无向图的平面性检测与算法

1/1无向图的平面性检测与算法第一部分无向图平面性概念 2第二部分无向图平面性的充要条件 3第三部分Kuratowski定理简介 5第四部分平面嵌入的关键特征 8第五部分法国数学家G.Fary定理介绍 10第六部分Whitney正交图结论和算法 14第七部分寻找无向图的平面嵌入方法 15第八部分无向图平面性检测算法举例 19

第一部分无向图平面性概念关键词关键要点【无向图的平面性概念】：

1.无向图的平面性是指将无向图绘制在平面上时，图中的边不会相交。

2.平面图是可以在平面上绘制且边不交叉的无向图。

3.Kuratowski定理指出，一个图是平面图当且仅当它不包含K5或K3,3这两个图的任何子图。

【平面性的判定】：

无向图的平面性概念

在图论中，无向图的平面性是一个重要的概念，它描述了无向图是否可以被画在平面上而不会产生交叉边。如果一个无向图可以被画在平面上而不会产生交叉边，则称该图为平面图；否则，称该图为非平面图。

平面图的定义是：一个无向图$G$是平面的，当且仅当存在一个平面嵌入$G$，使得$G$的每条边都是由两条不同的点确定的直线段，并且没有两条边相交。

平面图具有许多有趣的性质，例如：

*欧拉公式：如果一个无向图$G$是连通的平面图，则$V-E+F=2$，其中$V$是$G$的顶点数，$E$是$G$的边数，$F$是$G$的面数。

*瓦格纳定理：如果一个无向图$G$是平面图，则$G$的任意子图也是平面图。

平面图在现实生活中有着广泛的应用，例如：

*电路板设计：在电路板设计中，平面图可以用来表示电路元件之间的连接关系。

*地图绘制：在地图绘制中，平面图可以用来表示道路、河流等地理特征之间的连接关系。

*网络拓扑：在网络拓扑中，平面图可以用来表示计算机网络中的节点之间的连接关系。

平面图的检测是一个重要的计算几何问题，它在许多领域都有着广泛的应用。平面图检测问题可以归结为一个线性规划问题，也可以使用邻接矩阵来进行检测。第二部分无向图平面性的充要条件关键词关键要点【平面图的定义】：

1.平面图是指可以将图的边在平面上绘制而不相交的无向图。

2.平面图是拓扑学中的一个重要概念，广泛应用于地理、计算机科学等领域。

3.平面图也称为无交叉图或可嵌入平面图。

【平面性的充要条件】：

无向图平面性的充要条件

库拉托夫斯基定理

库拉托夫斯基定理是无向图平面性的充要条件，它指出：

一个无向图是平面的当且仅当它不包含任何库拉托夫斯基子图。

库拉托夫斯基子图是指以下两个图之一：

*K5：一个具有5个顶点和10条边的完全图。

*K3,3：一个具有6个顶点和9条边的二部图，其中两部分分别具有3个顶点。

证明：

充要条件

*充分性：如果一个无向图包含任何库拉托夫斯基子图，则它不是平面的。

证明：假设无向图$G$包含库拉托夫斯基子图$H$。那么，存在两条边$e_1$和$e_2$，使得$H$被划分为两个连通分量$G_1$和$G_2$，其中$e_1$和$e_2$分别连接$G_1$和$G_2$中的两个顶点。

