线性代数（财经类） 课件 第五章 二次型矩阵

§

5

.

1二次型与对称矩阵线性变换目录Pa

r

t 1二次型及其对称矩阵一、二次型一次项常数项解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=

0二次项它的二次项为

(x,y)

ax2

2bxy

cy2是一个二元二次齐次多项式．一、二次型定义 只含有二次项的

n

元多项式1 2 n 11 1 22 2 nn

nx2f(x

,

x ,

,

x )

a x2

ax2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn称为

x1,x2,…,

xn

的一个

n

元二次齐次多项式

，简称

x1,x2,…,

xn

的一个

n

元二次型.注：当

aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

为实数时,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

称为实二次型.当aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

为复数时,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

称为复二次型.一、二次型令aij=aji，则2aijxixj=aijxixj+ajixjxi

，于是1 2 n 11

1

22

2

nn

nx22a11

x1

a12x1x2

a21

x2x1

a22x22

annxn2n

aijxi

xji

,j

1f(x

,

x ,

,

x )

a x2

a x2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn

a1n

x1

xn

a2n

x2

xn

an1xnx1

an2xnx2

a11

x1

a12

x1

x2

a1

n

x1

xn2

a21

x2

x1

a22

x2

a2

n

x2

xn2

an1

xn

x1

an2

xn

x2

ann

xn221 122 21 2 n

a

x

2

n n

ax

n1

1

n2

2nn n

一、二次型f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

x1

(a11

x1

a12

x2

a1

n

xn

)

x2

(a21

x1

a22

x2

a2

n

xn

)

xn

(an1

x1

an

2

x2

ann

xn

)

a11x1

a12x2

a1n

xn

x

a x

a

(x,x

,

,

x )

x

a x

a21221 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

a

(x,x

,

,

x )

a

a

xT

Ax对称阵二次型的矩阵形式一、二次型21221 2 n 1 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

af

(

x

,

x

,

,

x

)

(

x

,

x

,

,

x

)

a

a对称阵

A

的秩也叫做二次型

f

的秩．二次型与矩阵之间存在着一一对应关系.1112n

2

1n

a

2n

A

a21

a

n

1nn

a

a

a

a

22

a

a对称阵的二次型二次型f(x)的矩阵练习例1

写出下列二次型对应的对称矩阵.练习例2

求下列对称矩阵对应的二次型.解

(1)练习例2

求下列对称矩阵对应的二次型.解

(2)(3)Pa

r

t 2线性变换一、线性变换

1 0

0 0

对应1

x

x,

y1

0.yx01 1 1P(x,y

)投影变换P(x,

y)例

2阶方阵

sin

cos

对应1 1

x

x cos

y sin

,

y

x1sin

y1

cos

.以原点为中心逆时针旋转

角的旋转变换例

2阶方阵

cos

sin

P(

x,y)P1

(

x1

,

y1

)

yx0一、线性变换

得 a'x'2

+

b'

y'

2

=

d'

．n 解析几何中，二次方程的一般形式ax2+2bxy+cy2=

d通过选择适当的旋转变换

x

x

cos

y

sin

,

y

x

sin

y

cos

.一、线性变换2 21 1 22 2 2n

n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1

y1

cm

2

y2

cnn

yn

.定义:

关系式一、线性变换例如

线性变换的系数矩阵C的行列式因此，该线性变换是一个非退化线性变换.一、线性变换2 21 1 22 2 2n n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1y1

cm2y2

cnnyn.一、线性变换经非定理1 二次型后,

仍为二次型经非退化线性变换. 该二次型的矩阵为.一、线性变换注：矩阵之间的合同关系与相似关系是两种不同的关系.练习例 设,

则存在可逆矩阵使得则矩阵

A与

B是合同的,

但它们的特征值不相同,

因此

A与

B不相似.感谢观看！§

5

.

2实二次型的标准形目录配方法初等变换法正交变换法二次型与对称矩阵的规范形Pa

r

t 1配方法一、标准形定义

如果一个二次型只含变量的平方项,则称这个二次型为标准形.定理1对任何实二次型换 ,使得关于新变量的二次型,必存在非退化的线性变为标准形.定理2

对任意一个对称矩阵

A,总存在一个可逆(非奇异)矩阵

C,使得为对角矩阵,即任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同.01一、标准形将二次型化为标准形的常用方法：配方法；初等变换法；正交变换法.二、配方法1.

