2024届陕西省汉滨区数学高二年级上册期末联考试题含解析

2024届陕西省汉滨区数学高二上期末联考试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角”条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.过坐标原点。作直线/：(a—2)x+(a+l)y+6=0的垂线，垂足为“(〃2,“)，则加？+后的取值范围是()

A.[0,2@B.(0,2A/2]

C.[0,8]D.(0,8]

2.若数列｛4｝满足0102a3…a”=“2(”》2),则生=()

A.9B.3

94

C.一D.-

49

3.若函数=.3+2/+3ax-1在上有且仅有一个极值点，则实数。的取值范围为()

、35

A.a>——B.a<—

43

535//3

C.——<a<——D.——<a<——

3434

Y22

4.已知双曲线C:匕-^=l(m>0),贝！J“7〃>2”是“双曲线。的焦距大于4”的()

3m

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知/(x)=tanx,则/'(x)=()

11

AB-COS2

sin2XX

11

Csin2xD--COS2X

6.某城市2017年的空气质量状况如下表所示:

污染指数T3060100110130140

1£1721

概率P

W63301530

其中污染指数TW50时，空气质量为优；50<TW100时，空气质量为良；100<TW150时，空气质量为轻微污染,

该城市2017年空气质量达到良或优的概率为（）

31

A.-B.---

5180

15

C.—D.-

196

7.已知数列｛4｝是等差数列，其前"项和为S“，则下列说法错误的是（）

A.数列｛2%｝一定是等比数列B.数列｛In%｝一定是等差数列

C.数列工一定是等差数列D.数列｛an+an+l｝可能是常数数列

n

8.圆（x—2『+y2=4与圆（x+2y+（y+3）2=9的位置关系为（）

A.内切B.外切

C相交D.相离

9.ZkABC的两个顶点坐标A（-4,0）,B（4,0）,它的周长是18,则顶点C的轨迹方程是（）

2222

AA.——%+—y=\1B.^+—=1(归0)

259259

2222

C.—+—=l(y^0)D.—+—=l(j^0)

169v)259°'

10.经过点（1,0）且圆心是两直线%=1与x+y=2的交点的圆的方程为（）

A.(x-l)2+y2=1B.(x-l)2+(y-l)2=l

C.x2+(y-l)2=1D.(x-l)2+(y-l)2=2

11.正三棱柱ABC-各棱长均为1,尸为棱CQ的中点，则点A到平面上45的距离为（）

1R虚

A.—15.------

22

「V3

D.1

2

12.如图，在直三棱柱ABC-4用G中，4B=BC,AB，,若棱QC上存在唯一的一点尸满足^尸，尸3，则毁=

BC

)

1

A.—B.l

2

3

C.-D.2

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.向量a=(2,l,x),3=(2,%—1),若时=J?,且。_1人则犬+y的值为.

2

14.已知双曲线好一匕=1的左、右焦点分别为6,B，双曲线左支上点A满足AH，A鸟，则A£工的面积为

3一

15.已知函数/(x)=4分2+2(a—2)x—ln2x,若y=/(X)在定义域内有两个零点，那么实数”的取值范围为

16.已知几何体EFG—A3CD如图所示，其中四边形ABC。，CDGF,ADGE均为正方形，且边长为1,点M在OG

上，若直线MB与平面5E歹所成的角为45。，则。W=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知抛物线/=2px(p〉0)的焦点为凡点A(g,l)在抛物线上.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过点”(2,0)的直线交抛物钱C于A,B两点,。为坐标原点，记直线OB的斜率分别左一k2,求证：k芯

为定值.

18.(12分)如图，在长方体A3CD—4片£。1中，AB=AD=1,AAl=2,E是棱。，的中点

(1)求证：BC±AB1；

(2)求平面AB|E与平面ABC"夹角的余弦值；

(3)在棱CC上是否存在一点尸，使得石尸与平面所成角的正弦值为且，若存在，求出的长；若不存在,

3

请说明理由

19.(12分)已知椭圆C二+a=1(。〉6〉0)的离心率为手，短轴的一个端点到右焦点的距离为2.

(1)椭圆C的方程；

(2)设直线/：y=；x+"7交椭圆C于A,B两点,且求的值.

