求经过三点三角形的面积的3类7种方法计算举例C2

求经过三点A(17,70),B(46,38),C(40,92)三角形的面积主要内容：通过三角形的三种面积计算方法，介绍已知三角形的三个顶点坐标分别为A(17,70),B(46,38),C(40,92)三角形面积的主要步骤。※.由底和高长度形式计算三角形面积【主要思路】分别求出边长和对应的高，再根据三角形面积等于边长与该边对应高乘积的一半，进而求出三角形的面积。▲.求出AB的长c及对应高h₁. C(40,92)h₁=eq\f(1374,1865)eq\r(1865)A(17,70) c=EQ\r(1865)B(46,38)设a₁=|46-17|=29,a₂=|38-70|=32,用两点间公式有AB=c=eq\r(29²+32²)=1eq\r(1865)；此时直线AB的斜率k₁为：k₁=eq\f(38-70,46-17)=-eq\f(32,29).则直线AB的方程为：y-70=-eq\f(32,29)(x-17),即：29y+32x-2574=0，此时点C(40,92)到直线AB的距离为此时三角形的高h₁,则：h₁=eq\f(|29*92+32*40-2574|,eq\r(29²+32²))=eq\f(1374,eq\r(29²+32²))=eq\f(1374,1865)eq\r(1865)，此时三角形的面积S₁为：S₁=eq\f(1,2)*c*h₁=eq\f(1,2)*eq\r(1865)*eq\f(1374,1865)eq\r(1865)=687平方单位.▲.求出AC的长b及对应高h₂.设b₁=|40-17|=23,b₂=|92-70|=22,用两点间公式AC=b=eq\r(23²+22²)=eq\r(1013)；此时直线AC的斜率k₂为：k₂=eq\f(92-70,40-17)=eq\f(22,23).则直线AC的方程为：y-70=eq\f(22,23)(x-17),即：23y-22x-1236=0， C(40,92)b=1eq\r(1013)h₂=eq\f(1374,1013)eq\r(1013)A(17,70) B(46,38)由点B(46,38)到直线AC的距离为此时三角形的高h₂,则：h₂=eq\f(|23*38-22*46-1236|,eq\r(22²+23²))=eq\f(1374,eq\r(22²+23²))=eq\f(1374,1013)eq\r(1013).此时三角形的面积S₂为：S₂=eq\f(1,2)*b*h₂=eq\f(1,2)*eq\r(1013)*eq\f(1374,1013)eq\r(1013)=687平方单位.▲.求出BC的长a及对应高h3.设c₁=|92-38|=54,c₂=|40-46|=6,用两点间公式BC=a=eq\r(54²+6²)；此时直线BC的斜率k₃为：K₃=eq\f(92-38,40-46)=-eq\f(54,6).则直线BC的方程为：y-38=-eq\f(54,6)(x-46),即：6y+54x-2712=0， C(40,92) a=EQ\R(54²+6²)h₃=EQ\F(1374,EQ\R(54²+6²))A(17,70) B(46,38)由点A到直线BC的距离为此时三角形的高h₃,则：h₃=|6*70+54*17-2712|/eq\r(54²+6²)=1374/eq\r(54²+6²).此时三角形的面积S₃为：S₃=eq\f(1,2)*a*h₃=eq\f(1,2)*eq\r(54²+6²)*1374/eq\r(54²+6²)=eq\f(1,2)*1374=687平方单位.※.向量计算三角形面积法【主要思路】求出以其中一个点为端点的两个向量的模及其夹角，再利用三角形面积等于其中一个角的正弦值与该角相邻两边长度乘积的一半，即可计算出三角形的面积。▲.以角度A的夹角θ计算时：由三角形三点A(17,70),B(46,38),C(40,92)，向量m₁=(92-70,40-17),则|m₁|=eq\r(22²+23²)；向量n₁=(38-70,46-17),则|n₁|=eq\r(32²+29²)；向量t₁=(92-38,40-46),则|t₁|=eq\r(54²+6²)； C(40,92) m₁ t₁θ A(17,70) n₁ B(46,38)由余弦定理，此时角度θ的余弦值为：cosθ=eq\f(|m₁|²+|n₁|²-|t₁|²,2*|m₁|*|n₁|),则:sinθ=eq\r(1-cos²θ)=eq\f(\r(2748²),2*|m₁|*|n₁|)=eq\f(2748,2*|m₁|*|n₁|).此时三角形ABC的面积为：S=eq\f(1,2)*|m₁|*|n₁|*sinθ=eq\f(1,2)*|m₁|*|n₁|*eq\f(2748,2*|m₁|*|n₁|)=687平方单位.▲.以角度B的夹角α计算时： C(40,92)m₁ t₁ A(17,70)α n₁ B(46,38)同理，由余弦定理有：cosα=eq\f(|t₁|²+|n₁|²-|m₁|²,2*|t₁|*|n₁|)=eq\f(3804,2*|t₁|*|n₁|),则有：sinα=eq\r(1-cos²α)=eq\f(\r(2748²),2*|t₁|*|n₁|)=eq\f(2748,2*|t₁|*|n₁|).此时三角形ABC的面积为：S=eq\f(1,2)*|t₁|*|n₁|*sinα=eq\f(1,2)*|t₁|*|n₁|*eq\f(2748,2*|t₁|*|n₁|)=687平方单位.▲.以角度C的夹角β计算时： C(40,92)βm₁ t₁ A(17,70) n₁ B(46,38)同理，由余弦定理有：cosβ=eq\f(|t₁|²+|m₁|²-|n₁|²,2*|t₁|*|m₁|)=eq\f(2100,2*|t₁|*|m₁|),则有:sinβ=eq\r(1-cos²β)=eq\f(\r(2748²),2*|t₁|*|m₁|)=eq\f(2748,2*|t₁|*|m₁|).此时三角形ABC的面积为：S=eq\f(1,2)*|t₁|*|m₁|*sinβ=eq\f(1,2)*|t₁|*|m₁|*eq\f(2748,2*|t₁|*|m₁|)=687平方单位.※.用行列式计算三角形面积【主要思路】三角形三个顶点坐标为(x1,y1)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。则行列式eq\b\bc\|(\a\ac\co3\vs3\hs5(x₁,y₁,1,x₂,y₂,1,x₃,y₃,1))的值取绝对值再除2就是三角形的面积。对于本题，三角形的面积为：S=eq\f(1,2)*eq\b\bc\|(\a\ac\co3\vs3\hs5(17,70,1,46,38,1,40,92,1))=eq\f(1,2)*eq\b\bc\|(\a\ac\co2\vs2\hs5(46,38,40,92))-eq\f(1,2)*eq\b\bc\|(\a\ac\co2\vs2\h