2023高考数学复习练42　计数原理与概率

板块六概率与统计

微专题42计数原理与概率

高考定位1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结

合，以选择题、填空题为主；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知

识，有时也与函数、不等式、数列交汇考查；3.概率重点考查古典概型、条件概

率的基本应用.

真题演练感悟高考练真题明方向

1.(2022•全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽

取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

A∙5β∙3

八22

c∙5D3

答案C

解析从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取

法，

它们分别是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,

6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),

其中卡片上的数字之积是4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),

(4,6),共6种取法，

所以所求概率是P=*|.故选C.

2.(2022・新高考∏卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲

不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()

A.12种B.24种

C.36种D.48种

答案B

解析先将丙和丁捆在一起有A3种排列方式，然后将其与乙、戊排列，有AW种

排列方式，最后将甲插入中间两空，有Cj种排列方式，所以不同的排列方式共有

ASA洌=24（种）,故选B.

3.（2022•新高考I卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互

质的概率为（）

11

B-

Æ6-3

C，2D.§

答案D

解析从7个整数中随机取2个不同的数，共有C3=21（种）取法，取得的这2个

数互质的情况有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},

{415},{4,7},{5,6},{5,7},{5,8},{6,7},{7,8},共14种，根据古

典概型的概率公式，得这2个数互质的概率为P=弃14=争2故选D.

4.（2021∙新高考I卷）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中

有放回的随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，

乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字

之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

答案B

解析易知P（甲）=1,尸（乙）=t，P（丙）=⅛,解丁）=卷=.

.∙.P（甲丙）=O≠P（甲）P（丙），

产（甲丁）=表=尸（甲）尸（丁），

产（乙丙）=表≠P（乙）产（丙），

P（丙丁）=0≠P（丙）P（丁），

因此事件甲与丁相互独立.

5.（2021•北京卷）（丁一：『的展开式中常数项是

答案一4

解析二项展开式的通项为C∕（χ3）"（-1）AXI2F（O≤%W4,左∈N）.

令12—4左=0,得左=3,

故展开式中的常数项为ca(-i)3=-4.

热点聚焦分类突破研热点析考向

热点一排列与组合

I核心归纳

解决排列、组合问题的一般步骤

(1)认真审题弄清楚要做什么事情；

(2)要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少类；

(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及

取出多少元素.

例1(1)(2022•西安模拟)随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外,

现有3个完全相同的“雪容融”，甲、乙、丙3位运动员要与这3个‘'雪容融”

站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为()

A.36B.72

C.120D.432

(2)(2022•烟台模拟)“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或

间接产生的温室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产

生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.某“碳中和”研究中心计划派

5名专家分别到4B,C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且

每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为()

A.90B.150

C.180D.300

答案(I)B(2)B

解析(1)由于有3个完全相同的“雪容融”，则有且只有2个“雪容融”相邻等

价为将3个分成2组，插入3个运动员形成的4个空隙中，

则有AgA?=72(种)，故选B.

(2)5名专家的安排方法分为1+1+3或1+2+2,

若按1+1+3安排共有里日困=60(种)，

若按1+2+2安排共有yAl=90（种），

则共有60+90=150（种），故选B.

规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先安

排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理；（7）“小

集团”排列问题先整体后局部；（8）正难则反，等价转化.

训练1（1）（2022•石家庄模拟）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数

字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字如下表所示：

≡匚

火柴数字ΞH5EηB

所需火

255456376

柴根数

比如："1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式

全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可

以表示无重复数字的三位数的个数为（）

A.8B.12

C.16D.20

（2）（2022•宁德质检）小红同学去买糖果，现只有四种不同口味的糖果可供选择，均

为一元一颗，小红只有7元钱，要求钱全部花完且每种糖果都要买，则不同的选

购方法共有种（用数字作答）.

答案（I）D（2）20

解析（1）由题意可得，用2根火柴棒表示数字1,3根火柴棒表示数字7,4根火

柴棒表示数字4,5根火柴棒表示数字2,3或5,6根火柴棒表示数字6或9,7

根火柴棒表示数字8,

数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两级：2和6,3和5,组成两个数字，还

有数字只能为0,

这样组成的无重复数字的三位数个数为CJC从之+（3史以3=20.故选D.