由于$H$是库拉托夫斯基子图，因此它不是平面的。因此，$G_1$和$G_2$也不是平面的。

由于$e_1$和$e_2$连接$G_1$和$G_2$中的两个顶点，因此$G$也不是平面的。

*必要性：如果一个无向图不是平面的，则它包含一个库拉托夫斯基子图。

证明：假设无向图$G$不是平面的。那么，存在两个简单闭合曲线$C_1$和$C_2$，使得它们相交且不重合。

令$G_1$和$G_2$分别是$C_1$和$C_2$所包围的区域内的子图。

由于$C_1$和$C_2$相交且不重合，因此$G_1$和$G_2$至少有一个公共顶点。

由于$G$不是平面的，因此$G_1$和$G_2$也不是平面的。

因此，$G_1$和$G_2$之间至少有一条边$e$，使得$e$与$C_1$和$C_2$相交。

令$H$是由$G_1,G_2$和$e$所组成的子图。

由于$C_1$和$C_2$相交且不重合，因此$H$是一个库拉托夫斯基子图。

由此可知，库拉托夫斯基定理是无向图平面性的充要条件。

推论：

*一个无向图是平面的当且仅当它不包含任何环长度为5或以上的环或任何长度为3的路径。

*一个无向图是平面的当且仅当它可以被分解成三个或更少的平面子图，这些子图通过一个公共顶点连接。

*一个无向图是平面的当且仅当它可以被分解成两个或更少的平面子图，这些子图通过一条公共边连接。

库拉托夫斯基定理的应用

库拉托夫斯基定理在图论和计算机科学中有着广泛的应用，例如：

*用于检测无向图的平面性。

*用于生成平面的无向图。

*用于设计平面图的布局算法。

*用于解决许多其他图论问题。第三部分Kuratowski定理简介关键词关键要点Kuratowski定理简介：1

1.Kuratowski定理是一个重要的图论定理，它给出了判断无向图是否为平面图的充要条件。这个定理可以用如下方式表述：一个无向图是非平面的当且仅当它包含一个Kuratowski子图，Kuratowski子图是一个具有特定结构的子图，它由两个顶点和五条边组成。

2.Kuratowski定理的证明是基于这样一个事实：任何一个非平面的无向图都可以通过一系列的边收缩操作和边添加操作转换成一个Kuratowski子图。因此，如果一个无向图是非平面的，那么它一定包含一个Kuratowski子图，反之亦然。

3.Kuratowski定理有许多重要的应用，例如：它可以用来设计平面图布局算法、测试平面图的连通性以及计算平面图的周长和面积。此外，Kuratowski定理还可以用来解决许多其他图论问题，例如：图的着色问题和图的匹配问题。

Kuratowski定理简介：2

1.Kuratowski定理的证明是相当复杂的，它涉及到许多图论的概念，例如：平面图、嵌入、子图和连通性。为了证明这个定理，需要使用一些复杂的数学技巧，例如：集合论、群论和拓扑学。

2.Kuratowski定理的证明对于图论的发展具有重要意义，它为平面图的理论研究奠定了坚实的基础。此外，这个定理还对许多其他领域的应用产生了深远的影响，例如：计算机科学、运筹学和物理学。

3.Kuratowski定理的证明至今仍然是一个活跃的研究领域，许多数学家仍在继续探索这个定理的不同证明方法。随着数学理论的不断发展，我们有理由相信，在未来，我们将能够找到更简单、更优美的Kuratowski定理的证明方法。库拉托夫斯基定理简介

库拉托夫斯基定理是图论中的一个重要定理，它刻画了平面图的性质。该定理指出：一个无向图是平面图当且仅当它不包含任何具有K5或K3,3子图的子图。换句话说，如果一个无向图不包含任何与K5或K3,3同构的子图，那么它就是平面图。

