人教版七年级数学下册常考点微专题提分精练 专题21 二元一次方程组的实际应用之几何图形问题（原卷版+解析）

专题21二元一次方程组的实际应用之几何图形问题【例题讲解】（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，则，解得．答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝，∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6，∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【综合解答】1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？7．某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？___（填“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中米，米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米．（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是米和米．①求x，y的值；②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在元米之间含95和，乙、丙两种花卉的单价之和为300元米已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元米．10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？11．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，点A对应的数为a．(1)若，则线段的长为______（直接写出结果）；(2)若点C在射线上（不与A，B重合），且，求点C对应的数；（结果用含a的式子表示）(3)若点M在线段之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且，当，时，求a的值．12．有一个长方形，若它的长增加9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加5cm，则只比长少1cm.(1)这个长方形的长和宽各是多少cm？(2)将这个长方形的长减少acm，宽增加bcm，使它变成一个正方形，若a，b均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.13．如图，在四边形中，．(1)如图①，点P在线段上，连接，若，且，求度数；(2)如图②，，点P，Q分别在线段上，连接，，且满足，求的长；(3)点P，Q分别在线段，的延长线上，点M在线段上，，，且，，请补全图形并求出k的值．14．如图1，已知数轴上的点A、B对应的数分别是﹣5和1．（1）若P到点A、B的距离相等，求点P对应的数；（2）动点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒，问：是否存在某个时刻t，恰好使得P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2在数轴上的点M和点N处各竖立一个挡板（点M在原点左侧，点N在原点右侧且OM＞ON），数轴上甲、乙两个弹珠同时从原点出发，甲弹珠以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，乙弹珠以5个单位/秒的速度沿数轴向左运动．当弹珠遇到挡板后立即以原速度向反方向运动，若甲、乙两个弹珠相遇的位置恰好到点M和点N的距离相等，试探究点M对应的数m与点N对应的数n是否满足某种数量关系，请写出它们的关系式，并说明理由．专题21二元一次方程组的实际应用之几何图形问题【例题讲解】（1）一个长方形纸片的长减少3cm，宽增加2cm，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长的3倍比正方形纸片周长的2倍多30cm．这个长方形纸片的长、宽各是多少？（2）小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为30cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2．请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由．【答案】（1）长是9cm，宽是4cm；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据长方形、正方形的概念以及面积公式列出方程组，解方程组即可；（2）根据长方形的面积公式列出方程，根据实际情况判断即可．【详解】解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，则，解得．答：这个长方形的长是9cm、宽是4cm；（2）小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．设裁出的长为3acm，宽为2acm，则3a•2a＝30，解得a＝，∴裁出长方形的的长为3cm，宽为2cm，∵3＞6，∴小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．【综合解答】1．如图，长方形ABCD中放有6个形状、大小相同的长方形（空白区域），求图中阴影部分的面积．【答案】72cm2【分析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据所给出的图形列出方程组，求出x，y的值，再根据长方形的面积公式即可得出答案．【详解】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，依题意得：，解得：，则小长方形的长、宽分别为10cm，2cm，图中阴影部分的面积是：S阴影部分=S四边形ABCD-6×S小长方形=16×（8+2+2）-6×2×10=72(cm2)．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个信息题目，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组．2．如图，三个一样大小的小长方形沿“横-竖-横”排列在一个长为，宽为的大长方形中，求图中一个小长方形的面积．