（2）法一将7元钱分为4份，有{1,1,1,4},{1,1,2,3},{1,2,2,2}三

种情形，这三种情形买糖果的选购方法种数分别为c?,mc∣,c∣,所以不同的

选购方法共有α+C2QC∣+Cl=2O(种).

法二将7元钱分为4份，相当于将7枚1元硬币排成一排，用三个“隔板”隔

开，隔开的方法有Cg种，所以不同的选购方法共有CW=20(种).

热点二二项式定理

I核心归纳

1.求3+3”的展开式中的特定项一般要应用通项公式A+1=C勃f"∕=0,1,

2,…，〃).

2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类

讨论求解.

3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法.

4.求解系数和问题应用赋值法.

例2(1)卜&+9一2)的展开式中常数项为.

(2)(2022∙新高考I卷)(1一§@十力8的展开式中√/的系数为(用数字作

答).

(3)(2022,杭州二模)已知x4+x8=ɑo4^^ι(x—l)+α2(x—l)2+∙∙∙+(78(x—I)8,贝!jQo=

，a∖+03+05+47=.

答案(1)—20(2)-28(3)2136

解析⑴法一由(也+古一2了的展开式可知：常数项为CM-2)∙C卜田M+

α∙(-2)3=-20.

/ɪ

法二3古-W3=F

Xi，

/

1~~τT

则4+I=CUX旷(一1)〃'

∖√

=(-ιywy,

3—r

令亍=0,则r=3,

故常数项为74=(-lM=-20.

(2)(x+y)8展开式的通项「+I=C⅛χ8-y,尸=0,1,…，7,8.

令r=6,得T6+ι=dx2/;

令r=5,得A+ι=C如3y5,

所以(1一方。+训8的展开式中刈6的系数为cS-Q=-28∙

(3)在等式x4+x8=ao+βι(x—1)+42(%一I)?H-----∖~a^(χ-1)8中，

令X=I可得βo-2,

令x=0,可得40—41+42-43+44-45+06-47+48=0,①

令X=2,可得ao+m+02+43+44+45+06+47+48=272,②

②一①可得m+43+α5+α7=136.

易错提醒L二项式3+b)〃的展开式的通项公式〃+I=C∕L%"(A=0,1,2,…，

用表示的是二项展开式的第k+1项，而不是第左项.

2.要区分某项的二项式系数和系数.

训练2(1)(2022,淄博模拟)若(1—x)8=αo+6τι(l+x)+a2(l+x)2+,β∙+ɑɛ(ɪ+x)8,贝IJ

46=.

(2)已知(3x—1)"=4()+αlx+α2x2÷a3x3H----Fa,,x!∖n∈N*),设(3x—1)"展开式的各项

系数和为S”T"=m+α2+α3+…+^"("WN"),则S"与T"的大小关系是()

A.SaT"

B.Sn<Tn

C."为奇数时，Sn<Tl,,〃为偶数时，Sn>Tn

=

D.SnTn

(3)(2022・天津模拟)(x2+3x-4)4的展开式中含有％3项的系数为.

答案⑴112(2)C(3)144

解析(1)(1-x)8=(x-1)8=[(1+x)—2]κ=tzo+α∣(l+x)+α2(l+x)2+∙,,+as(l+ɪ)8,

所以o6=CR∙(-2)2=112.

(2)令X=1,得S"=αo+α1+α2+…+α*=2",

令X=O得的=(一1)",

所以Tn=a∖÷α2÷α3∏-----∖-al,=Sn-ao=Sn~(­1)”,

所以当〃为偶数时,τn=sn-∖<sn,

当〃为奇数时，Tn=Sn+∖>Sn,故选C.

(3)由题意得(x2+3χ-4)4=[(x+4)(x—l)]4=(x+4)4(χ-1)4,

r4

又由(x+4)4的展开式的通项为7;+ι=4CUʃ,

(x—1)4的展开式的通项为

4i

n+1=(-i)⅛^,

所以(f+3x—4)4展开式中χ3的系数为

4×C∣×(-l)4∙0+42×Ci×(-l)3∙CH43×C^×(-l)2∙CH44×0×(-l)∙C∣=16

-384+1536-1024=144.

热点三概率

I核心归纳

1.古典概型的概率公式

事件/中包含的样本点数

R')=试验的样本点总数.

2.条件概率公式

设a8为随机事件，且尸(z)>o,

P(AB)

则P(BM)=-万∙(/)一.

