2023版新教材高中数学第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布同步练习16超几何分布新人教A版选择性必修第三册

同步练习16超几何分布必备知识基础练一、单项选择题(每小题5分，共40分)1．下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是()A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为XB．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为XC．从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X2．[2023·黑龙江哈尔滨高二期末]从一批含有6件正品，2件次品的产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为X，则P(X＝1)＝()A．eq\f(7,15)B．eq\f(15,56)C．eq\f(15,28)D．eq\f(3,28)3．设随机变量X～H(3，2，10)，则P(X＝1)＝()A．eq\f(4,15)B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,15)D．eq\f(7,15)4．已知随机变量X～H(7，4，5)，则E(X)＝()A．eq\f(20,7)B．eq\f(35,4)C．2D．eq\f(28,5)5．[2023·江西宜春高二期中]一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于eq\f(Ceq\o\al(1,22)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,22),Ceq\o\al(2,26))的是()A．P(0<X≤2)B．P(X≤1)C．P(X＝1)D．P(X＝2)6．[2023·广东中山高二期末]一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是()A．eq\f(4,7)B．eq\f(9,7)C．eq\f(12,7)D．eq\f(16,7)7．[2023·河南周口高二期中]一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从()A．二项分布，且E(X)＝8B．两点分布，且E(X)＝12C．超几何分布，且E(X)＝8D．超几何分布，且E(X)＝128．[2023·河南信阳高二期末]一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为()A．eq\f(3,5)B．eq\f(1,15)C．eq\f(7,15)D．eq\f(8,15)二、多项选择题(每小题5分，共10分)9．[2023·广东深圳高二期中]在一个袋中装有质地大小一样的6个黑球，4个白球，现从中任取4个小球，设取的4个小球中白球的个数为X，则下列结论正确的是()A．P(X＝1)＝eq\f(2,5)B．P(X＝2)＝eq\f(3,7)C．随机变量X服从超几何分布D．随机变量X服从二项分布10．[2023·湖南长沙高二期中]2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，某市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动．为了调查学生对冰壶这个项目的了解情况，在该市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记X为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校所数，则()A．P(X<2)＝eq\f(13,15)B．P(X＝0)＝eq\f(1,3)C．E(X)＝eq\f(3,5)D．D(X)＝eq\f(32,75)三、填空题(每小题5分，共10分)11．[2023·陕西榆林高二期中]某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取________时，对应的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(6,12)).12．[2023·江西宜春高二期中]设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为________．四、解答题(共20分)13．(10分)袋中有5个白球、4个黑球，从中任意摸出3个，求下列事件发生的概率：(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球．14．(10分)[2023·福建泉州高二期中]从某批产品中，有放回地抽取产品2次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.99.(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；(2)若该批产品共100件，从中无放回地一次性任意抽取2件，用X表示取出的2件产品中二等品的件数，求X的数学期望．关键能力综合练15．(5分)某学校有一个体育运动社团，该社团中会打篮球且不会踢足球的有3人，篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P(X>0)＝eq\f(11,21)，则该社团的人数为()A．5B．6C．7D．10[答题区]题号1234567891015答案16.(15分)[2023·河南安阳高二期末]不负青山，力换“金山”，民宿旅游逐渐成为一种热潮，山野乡村的民宿深受广大旅游爱好者的喜爱．某地区结合当地资源，按照“山上生态做减法、山下产业做加法”的思路，科学有序发展环山文旅康养产业，温泉度假小镇、环山绿道、农家乐提档升级、特色民宿群等一批生态产业项目加快实施.2023年“五一”假期来临之前，为了在节假日接待好游客，该地旅游局对本地区各乡村的普通型民宿和品质型民宿进行了调研，随机抽取了10家乡村民宿，统计得到各家的房间数如下表：民宿甲乙丙丁戊己庚辛壬癸普通型民宿19541713189201015品质型民宿61210111091285(1)若旅游局随机从乙、丙2家各选2间民宿进行调研，求选出的4间均为普通型民宿的概率；(2)从这10家中随机抽取4家民宿，记其中普通型民宿的房间不低于17间的有X家，求X的分布列和数学期望．同步练习16超几何分布1．解析：对于A选项，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，A不满足；对于B选项，某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，B不满足；对于C选项，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，C满足；对于D选项，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，D不满足．答案：C2．解析：由题意知X服从超几何分布，则P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(2×15,56)＝eq\f(15,28).答案：C3．解析：由于随机变量X服从超几何分布X～H(3，2，10)，所以P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,15).答案：D4．解析：由题意知X～H(7，4，5)，故E(X)＝eq\f(4×5,7)＝eq\f(20,7).答案：A5．解析：本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率．答案：B6．解析：依题意，取出3球中白球个数X为随机变量，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(3－k,4),Ceq\o\al(3,7))，k∈N，k≤3，X服从超几何分布，所以白球个数的数学期望是E(X)＝eq\f(3×3,7)＝eq\f(9,7).