20.(12分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点A。,2)在抛物线C上

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C焦点厂的直线/交抛物线于P,。两点，若|PQ|=8求直线/的方程

21.(12分)如图在直三棱柱ABC—A4G中，NR4c=90,A8=AC=AA=2,/为A3的中点，N为片匕的

中点，〃是44中点，P是BG与耳C的交点，。是&N与的交点.

(1)求证：AC1BC,；

(2)求证：PQ平面A*；

(3)求直线PQ与平面AC"的距离.

V221

22.(10分)已知椭圆C：F+£v=l(a〉6〉0)的一个焦点坐标为尸(1,。)，离心率为不

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)。为坐标原点，点尸在椭圆C上，若△QPE的面积为二，求点尸的坐标

2

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】求出直线直线/：(a—2)x+(a+l)y+6=0过的定点A,由题意可知垂足是落在以为直径的圆上，由此

可利用m2+“2的几何意义求得答案，

【详解】直线/:(a-2)x+(a+l)y+6=O,即a(x+y)-2x+y+6=0,

x+y=0x=2

令4解得

[-2x+y+6=0〔丁=一2

即直线/：(a—2)x+(a+l)y+6=0过定点A(2,—2),

由过坐标原点。作直线/：(a—2)x+(a+1)y+6=0的垂线，垂足为H(m,ri),

可知：〃(加,")落在以。4为直径的圆上,

而以。4为直径的圆为(尤+1甘+(y-1)?=2,如图示:

故加2+”2可看作是圆上的点H(m,n)到原点距离的平方，

而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为|。4|=2应，

但将原点坐标代入直线/：(a—2)x+(a+l)y+6=0中，6=0不成立，

即直线/不过原点，所以〃(以”)不可能和原点重合，

故病+*e(0,8],

故选:D

2、C

【解析】利用前几项积与通项的关系可求得结果.

【详解】由已知可得的=文必&=|r=g.

I%24

故选：C.

3、C

【解析】根据极值点的意义，可知函数/(%)的导函数在上有且仅有一个零点.结合零点存在定理，即可求得。的取

值范围.

【详解】函数/(x)=g/+2x2+3ax—1

贝!I尸(％)=d+4x+3a

因为函数/(%)在d上有且仅有一个极值点

即尸(x)=f+4x+3a在匕,1]上有且仅有一个零点

根据函数零点存在定理可知满足0即可

代入可得[w+3a]•(5+3a)<0

解5得3:

34

故选:C

【点睛】本题考查了函数极值点的意义，函数零点存在定理的应用，属于中档题.

4、A

【解析】先找出“双曲线C的焦距大于4”的充要条件，再进行判断即可

【详解】若C的焦距2c=2历盛〉4,则〃?>1；若m>2,则2c>4

故选：A

5、B

【解析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.

■、斗由、〃，/、/、,/Si.n%、,cos2x+si•n2xI1

【详解】(犬)=(tan%)'=(-----)'=-----------------=一厂・

cosxcosXcosX

故选：B.

6、A

【解析】根据互斥事件的和的概率公式求解即可.

【详解】由表知空气质量为优的概率是、，

由互斥事件的和的概率公式知，空气质量为良的概率为

632

II3

所以该城市2017年空气质量达到良或优的概率P=-+-=-

10259

故选:A

【点睛】本题主要考查了互斥事件，互斥事件和的概率公式，属于中档题.

7、B

【解析】可根据已知条件，设出公差为d,选项A,可借助等比数列的定义使用数列｛%｝是等差数列，来进行判定；

选项B,数列｛Inq｝,可以取为V0,即可判断；选项C,可设+表示出口再进行判断；选项D,可

n

采用换元，令么=an+an+l,求得的关系即可判断.

【详解】数列｛4｝是等差数列，设公差为d,

Oan+1

选项A,数列｛%｝是等差数列，那么黄==2"为常数，

又2%>0,则数列｛2%｝一定是等比数列，所以选项A正确；

选项B,当4<0时，数列｛In4｝不存在，故该选项错误；

选项C,数列｛%｝是等差数列，可设S.MAI+B”(A、B为常数),

此时，Cn=^=An+Bf则CM—。〃=人为常数，

n

故数列一定是等差数列，所以该选项正确；

选项D,b“=an+an+1,则bn+i-bn=an+2+a,=2d,

当d=。时，bn+1-bH=O,此时数列｛%+4+J可能是常数数列，

故该选项正确.