K5和K3,3子图

K5和K3,3子图是两个特殊的图。K5是具有5个顶点和10条边的完全图，而K3,3是具有6个顶点和9条边的完全二分图。

库拉托夫斯基定理的证明

库拉托夫斯基定理的证明是相当复杂的，它需要用到图论中的许多概念和技术。这里仅给出该定理的一个概述。

证明的第一步是证明，如果一个无向图包含K5或K3,3子图，那么它不是平面图。这是一个相对容易证明的结果。

证明的第二步是证明，如果一个无向图不包含K5或K3,3子图，那么它可以被嵌入到平面上。这是一个更困难的结果，它需要用到许多图论中的技术。

库拉托夫斯基定理的应用

库拉托夫斯基定理在图论中有着广泛的应用。它可以用来解决许多图论问题，例如平面图的计数、平面图的着色、平面图的哈密顿回路等。

库拉托夫斯基定理还被用来研究其他类型的图，例如拓扑图、嵌入图等。它是一个非常重要的图论定理，在许多领域都有着广泛的应用。

平面图的定义

平面图是指可以被嵌入到平面上，且不产生任何交叉的无向图。换句话说，平面图是一种可以被画在平面上，且不产生任何交叉的图。

平面图有很多性质，其中最重要的性质之一是：一个图是平面图当且仅当它不包含任何K5或K3,3子图。这个性质被称为库拉托夫斯基定理。

平面图的例子

平面图的例子有很多，例如：

*循环图：循环图是一种由一系列顶点和边组成的图，其中每个顶点都与两个边相连。循环图是平面图的一个例子。

*树：树是一种无环的连通图。树是平面图的一个例子。

*完全图：完全图是指任意两个顶点之间都有一条边的图。完全图不是平面图，因为完全图K5包含K5子图。

平面图的应用

平面图在许多领域都有着广泛的应用，例如：

*电路设计：在电路设计中，平面图可以用来表示电路的连接关系。

*网络设计：在网络设计中，平面图可以用来表示网络的拓扑结构。

*地图绘制：在地图绘制中，平面图可以用来表示地图上的道路和河流等地理特征。

*计算机图形学：在计算机图形学中，平面图可以用来表示三维物体的表面。

平面图是一种非常重要的图类型，在许多领域都有着广泛的应用。库拉托夫斯基定理是平面图理论中的一个重要定理，它刻画了平面图的性质，在许多领域都有着广泛的应用。第四部分平面嵌入的关键特征关键词关键要点【平面性检测】:

1.图的平面性:无向图可以被绘制成平面图,如果它可以被绘制成平面图,则称该图是平面的,否则称该图是非平面的。

2.库拉托夫斯基定理:库拉托夫斯基定理指出了判断无向图是否为平面图的充要条件。该定理指出,一个图是平面图当且仅当它不包含K5或K3,3作为子图。

3.平面嵌入:平面嵌入是将一个图绘制到平面上,使得图中的边不相交。一个图可以有多种不同的平面嵌入,每种嵌入都对应了一个平面图。

【平面嵌入的关键特征】

平面嵌入的关键特征

1.面

面是指无向图中由边围成的闭合区域。在平面嵌入中，每个面都对应一个凸多边形，称为面多边形。面多边形的边由该面的边组成，面多边形的顶点由该面的边相交的点组成。

2.顶点

顶点是指无向图中的点。在平面嵌入中，每个顶点对应一个点，称为顶点表示点。顶点表示点的位置由该顶点的坐标确定。

3.边

边是指无向图中的线段。在平面嵌入中，每条边对应一个线段，称为边表示线段。边表示线段的端点由该边的顶点表示点确定。

4.相交和非相交

在平面嵌入中，两条边相交是指这两条边在平面中存在公共点（端点除外）。两条边非相交是指这两条边在平面中没有公共点（端点除外）。

5.内环和外环

在平面嵌入中，对于一个面，其边界上的边称为该面的边环。如果一个边环将其他所有边环围在内部，则称为外环。否则，称为内环。

6.有向边和无向边

在平面嵌入中，如果一条边上的两个顶点表示点具有方向，则称为有向边。否则，称为无向边。

7.平面图

平面图是指可以平面嵌入的无向图。平面图中，任何两个边环都不会相交，并且任何两个顶点表示点都不会重合。

8.平面嵌入定理

平面嵌入定理指出，一个无向图是平面图当且仅当该无向图不包含任何K5或K3,3子图。第五部分法国数学家G.Fary定理介绍关键词关键要点平面图与平面性

1.平面图是指能够在平面上用直线或曲线将图的所有顶点连接起来，且没有交叉的图。

2.平面性的概念与平面图相关，一个图的平面性是指该图是否能够在平面上绘制成平面图。

3.平面图的平面性与图的结构有关，某些类型的图天生具有平面性，而另一些类型的图则不具有平面性。

法国数学家G.Fary定理介绍

1.G.Fary定理是关于无向图平面性的一个重要定理，它指出一个无向图是平面图当且仅当它的循环秩等于其顶点数减去3。

2.G.Fary定理的证明是一个相当复杂的数学证明，它涉及到代数拓扑学的一些概念。

3.G.Fary定理对图论和组合数学的发展具有重要意义，它为平面图的判定和构造提供了一个简洁而有效的工具。

循环秩与平面性

1.循环秩是衡量无向图平面性的一个重要指标，它表示图中独立回路的最大数量。

2.一个无向图的循环秩可以通过图的邻接矩阵的秩来计算，也可以通过图的度数序列来计算。

3.循环秩与平面性之间的关系由G.Fary定理给出，它指出一个无向图是平面图当且仅当它的循环秩等于其顶点数减去3。

图的平面化

1.图的平面化是指将一个图转换为平面图的过程，它涉及到重新排列图的顶点和边，以消除图中的交叉。

2.图的平面化问题是一个NP难问题，这意味着对于大型图，没有已知的多项式时间算法可以解决该问题。

3.然而，有一些近似算法可以近似解决图的平面化问题，这些算法可以在合理的时间内为大型图找到一个接近最优的平面化方案。

平面图的应用

1.平面图在计算机科学和工程领域有着广泛的应用，包括电路设计、网络路由和VLSI布局。

2.平面图在数学上也具有重要意义，它们与代数拓扑学、组合数学和几何学等领域都有着密切的关系。

3.平面图的研究在学术界和工业界都非常活跃，目前正在不断开发新的算法和技术来解决平面图的各种问题。

平面图与前沿研究

1.平面图的前沿研究领域包括：探索新的图类及其平面性特征、开发高效的平面图算法、研究平面图的结构和性质、以及探索平面图在计算机科学和工程领域的新应用。

2.平面图的研究与其他数学领域，如代数拓扑学、组合数学和几何学，有着密切的联系，因此平面图的研究也为这些领域的发展提供了新的思路和方法。

3.平面图的研究在学术界和工业界都有着广泛的应用前景，随着计算机科学和工程领域的发展，平面图的研究将继续发挥着重要作用。法国数学家G.Fary定理介绍

定理：若图$G$是一个无向连通图，且具有$n$个顶点和$m$条边，则$G$是平面的当且仅当$m\le3n-6$。

证明：

1.必要性：

证明：如果$G$是平面的，则$m\le3n-6$。

假设$m>3n-6$。则$G$含有至少一个简单环。因为$G$是连通的，所以这个简单环与$G$的其他部分至少有一个公共点。这意味着$G$无法嵌入到平面中而不会自相交。因此$G$不是平面的。

2.充分性：

证明：如果$m\le3n-6$，则$G$是平面的。

假设$m\le3n-6$。我们将证明$G$是平面的。可以使用数学归纳法证明这个结论。

基本情况：$n=3$。当$n=3$时，$G$是一个三角形。三角形是平面图。因此，基本情况成立。

归纳步骤：假设当$n\lek$时，任何满足$m\le3n-6$的无向连通图都是平面的。现在考虑一个无向连通图$G$，它有$k+1$个顶点和$m$条边，并且$m\le3(k+1)-6=3k+3$。如果$m\le3k$，则$G$显然是平面的，因为$G$是一个子图。因此，我们可以假设$m=3k+1,3k+2或3k+3$。

情况一：$m=3k+1$。

在这个情况下，$G$含有至少一个简单环。因为$G$是连通的，所以这个简单环与$G$的其他部分至少有一个公共点。我们可以删除这个简单环，得到一个新的图$G'$，它有$k+1$个顶点和$m-1=3k$条边。根据归纳假设，$G'$是平面的。我们可以将删除的简单环重新添加到$G'$中，形成一个新的图$G''$。$G''$是一个有$k+1$个顶点和$m=3k+1$条边的无向连通图。$G''$是平面的，因为它是$G'$的一个子图。

