解即可;

(3)根据已知条件，结合二项分布的期望与方差公式，即可求解.

(1)

2x2歹IJ联表为

6月25日播种7月10日播种合计

饱满11415

不饱满91625

合计202040

,n(ad-hcY40×(l1×16-4×9)^

K?=_________1_______L_______=、___________I—X5227>5024

(α+h)(c+d)(α+c)(∕>+d)20×20×15×25

所以有97.5%的把握认为大豆籽粒饱满与播种日期有关.

(2)

A,8两块实验田中各抽取一份大豆，

抽取的大豆中有一份籽粒饱满的概率分别为益，ɪ,

两份大豆籽粒都不饱满的概率为[i-4b[i-1]=*,

故抽取的大豆中至少有一份籽粒饱满的概率为

916

1=—.

2525

(3)

从A试验田的样本中随机抽取1份小麦，抽到饱满的概率为非，

则X~8(100,益)，故E(X)=IOOX巧=55,

“111199

D(X)=I00×—×(1-----)=—.

20204

13.(2022.山东•德州市教育科学研究院三模)某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查,

调查男女生人数均为Io〃(”eN*),统计得到以下2X2列联表，经过计算可得K2。4.040∙

男生女生合计

喜欢6/7

不喜欢Sn

合计10〃IOn

(1)完成表格求出“值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；

(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随

机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；

②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜

欢的人数为X,求X的数学期望.

附表：

2

P(κ≥ko)0.100.050.0250.0100.001

即2.7063.8415.0246.63510.828

n^ad-be^"

(α+⅛)(c+J)(a+c)(⅛+t∕)

【答案】(1)列联表答案见解析，«=20,有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性

别有关；

c、20„11

⑵①②].

【解析】

【分析】

(1)利用给定数据完善2X2列联表，计算K?的观测值即可求出，，，再与临界值表比对作答.

(2)①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求

解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.

(1)

2×2列联表如卜表所示:

男生女生合计

喜欢6/?5nIln

不喜欢4,?5/79/2

合计10/?10/720〃

20〃X(6〃X5〃一4〃X5∕t)220〃,~八，C八

K-=-----------------------------=——≈4.040,而"∈N,十是m4得ra〃=20,

10π×10λ2×l↑n×9n99

又K?≈4.040>3.841,

所以有95%的把握认为该校学生对■长跑喜欢情况与性别有关.

(2)

①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人,这9人中男生的人数为

4,女生的人数为5,

再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率为

PTC4_20

eɜ8421

②由(1)知，任抽1人喜欢长跑的概率P=，，

依题意，X~8(10,与)，所以X的数学期望是E(X)=IOX二=1.

14.(2022•四川省泸县第二中学模拟预测(理))中国探月工程自2004年立项以来，聚焦“自

主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来''的目标，创造了许多项中国首次.2020年12月

17日凌晨，嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球，又首次实现了我国地外天体无人采样返

回.为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度，从该校高三学生中随机抽取了50

名学生进行调查，调查样本中有20名女生.如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图

(阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分).

关^:上没关注合计

男

女

合计

(1)完成上面的2×2列联表，判断是否有95%的把握认为对“嫦娥五号”的关注程度与性别有

关”？

(2)若将频率视为概率,现从该中学高三的女生中随机抽取3人.记被抽取的3名女生中对“嫦

娥五号''新闻关注的人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

n(ad-bc∖

附：K2=,其中“=α+b+c+d.

(α+A)(c+√)(α+c)(⅛+J)

【解析】

【分析】

(1)根据题意中的等高条形图完善2x2列联表，结合卡方公式计算出K2,比较临界值，利用

独立性检验的思想即可得出结论；

(2)根据二项分布求出随机变量对应的概率，结合求二项分布数学期望公式计算即可.

(1)

2x2列联表如下：

关注没关注合计

男151530

女61420

合计212950

所以K-=〃叱历I

(α+⅛)(c+rf)(α+c)(⅛+

50(15×14-15×6)2_1200

≈1.970<3.84b

2l×29×30×20609

所以没有95%的把握认为对“嫦娥五号”关注程度与性别有关.

123

(2)因为随机选一个高三的女生，对此事关注的概率为P=右=启,

4010

由题意可知随机变量X满足二项分布，即Xsfɜ,ɪv

所以有P(X=Z)=C

所以随机变量X的分布列为:

X0123

34344118927

P

IoooTooo1000Iooo

39

故E(X)=叩=3x元=元.

15.（2022・青海・大通回族土族自治县教学研究室三模（文））如今大家对运动越来越重视，

讨论也越来越多，时常听到有人说“有氧运动''和"无氧运动”，有氧运动主要的作用是健身，

而无氧运动主要的作用是塑形，一般的健身计划都是有氧运动配合无氧运动以达到强身健体

的目的.某健身机构对其60位会员的健身运动进行了一次调查，统计发现有氧运动为主的有

2

42人，30岁以下无氧运动为主的有12人，占30岁以下调查人数的M.

⑴根据以上数据完成如下2x2列联表；

有氧运动为主无氧运动为主总计

30岁以下12

30岁及以上

总计4260

（2）能否有99%的把握认为运动方式与年龄有关？

附：

p(κ2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：K=E翳蒜f其中―

【答案】（1）答案见解析

（2）没有99%的把握认为运动方式与年龄有关

【解析】

【分析】

（1）根据题干所给数据完善列联表；

（2）由（1）中列联表计算出卡方，即可判断；

（1）

2

解：依题意可得30岁以下的有12÷g=30人，贝Ij30岁以上的有60-30=30人,

所以2x2列联表如下表所示:

有氧运动为主无氧运动为主总计

30岁以下181230

30岁及以上24630

总计421860

⑵由题意，K=60x(24x12-18x6)2

≈2.857<6.635>

42×18×30×30

所以没有99%的把握认为运动方式与年龄有关.

16.(2022∙四川省宜宾市第四中学校模拟预测(文))为了助力北京2022年冬奥会、冬残奥

会，某校组织全校学生参与了奥运会项目知识竞赛.为了解学生的竞赛成绩(竞赛成绩都在区

间［50,100］内)的情况,随机抽取“名学生的成绩,并将这些成绩按照［50,60),［60,70),［70,80),

［80,90),［90,100］分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.其中［50,60),［60,70),

［70,80)三组的频率成等比数列，且成绩在［90,100］的有16A.

⑴求”的值；

(2)在这〃名学生中，将成绩在180,100］的学生定义为“冬奥达人”，成绩在［50,80)的学生定义

为“非冬奥达人请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“是否是冬奥达

人与性别有关”？并说明你的理由.

男生女生合计

冬奥达人30

非冬奥达

36

人

合计

n(ad-bc)2

参考公式：K2其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

2

P(K≥k0