若二次型含有

x

i

的平方项，则先把含有

x

i

的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量重复上述过程，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;二、配方法例1

利用配方法化二次型

f

(x

,

x ,x)

x2

2x2

5x2

2x

x

2x

x

6x x1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.解f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 31 31 1 2x

2

2

x

x2 3 2 3

2

x

x

2

x

2

5

x

2

6

x

x含有

x1的项配方含有平方项21 2 3

x

x

x

2x2

5x2

6xx2 3 2 3

x2

x2

2x x2 3 2 3去掉配方后多出来的项3 2 32 2221 2 3x

4x

4x

x

x

x

x

.23221 2 3x

2x

x

x

x二、配方法

2 2 3

y3

x3

y1

x1

x2

x3令

y

x

2

x

3 3

x

y

x2

y2

2

y3

x1

y1

y2

y3

2

3

3

2

01

y

1

1

1

2 y01

y1

x

x

0

x1

f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 3

y2

y2

.1 2二、配方法所用变换矩阵为1

0

1

1 1

1

2

,0

C

1

0

.C

0二、配方法

k kjijj

xy

y

x

x

i

y

i

y

y

则先作可逆线性变换2. 若二次型中不含有平方项，但是至少有一个

aij

0

(i

j),化二次型为含有平方项的二次型，然后再按步骤1中方法配方.注：每一步所经的线性变换都是非退化的。二、配方法2 1 2

x3

y3

x

x1

y1

y2令解代入

f

2

x1

x2

2

x1

x3

6

x2

x3

,得 f

2

y

2

2

y

2

4

y

y

8

y

y

.1 2 1 3 2 3由于所给二次型中无平方项，所以

y

y ,

x3

2

3

x1

1

y

0

0 y

10

y1

1

1

10

即

x2

例2

利用配方法化二次型成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.二、配方法再配方，得

232323 21y

6

y

.

2 y

2

yf

2

y

3 3

z

y

z1

y1

y33 3

令

z2

y2

2

y3

y

z

y2

z2

2z3

,

y1

z1

z3f

2z

2

2z

2

6z

2

.1 2 3得

y

3

3

y1

1

z

02

z2

1

z1

1

0

即

y2

0

10所用变换矩阵为

1

0

0

0

0C

11

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

3

1 1

10 0 02

1

1

.

C

2

0

.二、配方法注：向量

x

到向量

y

的线性变换为

x C1y

,向量

y

到向量

z

的线性变换为y C2z

,则向量

x

到向量

z

的线性变换为x C1C2z

.Pa

r

t 2初等变换法一、初等变换法一、初等变换法一、初等变换法即练习例3

利用对称初等变换化二次型成标准形，并求所用的线性变换的矩阵.练习练习练习例4

利用对称初等变换化二次型成标准形.练习练习Pa

r

t 3正交变换法一、正交矩阵及其性质定义5

设

C

为

n

阶实矩阵，如果

C

满足CTC

CCT

I则称

C

为正交矩阵.例如，

都是正交矩阵.

cos

sin

sin

cos

2

0

，

00 0

1

12 2

1

12

1一、正交矩阵及其性质定理5 正交矩阵具有如下性质：（1）正交矩阵的行列式为1或-1;（2）正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即;（3）若A,

B为正交矩阵，则它们的逆矩阵和乘积矩阵AB也是正交矩阵；（4）C是正交矩阵的充要条件是C

的列（行）向量组是标准正交向量组.二、正交变换法定义6

设

C

为

n

阶正交矩阵，x,

y

是

n

维实向量，则称线性变换是

n

维实空间注：利用正交变换上的正交变换.将实二次型转化为标准形则等价于实对称矩阵A

求一个正交矩阵C，使得二、正交变换法定理6 对

n阶实对称矩阵

A，有（1）A

的特征值都是实数.（2）A

的对应于不同特征值的特征向量必正交.定理7 对

n

阶实对称矩阵

A，必存在正交矩阵

C，使得其中 为A

的特征值，C

的

n

个列向量是

A

的对应特征值的标准正交特征向量.二、正交变换法归纳以上定理的结果，用正交变换化二次型为标准形的一般步骤如下：，求

A

的

n

个特征值，求

A

关于；的线性无关的特征向量；（1）由（2）对 ，由（3）对重特征值 ，用施密特正交化方法，将

t

个线性无关的特征向量正交化；（4）将

A

的

n

个正交的特征向量单位化，再以它们为列向量构成正交矩阵

C，并写出相应的正交变换 和二次型的标准形.练习例