2023-2024学年河北省邢台市高二年级下册第一次月考数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年河北省邢台市高二下册第一次月考数学

模拟试题

一、单选题

1.某小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，不同的选法共有（）

A.12种B.14种C.24种D.48种

【正确答案】B

【分析】根据组合性质即可求解.

【详解】依题意，

小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，

则有C>=14种选法.

故选：B.

2.二项式（l+x）5的展开式中，各项二项式系数的和是（）

A.2B.8C.16D.32

【正确答案】D

【分析】根据给定条件利用二项式系数的性质直接计算作答.

【详解】二项式（l+x）5的展开式的各项二项式系数的和是2'=32.

故选：D

3.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法

共有

A.6种B.12种C.30种D.36种

【正确答案】C

【详解】由吊c：-c：=30选C.

4.（x-2y）S的展开式中V/的系数是（）

A.1792B.-1792C.448D.-448

【正确答案】D

【分析】根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案.

【详解】（x-2y）8的展开式中，含XW的项为或.户（_2»=_8'或乂丹3=-148染氏

所以的系数是-448.

故选：D

5.8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则

不同调换方式有（）

A.ClB.C：A：C.D.3C；

【正确答案】C

【分析】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.

【详解】从8人中任取3人有种，

3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有A；种，

所以不同调换方式有

故选：C.

6.甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10,

5,3.竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是（）

A.第二名、第三名的总分之和为29分或31分

B.第二名的总分可能超过18分

C.第三名的总分共有3种情形

D.第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名

【正确答案】C

【分析】根据给定条件按甲的得分情况分类，再求出第二名、第三名的得分即可判断作答.

【详解】依题意，甲的得分情况有两种：10,10,5和10,10,3,

显然3人的总得分为54分，甲得分为10,10,5时，第二名、第三名的总分之和为29分，

甲得分为10，10，3时•，第二名、第三名的总分之和为31分，A正确；

甲得分为10，10,5时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分分

别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,3；3,5,3；5,5,3,总分分别为9分，11分，13

分，

甲得分为10，10，3时，第二名得分有三种情况：5,5,10；5,3,10；3,3,10,总分分

别为20分，18分，16分，

第三名得分对应有三种情况：3,3,5；3,5,5；5,5,5,总分分别为11分，13分，15

分，

选项B,D正确，第三名总分有4种情况，C不正确.

故选：C

7.卜+^一2)的展开式中常数项是()

A.-252B.-220C.220D.252

【正确答案】A

【分析】化简二项式为3'°，求得展开式的通项&∣=(7)'G'°M°Q,令10-2厂=0,求

X

得r=5,

代入即可求解.

【详解】由(J+-V-2)5=(χ-⅛),

XX

可得二项式(X」严的展开式通项为&=CMH)-'(-%=(-l)'C"j，

XX

4^10-2r=0,解得r=5,

所以展开式的常数项为=-252.

故选：A.

本题主要考查了二项展开式的指定项的求解，其中解答中熟记二项展开式的通项是解答的关

键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

8.有.6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()

A.分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；

B.分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；

C.分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；

D.分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；

【正确答案】D

【分析】根据题意，分别按照选项说法列式计算验证即可做出判断.

【详解】选项A,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有C；C：C；=90种分配

方法，故该选项错误；

选项B,6本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，先将6本书分成4-1-1

的3组，再将三组分给甲乙丙三人，有-ɪ4=90种分配方法，故该选项错误;

选项C,6本不同的书分给甲乙每人各2本，有种方法，其余分给丙丁每人各1本,

有&种方法，所以不同的分配方法有=180种，故该选项错误;

c⅛¾c∣'4？=1080

选项D,先将6本书分为2-2-1-1的4组,再将4组分给甲乙丙丁4人,有

种方法，故该选项正确.

故选：D.

二、多选题

9.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学

爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）.