故选:B.

8、B

【解析】求出两圆的圆心距与半径之和、半径之差比较大小即可得出正确答案.

【详解】由(x—2)2+y2=4可得圆心为(2,0),半径厂=2,

由(x+2)2+(y+3)2=9可得圆心为(—2,—3),半径H=3,

所以圆心距为^(-2-2)2+(-3-0)2=5=2+3=r+R,

所以两圆相外切，

故选：B.

9、D

【解析】根据三角形的周长得出|AC|+忸=再由椭圆的定义得顶点C的轨迹为以A,8为焦点的椭圆,

去掉A,B,C共线的情况，可求得顶点C的轨迹方程.

【详解】因为|AB|+|AC|+忸。=18,所以|AC|+忸q=10>|AB|,

所以顶点C的轨迹为以A,3为焦点的椭圆，去掉A,B,C共线的情况，即2a=10,c=4,，/=9,

22

所以顶点C的轨迹方程是土+2L=l(ywO),

259I'

故选：D.

【点睛】本题考查椭圆的定义，由定义求得动点的轨迹方程，求解时，注意去掉不满足的点，属于基础题.

10、B

【解析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.

即所求圆的圆心坐标为(1,1).

由该圆过点(1,0),得其半径为1,

故圆的方程为(x-l)2+(y-l)2=l.

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

11、C

【解析】建立空间直角坐标系，利用点面距公式求得正确答案.

【详解】设分别是AC,的中点，根据正三棱柱的性质可知。4,OB,。。1两两垂直,

以。为原点建立如图所示空间直角坐标系，

修，。“，

A。卜

=PB樗

M=(o,o,i).

设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),

n-PA=-y--z=0

则(厂2，故可超七九=(百,-3,6),

PRV311„

n-PB=——x——y——z=0

I222

n•"6_6_73

所以点A到平面PAB的距离为Mi'|

V3+9+364A/32

故选：C

12、D

【解析】设==%构建空间直角坐标系，令P(O,l"a)且0WXW1,求出必，BP，再由向量垂直的坐

标表示列方程，结合点P的唯一性有A=。求参数。，即可得结果.

【详解】由题设，构建如下图空间直角坐标系，若3。=1,3与=a>0,则8(0,0,0),^(1,0,a),P(0,l,4a)且

0W/IW1,

所以上=(L—1,(1—X)a),BP-(0,1,2a),又存在唯一的一点P满足4尸，尸3,

141

所以2•3P=X(1—X)/—1=0,则％2—彳+0,故A=1__=0,可得a=2,此时2=—,

aa2

所以普=2.

故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-4

【解析】根据同=百可求出x=o,再根据向量垂直即可求出y,即可得出答案.

【详解】因为a=（2』,X）,3=（2,%-1）,

所以同=亚仔17=逐，解得x=o,

又因为所以〃•〃=4+y=0,解得y=-4,

所以x+y=—4.

故答案为：-4.

14、3

【解析】由双曲线方程可得a=l/=G,c=2,利用双曲线定义，以及直角三角形的勾股定理可得IA1|=6,

由此求得答案.

2

【详解】由双曲线炉―2L=1的左、右焦点分别为耳，居，双曲线左支上点A满足AK，A月，

3--

可得：a=l,b=6,c=Ja2+及=2＞

则|你|一|4月|=2a=2,且|A匹『+|AKF=（2C）2=16,

222

故（|AF2\-\AFl|）=|AF2\+\AFl\-2\AF2\-\AFl|=4,

所以|A区|・|44|=6,

故A£I4A耳|=3，

故答案为：3

15、（0,1）

【解析】先求定义域，再求导，针对。分类讨论，结合单调性，极值，最值得到1+lna-工＜0,研究其单调性及其

a

零点，求出结果.

【详解】/■（力=4加+2（。-2》-心定义域为（0,+8）,

J（x）=8ax+2（a.2）T="+2（：—2）l=（2-？4x+l）,

当aW。时，/"（尤人。恒成立，“X）在（0,+e）单调递减，不会有两个零点，故舍去；

当0＞0时，在上/'（九）＞0,〃龙）单调递增，在上/'（九）＜0,〃龙）单调递减，故

/(x)min=/m=l+ln"L又因为Xf0时，/(%)-+<»,X—+8时，+8,故要想y=/(x)在

k乙ci)a

定义域内有两个零点，贝！Jl+lna——<0,令/z(a)=l+lna——，a>0,h'(a)=~+—>0,/z(a)单调递增，又

aaaa

/i(l)=0,故当ae(0,l)时，l+lna-^<0.