答案：B7．解析：由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布的定义得X服从超几何分布，所以E(X)＝eq\f(40×20,100)＝8.答案：C8．解析：记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)Ceq\o\al(2－k,7),Ceq\o\al(2,10))，k＝0，1，2.所以P(X≥1)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(2,10))＋eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(0,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(8,15).或P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(8,15).答案：D9．解析：由题意知随机变量X服从超几何分布；X的取值分别为0，1，2，3，4，则P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(4,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,14)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(3,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(8,21)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(4,35)，P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,10))＝eq\f(1,210).答案：BC10．解析：根据题意，X的可能取值为0，1，2，其中了解冰壶的人数在30以上的学校有4所，了解冰壶的人数在30以下的学校有6所，所以P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(24,45)＝eq\f(8,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(0,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)＝eq\f(2,15).所以X的概率分布列为：X012Peq\f(1,3)eq\f(8,15)eq\f(2,15)所以E(X)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(8,15)＋2×eq\f(2,15)＝eq\f(4,5)，D(X)＝(0－eq\f(4,5))2×eq\f(1,3)＋(1－eq\f(4,5))2×eq\f(8,15)＋(2－eq\f(4,5))2×eq\f(2,15)＝eq\f(32,75).对于A，由分布列可得，P(X<2)＝1－P(X＝2)＝eq\f(13,15)，故A项正确；对于B，由分布列可知，P(X＝0)＝eq\f(1,3)，故B项正确；对于C，因为E(X)＝eq\f(4,5)≠eq\f(3,5)，故C项错误；由上分析知D项正确．答案：ABD11．解析：由题意可知，X服从超几何分布，且eq\f(Ceq\o\al(X,5)Ceq\o\al(6－X,7),Ceq\o\al(6,12))＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(6,12))，所以eq\f(Ceq\o\al(X,5)Ceq\o\al(6－X,7),Ceq\o\al(6,12))＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(6,12))＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(4,7),Ceq\o\al(6,12))，所以X＝2或3.答案：2或312．解析：设抽得次品数为X，则随机变量X的可能取值有0，1，2，则P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，所以随机变量X的分布列如下表所示：X012Peq\f(7,15)eq\f(7,15)eq\f(1,15)所以E(X)＝0×eq\f(7,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).答案：eq\f(3,5)13．解析：(1)根据题意，设从中摸出白球的个数为X，则X服从超几何分布，所以P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(3,9))＋eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(40,84)＋eq\f(10,84)＝eq\f(25,42)，即摸出2个或3个白球的概率为eq\f(25,42).(2)由(1)得，P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(20,21)，即至少摸出1个白球的概率为eq\f(20,21).(3)至少摸出1个黑球：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝1－P(X＝3)＝1－eq\f(Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(37,42)，故至少摸出1个黑球的概率为eq\f(37,42).14．解析：(1)设从该批产品中任取1件是二等品的概率为p，因为“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)＝0.99，可得1－p2＝0.99，解得p＝0.1，所以从该批产品中任取1件是二等品的概率为0.1.(2)因为该批产品共100件，所以二等品有100×0.1＝10(件)，显然X的可能取值为0，1，2，可得P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,90),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(89,110)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,90)Ceq\o\al(1,10),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(2,11)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,10),Ceq\o\al(2,100))＝eq\f(1,110)，所以X的分布列为X012Peq\f(89,110)eq\f(2,11)eq\f(1,110)所以随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(89,110)＋1×eq\f(2,11)＋2×eq\f(1,110)＝eq\f(1,5).15．解析：设该社团共有人数为n人，∴P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n－2),Ceq\o\al(2,n))＝eq\f(（n－2）（n－3）,n（n－1）)，∵P(X＝0)＝1－P(X>0)＝eq\f(10,21)，∴eq\f(（n－2）（n－3）,n（n－1）)＝eq\f(10,21)，即(11n－18)(n－7)＝0，又因为n∈N*，解得n＝7.答案：C16．解析：(1)设“从乙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件A；“从丙家选2间民宿，选到的2间民宿为普通型”为事件B；所以选出的4间均为普通型民