3.全概率公式

设4,A2,4是一组两两互斥的事件，A∖UA2U-UAII=Ω,且P(4)>0,/

n

=1,2,”，则对任意的事件BU。，有P(B)=ΣP(4)P(8∣4).

z=l

例3(1)(2022•青岛二模)二十四节气歌是为了方便记忆我国古时立法中的二十四

个节气而编成的小诗歌，体现着我国古代劳动人民的智慧.四句诗歌“春雨惊春

清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句诗歌

的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.若从24个节

气中任选2个节气，这2个节气恰好在一个季节的概率为()

ʌɪBj-

A-46B-23

C⅛D6

(2)(2022・济南模拟)济南素有“四面荷花三面柳，一城山色半城湖”的美名.现有

甲、乙两位游客慕名来到济南旅游，分别准备从大明湖、千佛山、的突泉和五龙

潭4个旅游景点中随机选择其中一个景点游玩.记事件4甲和乙至少一人选择

千佛山，事件8：甲和乙选择的景点不同，则条件概率尸(8^)=()

77

A∙T6B8

36

C.γD.y

答案(I)C(2)D

解析(1)从24个节气中任选2个节气，基本事件总数〃=C%,

这2个节气恰在一个季节的事件总数为4点，

所以这2个节气恰在一个季节的概率为

-4ci-AC

Po=E=万，故选c・

(2)根据题意，事件/发生的个数〃(∕)=4><4-3X3=7,

事件48同时发生的个数”(∕8)=C3XC!=6,

“n(AB)6一、

所以1P(B⑶=〃(/)一=亍故选ILD.

规律方法求概率的方法与技巧

(1)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)条件概率用条件概率公式及全概率公式求解.

(3)根据事件间关系，利用概率的加法、乘法公式及对应事件的概率公式求解.

(4)判断出特殊的分布列类型，直接套用公式求解.

训练3(1)(2022•南师大附中模拟)已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,

乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是90%,乙厂产品的合格率是80%,则从该

地市场上买到一个合格灯泡的概率是()

A.0.63B.0.24

C.0.87D.0.21

⑵(多选)(2022•重庆诊断)一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,

3,4,抛掷该正四面体两次，记事件加为“第一次向下的数字为1或2”，事件

N为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是()

A.事件M发生的概率为g

B.事件M与事件N互斥

C.事件M与事件N相互独立

D.事件M+N发生的概率为T

答案(I)C(2)AC

解析(1)设48分别表示抽得产品是甲厂、乙厂生产的，。表示抽得产品为合

格灯泡，

则由已知，P(A)=7Q%,P(B)=30%,

P(D∖A)=90%,P(DlB)=80%.

从该地市场上买到一个合格灯泡的概率可由全概率公式得

P(0=P(。⑷P(∕)+P(08)P(8)=7O%X9O%+3O%X8O%=O.87.

2I

(2)由题意可得，P(M)=a=],故A正确；

当两次抛掷的点数为(1,4)时，事件M与事件N同时发生，故事件M与事件N

不互斥，故B错误；

事件A/与事件N同时发生的情况有：(1,2),(1,4),(2,1),(2,3),共4种，

41

所以尸(MV)=M=不

Qɪ

又尸(M=m=]

P(MN)=P(MyP(N)=3乂'=不

故事件M与事件N相互独立，故C正确；

1113

P(Λf+TV)=P(A√)+P(N)-P(AfiV)=,+/―1=不故D错误.

故选AC

高分训练对接高考重落实迎高考

一'基本技能练

1.甲、乙、丙三人踢翅子，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过

4次传递后，毯子又被踢回给甲，则不同的传递方式共有()

A.4种B.6种

C.10种D.16种

答案B

解析分两类：当甲先踢给乙时，满足条件的传递方式有3种(如图)，

丙一乙一甲

甲~乙/7一甲

甲

\丙一甲

同理，当甲先踢给丙时，满足条件的传递方式也有3种.

由分类加法计数原理可知，满足条件的传递方式共有3+3=6（种）.故选B.