【答案】8【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的长和宽，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用长方形的面积计算公式即可求出结论．【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，依题意得：，解得：，∴xy=4×2=8．答：图中一个小长方形的面积为8．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及生活中的平移现象，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．3．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.【答案】长是10mm，宽是6mm【分析】设每个小长方形的长为xmm，宽为ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．【详解】设长方形的长为x，宽为y，则解得：所以每个小长方形的长是10mm，宽是6mm．【点睛】考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．4．如图（1），将边长为xcm的大正方形剪去一个边长为ycm的小正方形，剩余部分的面积为21cm2，并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图（2），且宽为3cm的长方形，请你求出大正方形和小正方形的边长．【答案】大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm【分析】根据题意结合图形列出二元一次方程组即可求解．【详解】解：依题意得：，解得：，答：大正方形的边长为5cm，小正方形的边长为2cm．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解答本题的关键．5．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．【答案】（1）长为，宽为；（2）正确，理由见解析【分析】（1）设长为3x，宽为2x，根据长方形的面积为30列方程，解方程即可；（2）根据长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30列方程组，解方程组求出a即可得到大正方形的面积．【详解】解：（1）设长为3x，宽为2x，则：3x•2x=30，∴x=（负值舍去），∴3x=，2x=，答：这个长方形纸片的长为，宽为；（2）正确．理由如下：根据题意得：，解得：，∴大正方形的面积为102=100．【点睛】本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．6．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，（1）每块小长方形地砖的长和宽分别是多少?(要求列方程组进行解答)（2）小明想用一块面积为7平方米的正方形桌布，沿着边的方向裁剪出一块新的长方形桌布，用来盖住这块长方形木桌，你帮小明算一算，他能剪出符合要求的桌布吗？【答案】(1)长是1.5m，宽是0.5m；（2）不能【分析】（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym,列方程组求解即可；（2）把正方形的边长与大长方形的长比较即可．【详解】解:（1）设每块小长方形地砖的长为xm,宽为ym，由题意得：解得:∴长是1.5m，宽是0.5m．（2）∵正方形的面积为7平方米，∴正方形的边长是米，∵<3∴他不能剪出符合要求的桌布【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，算术平方根的应用，找出等量关系列出方程组是解（1）的关键，求出正方形的边长是解（2）的关键．7．某校规划在一块长AD为18m、宽AB为13m的长方形场地ABCD上，设计分别与AD，AB平行的横向通道和纵向通道，其余部分铺上草皮，如图所示，若设计三条通道，一条横向，两条纵向，且它们的宽度相等，其余六块草坪相同，其中一块草坪两边之比AM∶AN＝8∶9，问通道的宽是多少？【答案】1【分析】利用AM:AN=8:9，设通道的宽为xm，AM=8ym，则AN=9ym，进而利用AD为18m，AB为13m，得出等式求出即可.【详解】设通道的宽是xm，AM＝8ym.因为AM∶AN＝8∶9，所以AN＝9ym.所以解得答：通道的宽是1m.故答案为1.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.8．小明和小华分别用四个完全相同的，直角边为a，b（a＜b）的三角形拼图，小华拼成的长方形（如图①）的周长为20．小明拼成的正方形（如图②）中间有一个边长为1的正方形小孔．（1）能否求出图中一个直角三角形的面积？___（填“能”或“否”）；（2）若能，请你写出一个直角三角形的面积；若不能，请说明理由．【答案】（1）能；（2）S＝6．【分析】可结合图②得到a，b边的数量关系，再通过图①中的长方形的边长即周长联立关系式即可求出a，b的值，即可求出一个直角三角形的面积.【详解】（1）能；故答案为：能；（2）由题意得：在图①中可根据周长得到关于a，b的等式；在图②中可得到a，b边的数量关系，联立可得：，解得：，∴．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是在图形结合题目找到关系式，最后求解得出数据即可.9．为了庆祝建党100周年，某区在文化广场的一块长方形ABCD的空地上，用花卉摆放“100”字样和四个相同的小正方形（如图），其中米，米，三个数之间摆放的距离与四个小正方形的边长相等．设小正方形的边长为x米，数字的宽度均为y米．（1）请用关于x，y的代数式表示“0”内部小长方形的长和宽．（2）若“0”内部小长方形的长和宽分别是米和米．①求x，y的值；②为了整体美观，将在四个正方形、“100”及“0”的内部小长方形分别摆放甲、乙、丙三种花卉，三种花卉的单价都为整数，其中甲花卉的单价在元米之间含95和，乙、丙两种花卉的单价之和为300元米已知三种花卉总价为6200元，则丙花卉的单价是________元米．【答案】（1）米和米；（2）①，；②120【分析】（1）利用“0”内部小长方形的长=AB的长-2×小正方形的边长-2×数字的宽度，即可用含x，y的代数式表示出“0”内部小长方形的长；利用“0”内部小长方形的宽=（AD的长-4×小正方形的边长-5×数字的宽度）÷2，即可用含x，y的代数式表示出“0”内部小长方形的宽；（2）①由（1）的结论结合“0”内部小长方形的长和宽分别是3.6米和1.4米，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；②设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米2，则乙花卉的单价是（300-b）元/米2，利用总价=单价×数量，结合三种花卉总价为6200元，即可得出关于a，b的二元一次方程，化简后可得a=b-346，结合a，b均为整数可得出b为5的倍数，由甲花卉的单价在95～125元/米2之间（含95和125），可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出b的取值范围，再结合b为5的倍数即可得出结论．