故答案为：(0,1)

16、3A/2-4##-4+3A/2

【解析】把该几何体补成一个正方体，如图ABC。-E2VFG,利用正方体的性质证明面面垂直得出直线M3与平面

3E尸所成的角，然后计算可得

【详解】把该几何体补成一个正方体，如图ABCD-硒FG,GN\EF=O,连接3。，

由。G,平面ENFG,EFu平面ENFG,得DG上EF,同理5NL5。，BN±GN

又正方形ENFG中，EF±GN,DGGN=G,DG,GNu平面DGNB,

所以EFL平面。GNB,而EFu平面班反，所以平面。GNB_L平面班尸，

所以平面DGNB内的直线BM在平面函1上的射影是BO,即ZMBO是直线MB与平面BEF所成的角，

ZMBO=45°,

tanZOBN=—=—，

BN2

tan45°-tanZOBN

tanZDBM=tan(45°-NOBN)=—=3-272

1+tan45°tanNOBN

1+—

BD=O，DM=BDtanZMBD=A/2(3-2A/2)=3A/2-4

故答案为：30-4

F

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）y2=2x

（2）证明见解析

【解析】（1）将点A（g,l）代入抛物线方程即可求解；

（2）当直线A3的斜率存在时，设直线A3的方程为y=k（x—2）,，

将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理即可求出左的值；当直线A3的斜率不存在时，由过点”（2,0）即可求出

点A和点3的坐标，即可求出左的值.

【小问1详解】

将点A（；,l）代入得l=2xgp,。=1,.•.抛物线的标准方程为/=2x.

【小问2详解】

当直线A3斜率存在时，设直线A5的方程为y=k（x—2）,A（%,%）3（%,%），

将<一之）联立得上2尤2—（4左2+2）x+4左2=0,

A=（4F+2）2-16^4=16Z:2+4>0,

4"2-1-7

由韦达定理得：x（+x2=-k2'为々=4,

卜k左2（再一2）—2）左—2左2（再+/）+4左？

2%%2石%2XlX2

(4左2+2)

+442

“2

\KJ9

-------=-1

4

当直线A8的斜率不存在时，由直线A3过点知(2,0),

则%1=%2=2,M=2,%=—2，

妙=士_1

左[左2=

%工24

综上所述可知，左1&2为定值为-1・

18、(1)证明见解析(2)巫(3)存点F,CF=46-1

6

【解析】⑴先证明，平面ABB^,由A用u平面ABB,,可证明结论.

⑵以分别为苍y*轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面A与E与平面ABC。的法向量，利用向量法求

求解即可.

(3)设b=x,0WxW2,则石尸=(1,0,%-1),则由向量法结合条件可得答案.

【详解】(1)在长方体ABCD—4与。1。中，AB1BC,BBl±BC

又AB?BB[3,所以，平面ABB^

又AB】u平面ABB^，所以3C，ABX.

(2)以AB,AD44,分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系

因为A3=AD=1,A4=2,石是棱。Q的中点

则4(0,0,0),4(1,0,2),石(0,1,1)

则勺=(0,0,1)为平面ABC。的一个法向量.

设巧=(%,y,z)为平面AB.E的一个法向量.

AB1-(l,O,2),AE=(O,l,l)

%-AB.=0%+2z=0

所以21，即

n2-AE=0y+z=0

取z=—1,可得4=(2,1,-1)

Y\*n2—1A/6

所以cos(4,“2

•n21x^66

如图平面A31E与平面ABC。夹角为锐角，所以平面AB.E与平面ABC。夹角的余弦值为—.

6

(3)设Cb=x,0<x<2,则/(1,1,%),£/=(1,0,%—1)

由(2)平面A与E的一个法向量4=(2,1,—1)

设EF与平面AB.E所成角为a

2-(x-1)

则sine=cos(EF,n?)=--------=-

3

'/EF-n2

解得x=-l土6，取》=#-1

所以存在点/，CE=«-1满足条件.