情况二：$m=3k+2$。

在这个情况下，$G$含有至少两个简单环。我们可以删除这两个简单环，得到一个新的图$G'$，它有$k+1$个顶点和$m-2=3k$条边。根据归纳假设，$G'$是平面的。我们可以将删除的两个简单环重新添加到$G'$中，形成一个新的图$G''$。$G''$是一个有$k+1$个顶点和$m=3k+2$条边的无向连通图。$G''$是平面的，因为它是$G'$的一个子图。

情况三：$m=3k+3$。

在这个情况下，$G$含有至少三个简单环。我们可以删除这三个简单环，得到一个新的图$G'$，它有$k+1$个顶点和$m-3=3k$条边。根据归纳假设，$G'$是平面的。我们可以将删除的三个简单环重新添加到$G'$中，形成一个新的图$G''$。$G''$是一个有$k+1$个顶点和$m=3k+3$条边的无向连通图。$G''$是平面的，因为它是$G'$的一个子图。

因此，在所有情况下，$G$都是平面的。

推论：

1.如果一个无向连通图$G$具有$n$个顶点和$m$条边，并且$m\le3n-6$，则$G$是平面的。

2.如果一个无向连通图$G$具有$n$个顶点和$m$条边，并且$m=3n-6$，则$G$是平面的或具有一个简单环。

3.如果一个无向连通图$G$具有$n$个顶点和$m$条边，并且$m>3n-6$，则$G$不是平面的。第六部分Whitney正交图结论和算法关键词关键要点【Whitney正交图结论】：

1.正交图定义：给定一个无向图G，如果存在一个映射f，将G的顶点一一映射到欧几里得空间的点集V，使得任意两条非邻接边u-v和x-y，映射后的点对(f(u),f(v))和(f(x),f(y))相互正交，则称G是正交图。

2.Whitney正交图结论：若无向图G是正交图，则G是平面图。这个结论为判定无向图的平面性提供了一个新的视角和依据。

3.结论的证明：Whitney正交图结论的证明利用了欧几里得空间的几何性质，通过构造一个从正交图到平面的同胚映射来实现。证明过程比较复杂，需要借助一些抽象的数学工具。

【Whitney正交图算法】：

Whitney正交图结论和算法

Whitney正交图结论：

对于任何无向图G，它存在一个唯一的平面图H，使得G和H同构且H的边彼此正交。

Whitney正交图算法步骤：

1.将图G的每个顶点v替换为一个圆形区域D(v)。

2.将图G的每条边e=(v,w)替换为一个矩形区域R(e)，其中R(e)的长宽比为1:2，且R(e)的长边与D(v)和D(w)相切。

3.在每个矩形区域R(e)内，添加一个点q，并将其与D(v)和D(w)连接。

4.结果图H是一个平面图，且G和H同构。

证明：

1.首先，证明H是一个平面图。

假设存在两个边e1和e2在H中相交。则e1和e2对应的矩形区域R(e1)和R(e2)也在H中相交。由于R(e1)和R(e2)的长宽比为1:2，且R(e1)的长边与D(v)和D(w)相切，因此R(e1)和R(e2)只能在一条直线上相交。但是，这与H是一个平面图相矛盾。因此，H是一个平面图。

2.其次，证明G和H同构。

显然，G和H具有相同数量的顶点和边。此外，G的每条边e=(v,w)都对应于H中的一条边(D(v),D(w))。因此，G和H同构。

应用：

Whitney正交图结论和算法在许多领域都有应用，例如：

1.平面图的绘制：Whitney正交图结论可以用于将平面图绘制成正交图。

2.平面图的嵌入：Whitney正交图结论可以用于将平面图嵌入到其他曲面上，例如球面和环面。

3.平面图的算法：Whitney正交图结论可以用于设计平面图的算法，例如平面图的着色算法和平面图的匹配算法。第七部分寻找无向图的平面嵌入方法关键词关键要点无向图平面性的定义及其必要条件