杨辉三角

第

Z一

04

l丁

一

第1z1

l丁

一

第2Z11

l丁

一

第3Z121

x丁

l

一

第4Z1331

x丁

l

一

第5Z14641

x丁

l

一

第6415101051

1丁

一

第7Z1615201561

l丁

一

第8Z172135352171

4丁

I

一

第18285670562881

9Z

4丁

第1O193684126126843691

第1/1104512021025221012045101

1仃

115516533046246233016555111

,

A.ι+ci+q+c8=cl;

B.第2022行的第1011个数最大

C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数

D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2:3

【正确答案】ACD

【分析】按图索骥，再加一点计算就可以了.

【详解】1+C+C+C=1+6+E+^∣=84,¢=^2=84,

2×13×2×13×2×1

故A正确;

由图可知：第”行有〃个数字，如果n是奇数，则第芋(最中间的)个数字最大；如果〃

是偶数，则第］和第］+1个数字最大，并且这两个数字一样大，故错误；

第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1,7,28,其和为36；第9行第8个数字

就是36,故C正确；

依题意：第34行第14个数字是Cl=KZ,第34行第15个数字是C(=∙r鼻，

13!×21!14!×20'

34!

所以第=13詈"=1=2:3,故D正确；

14!×20!

故ACD.

10.关于(g-2x)的展开式，下列结论正确的是()

A.各项二项式系数之和为32B.各项系数之和为-1

C.存在常数项D.V项的系数为80

【正确答案】ABD

【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断A；取户-1求得所有项的系数和判断B；

写出展开式的通项，由X的指数为3和。求得「值，可判断CD.

【详解】H-2x)5的展开式的所有二项式系数和为2$=32,故A正确；

X

取x=l,可得所有项的系数和为T,故B正确；

展开式的通项为小=q-(-)5-r(-2x)r=(-2)r∙C(∙x2r-5,

X

由2r-5=0,得r=∣舍去，故不存在常数项，C错误，

由2—5=3,得r=4,含何项的系数为(-2)4或=80,故D正确.

故选：ABD.

H.在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这IOO件产品中任意抽出3件，

则下列结论正确的有()

A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有ClC全种

B.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C2种

C.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；8+C；Cg；种

D.抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C：Uo-C1种

【正确答案】ACD

【分析】根据给定条件利用含有限制条件的组合问题，逐一分析各选项判断作答.

【详解】对于A,B,抽1件不合格品有C；种，再抽2件合格品有CM种，由分步计数乘法

原理知，

抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有C；C；Ii种，A正确，B不正确；

对于C,至少有1件是不合格品有两类：1件是不合格品的抽法有CKjii种，2件是不合格品

的抽法有C；C；K种，

由分类加法计数原理知，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有C；C；8+C；Cg；种，C

正确；

对于D,至少有1件是不合格品的抽法可以用排除法，从IOO件产品中任意抽出3件有

种，

抽出3件全是合格品有C）种，抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有（G%-C⅛）种，

D正确.

故选：ACD

12.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导

游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（）

A.每人都安排一项工作的不同方法数为54

B.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为4用

C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方

法数为［c；+争］小

IΛ2J

D.每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工

作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是G+

【正确答案】CD

【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B

选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项：利用分类计数原理和分步计

数原理可判断D选项.

【详解】对于A选项，每人各有4种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为4$,A错;

对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有2人参加一份工作,

其余3人都参加一份工作,

可先将5人分为4组，有一组为2人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排

方法，B错;

对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况:

①有3人选同一种工作，其余2人只安排一种工作;

②有1种工作只有1人，其余2种工作都只有2人.

所以，不同的安排方法种数为［或+宝JA；,C对;

对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加,

甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论:

①开车这份工作有2人参与，其余工作各分配1人，共有C；用种安排方法;

②开车这份工作只有1人参与，有2人参与同一份工作，其余2人各参与一份工作，共有

C；C：A；.

综上所述，共有不同安排方案的种数是GC：&+C；A；,D对.

故选：CD.

三、填空题

13.若C岁6=G『(〃eN*),则”=.

【正确答案】4

【分析】根据题意和组合数的运算性质直接计算即可.