2.（2022∙豫北重点高中质检）连续掷两次骰子，则两次所掷点数之和为奇数的概率

为（）

11

A，2B.1

21

C3Dw

答案A

解析根据题意，连续掷一枚骰子两次，

基本事件总数w=6×6=36,

两次骰子正面向上点数之和为奇数包含基本事件共有2CJC4=18个，

1Q1

故所求概率

P=7J∑O=52∙

3.（2022・长沙二模）为纪念2022北京冬奥会成功举办，中国邮政发行了一组纪念

邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰

墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”，现从这套5枚纪念邮票中

任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为（）

31

A∙IOB，2

c7

IDIO

答案c

解析从这套5枚纪念邮票中任取3枚，有Cg=Io种取法，

而其中恰有1枚吉祥物邮票的取法有

C⅛∙C5=6种，

故从这套5枚纪念邮票中任取3枚，则恰有1枚吉祥物邮票的概率为P=&=|,

故选C.

4.（2022•北京海淀区模拟）在（衽一x）4的展开式中，一的系数为（）

A.B.1

C.-4D.4

答案B

4÷r

解析(市一X)4的展开式的通项公式为「+I=Ci(3)4丁(一X)，=(—1)(52,令

4+r

-y-=2,得r=0,

即X2的系数为(一1)°C*=1,故选B.

5.北京第24届冬奥会奥运村设有智能餐厅4人工餐厅8共两个餐厅，运动员

甲第一天随机地选择一餐厅用餐.如果第一天去/餐厅，那么第二天去/餐厅的

概率为0.7；如果第一天去8餐厅，那么第二天去〃餐厅的概率为0.8,运动员甲

第二天去/餐厅用餐的概率为()

A.0.75B.0.7

C.0.56D.0.38

答案A

解析设4表示第i天运动员甲去〃餐厅用餐(i=l,2),

设表示该运动员第一天去B餐厅用餐，则。=ZlU囱，且小，互斥.

由题意得P(I)=P(3)=0.5,P(Z200=0.7,尸(/2囱)=0.8,

.∙.运动员甲第二天去幺餐厅用餐的概率为

。(血)=P(Zl)P(∕2M∣)+P(3)P(42∣8∣)=O.5><0.7+0.5X0.8=0.75.故选A.

6.从1,2,3,4,5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到偶数的条件下，第

2次抽到奇数的概率是()

21

AqB∙2

3

c5DW

答案D

解析设事件4为第，•次抽到偶数，z=l,2,

,2×42233

则rl尸(4)=κ=g,尸⑷4)=/『正

.∙.在第一次抽到偶数的条件下，第2次抽到奇数的概率为

_ɪ

一,、P(AA)103辽、.

P(Z2∣z∣)=p(4i2)-=^y=w∙故选uD.

5

7.(2022•佛山模拟)小明上学可以乘坐公共汽车，也可以乘坐地铁.已知小明上学

乘坐公共汽车的概率为0.4,乘坐地铁的概率为0.6,而且乘坐公共汽车与地铁时，

小明迟到的概率分别为0.05和0.04,则小明准时到校的概率为()

A.0.954B.0.956

C.0.958D.0.959

答案B

解析设4="小明准时到校"，BI=“乘坐汽车”，B2=“乘坐地铁”，

由已知得P(Bl)=O.4,P(B2)=0.6,

P(A∣Bι)=1-0.05=0.95,P(NI82)=1-0.04=0.96.

由全概率公式，得

P(Z)=P(NIBi)P(Bi)+尸(/|&)P(82)=0.95X0.4+0.96X0.6=0.956.

8.(2022•衡阳三模)将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全

部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，/表示事件：“《三

国演义》分给同学甲”；8表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件:

“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是()

A.事件/与3相互独立B.事件Z与C相互独立

55

C.P(CM)=wD.P(8⑷=五

答案C

解析将这4本名著分别给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本有C2AW

=36个样本点，事件4含有样本点数为A1+C9A3=12,

121

则p^=36=y

同理尸(8)=P(0=;,

事件AB含有的样本点数为A专=2,

事件NC含有的样本点数为α+αα=5,

215

则P(ZB)=数=至P(NC)=为

对于A,尸(Z)∙尸(8)=t≠P(∕8),

即事件Z与5不相互独立，A错误；

对于B,P⑷P(C)=TWPQ4C),

即事件Z与C不相互独立，B错误；

p(Zc)5

对于C,PQ)=p(∕)=T^故选项C正确；

对于D,尸(8⑷=尸(/)=,故选项D错误.

故选C.