1.无向图的平面性定义：无向图的平面性是指该图可以被嵌入到平面上，而不会出现任何边交叉的情况。

2.无向图平面性的必要条件：

-无向图中必须不存在环路（即闭合路径）。

-无向图中必须不存在任何一个顶点的度数大于或等于3的顶点。

无向图的平面嵌入方法

1.寻找平面嵌入的方法：

-DFS（深度优先搜索）算法：该算法从一个顶点出发，沿着边逐个深度搜索，直到搜索到所有顶点，并记录下边的顺序。

-BFS（广度优先搜索）算法：该算法从一个顶点出发，沿着边逐层广度搜索，直到搜索到所有顶点，并记录下边的顺序。

2.如何确定一个图是否可以被嵌入到平面上：

-将图嵌入到平面上，并检查是否有边交叉的情况。

-使用平面性检测算法，如库拉托夫斯基定理或瓦格纳定理，来判断图是否可以被嵌入到平面上。一、无向图的平面的定义和条件

无向图的平面的定义是：给定一个连通无向图G，如果存在一个函数f，将G的每一个顶点映射到平面上不同的点，并将G的每条边映射到平面上不同的线段，使得任意两条边不交叉，则称G是平面的，函数f称为G的平面嵌入（planarembedding）。

无向图的平面的条件：

1、图中没有环

2、图中没有桥

二、寻找无向图的平面的方法

1、库拉托夫斯基定理

库拉托夫斯基定理是指：一个无向图是平面的充要条件是，它不包含K5或K3,3（即完全图K5或完全二分图K3,3）的子图。根据库拉托夫斯基定理，我们可以通过检测图中是否存在K5或K3,3子图来判断图是否是平面的。

2、法兰克尔-哈罗德定理

法兰克尔-哈罗德定理是指，一个无向图是平面的充分条件是，它的所有顶点都可以用若干个不相交的圆盘表示，并且每个圆盘上都存在一个顶点。根据法兰克尔-哈罗德定理，我们可以通过构建顶点的圆盘表示来检测图是否是平面的。

3、托马森定理

托马森定理是指，如果一个无向图是平面的，那么它的一棵生成树也是平面的。根据托马森定理，我们可以通过构造图的一棵生成树来检测图是否是平面的。

4、霍伊廷定理

霍伊廷定理是指，如果一个无向图是平面的，那么它可以被表示为一个圆盘上的点和线段，使得任何两条线段都不相交。根据霍伊廷定理，我们可以通过将图表示为一个圆盘上的点和线段来检测图是否是平面的。

5、史密斯-沃拉比奇定理

史密斯-沃拉比奇定理是指，一个无向图是平面的当且仅当它可以被表示为多个区域的并集，其中每个区域是一个凸多边形。根据史密斯-沃拉比奇定理，我们可以通过将图表示为多个凸多边形的并集来检测图是否是平面的。

三、算法

基于以上方法，我们可以设计算法来检测无向图的平面的。

1、库拉托夫斯基算法

库拉托夫斯基算法是一种检测无向图是否是平面的算法。算法的步骤如下：

（1）检查图中是否存在K5或K3,3子图。

（2）如果存在，则图不是平面的。

（3）如果不存在，则图是平面的。

2、法兰克尔-哈罗德算法

法兰克尔-哈罗德算法是一种检测无向图是否是平面的算法。算法的步骤如下：

（1）将图的每个顶点表示为一个圆盘。

（2）检查这些圆盘是否可以不相交地放置在平面上。

（3）如果可以，则图是平面的。

（4）如果不能，则图不是平面的。

3、托马森算法

托马森算法是一种检测无向图是否是平面的算法。算法的步骤如下：

（1）构造图的一棵生成树。

（2）检查生成树是否是平面的。

（3）如果生成树是平面的，则图是平面的。

（4）如果生成树不是平面的，则图不是平面的。

4、霍伊廷算法

霍伊廷算法是一种检测无向图是否是平面的算法。算法的步骤如下：

（1）将图表示为一个圆盘上的点和线段。

（2）检查任何两条线段是否相交。

（3）如果不存在相交的线段，则图是平面的。

（4）如果存在相交的线段，则图不是平面的。

5、史密斯-沃拉比奇算法

史密斯-沃拉比奇算法是一种检测无向图是否是平面的算法。算法的步骤如下：

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