【详解】解：（1）“0”内部小长方形的长为（7.2-2x-2y）米，宽为=（5.4-2x-2.5y）米．（2）①依题意得：，解得：．答：x的值为1，y的值为0.8．②设甲花卉的单价是a元/米2，丙花卉的单价是b元/米2，则乙花卉的单价是（300-b）元/米2，依题意得：4a+[5×（7.2-2）+4×1.4]×0.8（300-b）+2×3.6×1.4b=6200，化简得：a=b-346．∵a，b均为整数，∴b为5的倍数．又∵甲花卉的单价在95～125元/米2之间（含95和125），∴，解得：116≤b≤123，∴b=120．故答案为：120．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含x，y的代数式表示出“0”内部小长方形的长和宽；（2）①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．10．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长，宽的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒元购进一批茶叶，按进价增加作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利元，求这批茶叶共进了多少盒？【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据题意设盒底边长，接口的宽度，分别为，,根据题意列方程组，再根据长宽高求得体积；（2）分别设第一个月和第二个月的销售量为盒，根据题意列出方程和不等式组，根据不等式确定二元一次方程的解，两个月的销售总量为盒【详解】（1）设设盒底边长为，接口的宽度为，则盒高是，根据题意得：解得：茶叶盒的容积是：答：该茶叶盒的容积是（2）设第一个月销售了盒，第二个月销售了盒，根据题意得：化简得：①第一个月只售出不到一半但超过三分之一的量即由①得：解得：是整数，所以为5的倍数或者或者答：这批茶叶共进了或者盒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的求解，理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键．11．如图，在数轴上有A，B两点，其中点A在点B的左侧，已知点B对应的数为4，点A对应的数为a．(1)若，则线段的长为______（直接写出结果）；(2)若点C在射线上（不与A，B重合），且，求点C对应的数；（结果用含a的式子表示）(3)若点M在线段之间，点N在点A的左侧（M、N均不与A、B重合），且，当，时，求a的值．【答案】(1)9；(2)或（6-2a）；(3)【分析】（1）利用有理数混合运算的法则计算出a的值，结合数轴即可求得结论；（2）分两种情况讨论解答：①点C在A，B之间；②点C在B点的右侧；设点C对应的数字为x，依据已知条件列出等式后化简即可得出结论；（3）设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，利用依据已知条件列出等式后化简即可得出结论．【详解】（1）解：∵=-5，∴AB=4-（-5）=4+5=9，故答案为：9．（2）解：设点C对应的数字为x，①点C在A，B之间时，∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（4-x）=6．化简得：5x=18+2a．∴x=．②点C在B点的右侧时，∵2AC-3BC=6，∴2（x-a）-3（x-4）=6．化简得：-x=-6+2a．∴x=6-2a．综上，点C对应的数为或6-2a．（3）解：设点M对应的数字为m，点N对应的数字为n，由题意得：AM=m-a，AN=a-n，BM=4-m，BN=4-n，∵AM-BM=2，∴（m-a）-（4-m）=2．∴2m-a=6①．∵当=3时，BN=6BM，∴=3，4-n=6（4-m）．∴m+3n=4a②，6m-n=20③，③×3+②得：19m=60+4a④，将④代入①得：2×-a=6．∴a=．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程组的应用，数轴，数轴上的点对应的数字的特征，利用数轴上的点对应的数字表示出对应线段的长度是解题的关键．12．有一个长方形，若它的长增加9cm，则变为宽的两倍；若它的宽增加5cm，则只比长少1cm.(1)这个长方形的长和宽各是多少cm？(2)将这个长方形的长减少acm，宽增加bcm，使它变成一个正方形，若a，b均为正整数，所得正方形的周长不大于原长方形的周长，求这个正方形的最大面积.【答案】(1)长为21cm，宽为15cm;(2)324cm2.【详解】分析：（1）设该长方形的长为，宽为，根据若它的长增加9cm，则变为宽的两倍和若它的宽增加5cm，则只比长少1cm各列一个方程，组成方程组求解即可；（2）由题意得，，即,然后根据a，b均为正整数和所得正方形的周长不大于原长方形的周长列不等式组求解即可.详解：（1）设该长方形的长为，宽为，依题意得:，解得:，答:该长方形的长为21cm，宽为15cm.（2）依题意：，∴,又

，

∴,∵a为整数，所以3，4，5,对应正方形面积分别为324cm2，289cm2，256cm2，∴这个正方形的最大面积为324cm2.点睛：本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的几何应用，仔细审题，从中找出列方程组和不等式组所需的等量关系和不等量关系式解答本题的关键.13．如图，在四边形中，．(1)如图①，点P在线段上，连接，若，且，求度数；(2)如图②，，点P，Q分别在线段上，连接，，且满足，求的长；(3)点P，Q分别在线段，的延长线上，点M在线段上，，，且，，请补全图形并求出k的值．【答案】(1)27°(2)2(3)图见解析，【分析】（1）根据，设，则，，根据平行线的性质可得，可得，解方程即可求解；（2）设，则，则，根据建立方程，解方程即可求解；（3）过点M作，过点Q作，设，，则，，，，可得，解二元一次方程组即可求解．（1）∵，∴设，则，∵∴∴∴

∴∴∴（2）如图②，设，则，则∴5分

,∵∴

解得（3）如图过点M作，过点Q作由（1）知∴，∴，，

设