19、(1)——~Fy2=1；(2)m=+l.

4-

【解析】(1)通过短轴的一个端点到右焦点的距离可知a=2,进而利用离心率的值计算即得结论；

(2)设4(%,%),3(尤2,%).联立直线与椭圆方程，消去y得到关于上的一元二次方程，得到根与系数的关系，再

利用弦长公式即可得出.

j

a2-b2+.c2=2

【详解】解：(1)由题意可得c、行,

a2

解得：a=2,b=1,

2

二椭圆c的方程为土T■+：/=1；

4-

（2）设A（和％）,3（孙％）・

Xj+x2=-2m,XjX2=2m2-2,

222

\AB\=y/l+k|xj-x2|=xy/4m-8m+8

=非•-M=A/5‘

解得7"=±1.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、韦达定理、弦长公式，属于中档题.

20、(1)y2=4x

(2)y=x-l或y=-x+l

【解析】⑴把点的坐标代入方程即可；

(2)设直线方程，解联立方程组，消未知数，得到一元二次方程，再利用韦达定理和已知条件求斜率.

【小问1详解】

因为抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，所以设抛物线方程为尸=2加(，＞0)

又因为点4(1,2)在抛物线C上，所以4=2p,解得。=2,

所以抛物线的方程为V=4x；

【小问2详解】

抛物线C的焦点为b(1,0),

当直线/的斜率不存在时，|PQ|=4w8,不符合题意；

当直线/的斜率存在时，设直线，的方程为丁=左(*-1),

设直线I交抛物线的两点坐标为。(%,%)，Q(/，%)，

由‘得产必一产公2

Q+4)%+=0,A=16(Z:+l)>0,XI+X2=^±1,X1X2=1,

由抛物线得定义可知|PQ|=|+|Q刊=XI+T+々+£=XI+/+P=为+%+2=8,

*2:4

所以西+马=J^=6,解得左2=1,即&=±1,

K

所以直线/的方程为>=无-1或y=—x+l

21、(1)证明见解析

(2)证明见解析(3)逅

3

【解析】(1)法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过线面垂直证明，法三:根据三垂线证

明；

(2)法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量数量积证明，法二：通过面面平行证明线面平行；

(3)法一：通过建立空间直角坐标系，运用向量方法求解，法二：运用等体积法求解.

【小问1详解】

证明：法一：在直三棱柱A5C-4与G中，因为NR4c=90，以点A为坐标原点，

AB.CAM方向分别为XXZ轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.

因为A5=AC=明=2,所以A（0,0,2）,C（0,-2,0）,

5（2,0,0），G（0,—2,2）

所以BG=(-2,-2,2),AC=(0,—2,—2)

所以A。•Bq=(0,-2,-2)•(-2,-2,2)=0,

所以4。，3G.

法二：连接AC1，在直三棱柱ABC—A3iG中，有相，面ABC，

ABi面ABC,所以朋LAB,又NR4C=90，则ABLAC,

因为A&AC=A,所以A3上面ACG4

因为ACu面ACG4，所以A3,AC

因为A4jJ_AC,AC==2,

所以四边形A41c。为正方形，所以A。LAC1

因为A3cAG=A,所以AC上面ABC1

因为5C1U面ABC］，所以AC，3£.

法三：用三垂线定理证明：连接AG，在直三棱柱ABC-A与G中，有相，面ABC

因为ABi面ABC,所以，A3,又NR4C=90，则A3LAC,

因为A&AC=A,所以A3上面ACG4

所以6G在平面ACGA内的射影为AG，

因为四边形A41cle为正方形，所以4。，AC-

因此根据三垂线定理可知\CLBC,

【小问2详解】

证明：法一：因为A5=AC=A4=2,"为A3的中点，N为4G的中点，〃为A片中点，P是8C1与耳。的交

点,所以A(0,0,2)、C(0,—2,0)、P(L—1,1)、M(1,0,0)x^(l,-1,2)XH(1,0,2),依题意可知。为重心,则

4Q=§AN,

可得。与-所以P。［-*』］,

AC=（O,—2,-2），4"=（1，0，—2），设。=（x,y,z）为平面4cM的法向量,

n-A,C=Q-2y-2z=0

则》取z=］得尤=2,y=-1

n-\M=0x-2z=0

则平面4cM