9.(多选X2022•盐城模拟)从甲袋中摸出一个红球的概率是:，从乙袋中摸出一个

红球的概率是去从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是()

A.2个球都是红球的概率为上

B.2个球不都是红球的概率为:

-2

C.至少有1个红球的概率为1

D.2个球中恰有1个红球的概率为g

答案ACD

解析由题可知，从甲袋中摸出一个红球的概率是去从乙袋中摸出一个红球的概

率是看

则从甲袋中摸出一个不是红球的概率是2宗从乙袋中摸出一个不是红球的概率是宏1

对于A选项，2个球都是红球的概率为;Xi=；,A选项正确；

对于B选项，2个球不都是红球的概率为1一;xg=∙∣,B选项错误；

212

对于C选项，至少有1个红球的概率为1-]X∕=g,C选项正确；

对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率gxg+∣∙χg=g,D选项正确.

故选ACD.

10.（多选）已知函数4X）=[3χ-j,则下列关于段）的展开式的命题中，正确的

是（）

A.当〃=11时，加）的展开式共有11项

B.当〃=8时，√（x）的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为1:2

C.当”=7时，/（x）的展开式中，各项系数之和为一1

D.若第4项和第5项的二项式系数同时最大，则〃=7

答案BD

解析对于A,易知当〃=11时，危）的展开式共有12项，故A错误；

对于B,当〃=8时0）的展开式第3项与第6项的二项式系数之比为惹=靛=；，

故B正确；

对于C,当〃=7时，/（x）=（3x—|）,令x=l,得/（1）=1,故C错误；

对于D,在二项式系数中，G和CM相等且最大，所以〃=7,故D正确.

11.甲、乙、丙、丁4人坐成一排拍照，要求甲、乙两人位于丙的同侧，则共有

种不同的坐法.

答案16

解析甲、乙、丙、丁4人就坐，不妨设为1,2,3,4号位置，

因为甲、乙两人位于丙的同侧，

当丙在1号位置有A§=6种排法，

当丙在2号位置有A3=2种排法，

当丙在3号位置有A3=2种排法，

当丙在4号位置有A3=6种排法，共有6÷2+2+6=16种排法.

12.（2022•滨州二模）某社区对在抗击疫情工作中表现突出的3位医生、2位护士

和1位社区工作人员进行表彰并合影留念.现将这6个人随机排成一排，则3位

医生中有且只有2位相邻的概率为.

3

答案5

解析由题意，先将2位护士和1位社区工作人员排成一排，有A芬中排法，

然后将3位医生分成两组，一组2人，一组1人，有CS种分组方法，

然后插入到2位护士和1位社区工作人员所排成的4个空中的2个空，有A?种插

空方法，

最后交换相邻2位医生的位置有A芬中方法，所以3位医生中有且只有2位相邻共

有AiaAaA3=432个样本点，

又6人随机排成一排共有Ag个样本点，

叱Z匕匕下⅛r%-LAWC以执彳3

所以所求概率为P=-&-=亍

二'创新拓展练

13.（多选）已知（1—2x>°23=Qo+α]χ+α2%2+a3X3H--------Fa202U2023»则（）

A.展开式中所有项的二项式系数和为22。23

■52023_I

B.展开式中所有奇数项系数和为一2—

y023_1

C.展开式中所有偶数项系数和为一2一

^a∖aιaτ,..a2023,

Dτ+I+-1

∙T2?----------H^2023=-1

答案ABD

解析A项，二项式系数之和为C%23+C‰23+…+G序=22023,故A正确；

（1—2x）2023=αo+αιx÷∏2X2+…+4202U2023,

当X=11时，32θ23=ao-«1+02-6+"42023,①

当X=I时，（-l）2°23=αo+αι+α2+α3H----------∖^aι023,②

32023_]

223

B项，①+②可得，3°—1=2（αo+42+…+42022）=α0+α2+…+。2022=2，

故B正确；

C项，①一②可得，32°23+1=—2（αι+s+…+。2023）OaI+s+…+。2023=一

32023+1

—2—，故C错误；

D项，（1—2x）2023=αo÷<2ix÷α2X2H---------∖^aι023x2023,

令X=O则αo=l,

令X=（则O=OO-.+号+…+舞,

3+翁H----------—1,故D正确.

14.（多选）（2022•南京三模）连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正

面向上，要么反面向上，且两种结果等可能.记事件/表示“3次结果中有正面