【详解】由题意知，

因为嗡+6=Gi(zιeN*),

所以2〃+6=〃+2或2〃+6=20—5+2),

解得n=-4(舍去)或〃=4.

故4

14.六名同学排成一排照相，则其中甲、乙、丙三人两两不相邻，且甲和丁相邻的情况有

种.(用数字作答)

【正确答案】72

【分析】设另外两人为戊己，甲丁捆绑后和戊己排序，再将乙丙插空即可.

【详解】设另外两人为戊己.可以分步完成，

①甲丁捆绑后排序有A；方法，

②捆绑后的甲丁戊己排序，有A；种方法，

③将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有A；种方法，

根据分步乘法原理，共有2x6x6=72种方法.

故72.

15.2160有个不同的正因数.

【正确答案】40

【分析】把2160进行质因数分解，然后结合分步乘法原理计算.

【详解】2160=24*33*5,它的正因数即为2,3,5的事的乘积，

因此正因数个数为(4+l)χ(3+l)χ(l+D=40,

故40.

16.45°除以17的余数为.

【正确答案】16

【分析】由题得450=(17-1)25,根据二项式展开解决即可.

【详解】由题知，

5025250245224025

4=(17-l)=Cθ517(-l)+Cj517(-l)'+C⅛17'(-l)+....+C^17'(-l)+C^17(-l),

因为17"是17的倍数，只有最后一项T不能被17整除，

所以T除以17的余数为16,

所以4$。除以17的余数为：16

故16

四、解答题

17.已知在二项式(&-{1•(“≥2∕eN*)的展开式中前三项系数的和是97.

(1)求展开式中二项式系数最大的项;

(2)求其展开式中所有的有理项.

【正确答案】⑴n=1120χ-2

458

(2)7；=x,η=H2x,7；=1120x-,7；=1792x^,T9=256x-.

【分析】(1)先确定前三项系数，根据题意列出等量关系，求得“，再根据二项式系数性质

确定二项式系数最大的项数，代入通项公式求对应项，

(2)根据二项式定理得通项公式，根据X的次数为整数，求得项数，再代入通项公式求有

理项.

【详解】(1)前3项的系数分别为C：,-2C：,4C；,

由题意知：Cθ-2C>4C>97,且〃≥2,解得〃=8或〃=-6(舍去)

_8rZ八r8-3r

所以7；M=4五厂卜］=(-2)gx丁(r=0,l,28),

.∙.r=4时，二项式系数最大，

即二项式系数最大项为T、=1120Λ--2.

(2)由J‰Z,知r=0,2,4,6,8,

2

258

.∙.有理项为I=/,T3=］↑2X,T5=∖∖20X^,T1=1792X^,T9=256x^.

二项式系数最大项的确定方法

①如果”是偶数，则中间一项(第］+1项)的二项式系数最大；

②如果〃是奇数，则中间两项第二ɪ项与第(学+1)项的二项式系数相等并最大.

18.男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派5人外出参加比赛，在下

列情形中各有多少种选派方法？

(1)男运动员3名，女运动员2名；

(2)队长中至少有1人参加；

（3）既要有队长，又要有女运动员.

【正确答案】（1）120（种）；（2）196（#）；（3）191（种）.

【分析】（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C；种选法.再选2名女

运动员，有仁种选法.利用乘法原理得到结果；

（2）只有男队长的选法为C；种，只有女队长的选法为C；种，男、女队长都入选的选法为C；

种，把所有的结果数相加；

（3）当有女队长时，其他人选法任意，共有C；种选法.不选女队长时，必选男队长，共有C；

种选法.其中不含女运动员的选法有C；种，得到结果.

【详解】（1）分两步完成：

第一步，选3名男运动员，有种选法；

第二步，选2名女运动员，有种选法.由分步乘法计数原理可得，共有C0C：=120（种）选

法.

（2）方法一（直接法）可分类求解：

“只有男队长”的选法种数为C；;

“只有女队长”的选法种数为C；;

“男、女队长都入选”的选法种数为C；,

所以共有20+盘=196（种）选法.

方法二（间接法）从10人中任选5人有CM种选法，

其中不选队长的方法有C；种.所以“至少有1名队长”的选法有盘,-盘=196（种）.

（3）当有女队长时，其他人任意选，共有种选法；当不选女队长时，必选男队长，共有

种选法，其中不含女运动员的选法有C；种，所以不选女队长时的选法共有（C；-仁）种.

所以既要有队长又要有女运动员的选法共有C；+C：-C；=191（种）.

本题主要考查了分步乘法计数原理，考查分类加法计数原理，在比较复杂的题目中，会同时

出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目，属于中档题.

19.(I)解方程C■+C战=5A';

(2)构造一个实际背景，对等式c>&*=c>c,的意义做出解释.

【正确答案】(1)x=4;(2)详见解析.

【分析】(1)根据排列数和组合数的公式及性质，化简得至∣J*2—x—12=0,即可求解；

(2)等式两边都是组合数相乘，可以考虑分步计数原理，即可得到结论.

【详解】(1)由C；；；+C：：；=《A"，可得C北='A*,即C>=AAL，

〜(x+3)!(x+3)!1I

可得-------=-------,即nπ=---------,

口5!(X-2)!IOx!120IOX(X-I)

可得χ2-x-12=0,解得x=4或x=—3,

经检验可得x=4是原方程的解，

所以x=4；

(2)实际背景：在“个人中选出机个人打扫卫生，其中％个人擦玻璃，，〃-无个人拖地，问

有多少选取人员的方法？

利用分步计算原理：先从〃个人中选出，〃个人，然后从，”个人中选出k个人擦玻璃，剩余的

人拖地，这样有c7.c；种选法；

也可以从〃个人中选出k个人擦玻璃，然后从剩余的“-4个人中选出〃LZ个人拖地，这样

有C>C展种选法，

所以C>c*=c∙c;.

20.(1)设有6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少有1个小球，有多少

种不同的放法？

(2)设有6个不同的小球，放入3个不同的盒子里，盒子不允许为空，有多少种不同的放

法？(结果用数字表示)

【正确答案】(1)10；(2)540.

【分析】(1)利用隔板法解决相同元素的分组问题.

(2)分成三类：2,2,2；4,1,1;1,2,3,先分组再排列，即可求解不同的放法.

【详解】(1)利用隔板法：由题可知使每个盒子都能分到小球的分法有C；=H)种.

(2)分成三类：2,2,2；4,1,1；1,2,3,先分组再排列.

第一类：c⅛⅛⅞∙A^90;第二类：C：.£^.A；=90；

ʌɜA?

第三类:C：CC∙A；=360,共有540种.

π

21.已知(l+2x)”=%+qx+<⅞χ2++anx,∏∈N*>其中%=60.

⑴求(％+"1+“2++a,S[ao~a∖+a2~+(T)”4J的值；

⑵设(l+√5j'=α+J%(其中〃、。为正整数)，求"—32的值

【正确答案】(1)729；

⑵/-2Z√=L

，；2

【分析】(1)ʃ(x)=(1+2x)=a0+axx+a2x++allx",∕ι∈N*,写出(l+2x)”的展开式通

项，由为=60可得出关于”的方程，解出”的值，再利用赚值法可求得所求代数式的值；

(2)写出(1+√Σ『的展开式，求出。、b的值，即可求得的值.

【详解】(1)解：设/(x)=(l+2x)"=%+a/+%/++anx">"wN*,

rr

(1+2x)"的展开式通项为&=ς∙(2x)=Cn-Tx,

22

所以，a2=C^∙2=2∕I(Λ-1)=60,BPn-∕J-30=0,n∈N*,解得”=6,

62b

所以，/(x)=(1+2x)=an+aix+a2x++ahx

66

(a0+al+a2++a6)(a0-al+a2-+α6)=∕(l)√(-l)=3×(-l)=729.