高等数学（财经类） 课件 第二章 导数和微分

§2.1

导数的概念

第二章导数和微分CONTENT1导数的定义目录2用定义计算导数3导数的几何意义4函数的可导性与连续性的关系

前言微积分极限微分学积分学不定积分定积分导数微分

前言微积分学的创始人:

英国数学家牛顿

(Newton)

德国数学家莱布尼茨

(Leibniz)

他们把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个是切线问题(微分学的中心问题),一个是求积问题(积分学的中心问题).

前言牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的.

牛顿在1671年写了《流数术和无穷级数》,他把连续变量叫做流动量,把这些流动量的导数叫做流数.他所提出的中心问题是:已知连续运动的路径,求给定时刻的速度(微分法);已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法).百科全书式“全才”

前言1686年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献,他是历史上最伟大的符号学者之一,他所创设的微积分符号远远优于牛顿的符号,这对微积分的发展有极大的影响.现今我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的.历史上少有的“通才”

前言十七世纪,有许多科学问题需要解决,这些问题也就成了促使微积分产生的因素.归结起来,大约有四种主要类型的问题:第一类是研究运动的时候直接出现的,也就是求即时速度的问题;第二类问题是求曲线的切线的问题;第三类问题是求函数的最大值和最小值问题;第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力.

前言微分学

导数:描述函数变化快慢

微分:描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数的定义Chapter1第一部分:变化率问题举例引例1

变速直线运动的瞬时速度设一质点按某种规律做变速直线运动,质点运动的路程s与时间t的关系s=s(t),求质点在时刻的瞬时速度.质点从到这段时间内的平均速度为:质点在时刻的瞬时速度为:第一部分:变化率问题举例

设从0到t这段时间通过导体横截面的电量为Q(t),求t0时刻的电流强度

i(t0).引例2

非恒定电流的电流强度

物理学中,对于恒定电流来说,电流强度(简称电流),即单位时间内通过导线横截面的电量,可用公式

来计算,其中Q为通过的电量,t为时间.但在实际问题中,常会遇到非恒定的电流.例如,正弦交流电.

时间t在时刻t0有增量,则在

这段时间内的平均电流强度为

第一部分:变化率问题举例

设从0到t这段时间通过导体横截面的电量为Q(t),求t0时刻的电流强度

i(t0).引例2

非恒定电流的电流强度

当

时,的极限就是t0时刻的瞬时电流强度

i(t0),即

第二部分:导数的定义注:函数的导数:函数的改变量与自变量的改变量之比

在自变量增量趋于零时的极限.第二部分:导数的定义定义1设

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义,当自变量x在x0处取得增量(点

仍在该邻域内)时,相应地,函数

y取得增量若当

时,极限存在,则称此极限为函数

y=f(x)在点

x0处的导数,并称函数

y=f(x)在点

x0处可导,记为第二部分:导数的定义导数定义式的其它形式：第二部分:导数的定义说明:在经济学中,边际成本率、边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.根据导数概念,前面两个问题可以表述为:(1)求变速直线运动的质点在时刻的瞬时速度,即求路程函数s=s(t)

在处的导数即(2)求非恒定电流在t0时刻的电流强度,即求通过导体横截面的电量函数Q(t)在t0处的导数即第二部分:导数的定义注:用导数的定义求函数f(x)在点处导数的步骤为:(1)求增量：(2)算比值：(3)取极限：第三部分：单侧导数定义2设函数f(x)在点

x0的某个左邻域(或右邻域)内有定义,且极限

(或)存在,则称此极限值为f(x)在点

x0的左导数(或右导数),记为(或),即第三部分：单侧导数定理1函数f(x)在点

x0处可导的充分必要条件是:函数y=f(x)在点

x0处的左、右导数均存在且相等,即

练习例1讨论

在

x=0处的可导性.

解

而

由于,因而

在

x=0处不可导.

练习例2求函数

在

x=0处的导数.

解

当

时,故

当

时,由,得第四部分：函数在区间内可导及导函数定义3若函数f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,则称f(x)在(a,b)内可导；若f(x)在(a,b)内可导,且在点a右侧可导,在点b左侧可导,则称

f(x)在闭区间[a,b]上可导.注:f(x)在(a,b)内可导时,对任意的,总存在唯一的导数值

与之对应.因此

是x的函数,称

为f(x)的导函数,简称导数,导函数

也可记为第四部分：函数在区间内可导及导函数

函数y=f(x)在点处的导数

,也就是导函数在处的函数值,即第四部分：函数在区间内可导及导函数?思考

函数

f(x)在某点

x0处的导数

与导函数

有什么区别与联系？

解

是

在点

x0的导数值,是一个具体的数值.

是由于f(x)在某区间

I上每一点都可导而定义在

I上的一个新函数.两者的区别两者的联系一个是数值,另一个是函数.

在某点

x0处的导数

即是导函数

在

x0处的函数值.用定义计算导数Chapter2第一部分:用定义求导数注:用导数的定义求函数

f(x)的导数分为三步:(1)求增量：(2)算比值：(3)取极限：

练习例3求函数

的导数.

解

即

练习例4求函数

的导数.

解

因为

时,所以

练习例5设

存在,求极限

解

练习例6若函数

f(x)可导,求.

解

导数的几何意义Chapter3第一部分:导数的几何意义

割线的斜率为:例如

切线问题设函数y=f(x)的图像如图所示,是其上的一点,求曲线在点处切线的斜率k.

切线的斜率为:第一部分:导数的几何意义导数的几何意义:曲线y=f(x)在点处的切线斜率若,曲线过上升;若,曲线过下降;若,切线与x轴平行;若,切线与x轴垂直.第一部分:导数的几何意义曲线

y=f(x)在点

处的切线方程为法线方程为

练习例7若曲线

y=x3在(x0,y0)处切线斜率等于3,求点(x0,y0)的坐标.

解

由题意得,即

解得

把

x0=1代入

y=x3,得

y0=1.把

x0=-1代入

y=x3,得

y0=-1.综上得,点(x0,y0)的坐标为(1,1)和(-1,-1).

练习例8抛物线

y=x2在何处切线与Ox轴正向夹角为,并求该处的切线方程.

解

由题意得,即

解得

把

代入

y=x2,得

所以

y=x2在点

处切线与Ox轴正向夹角为,且此处的切线为函数的可导性与连续性的关系Chapter4第一部分：函数的可导性与连续性的关系定理2若函数

y=f(x)在点x0处可导,则它在x0处连续.

证

因为函数

y=f(x)在点x0处可导,故有其中,从而

所以,函数

y=f(x)在点x0处连续.第一部分：函数的可导性与连续性的关系定理2若函数

y=f(x)在点x0处可导,则它在x0处连续.注：该定理的逆命题不成立.即函数在某点连续,但在该点不一定可导.例如,在例5中函数

f(x)=|x|在x=0处连续但不可导.例9设

问a,b取何值时,函数

f(x)在x=0处可导.解

f(x)在x=0处可导,其必要条件是

f(x)在x=0处连续,即因为所以

b=1.

练习

练习例9设

问a,b取何值时,函数

f(x)在x=0处可导.解

又若要

f(x)在x=0处可导,必有

a=1.所以,当a=1,b=1时,函数

f(x)在x=0处可导.例10讨论

在x=0处的连续性与可导性.

练习解

注意到

是有界函数,则有由

知,函数

f(x)在x=0处连续.

但在x=0处有因为极限

不存在,所以

f(x)在x=0处不可导.

医学问题

例11人在遇到光亮刺激时,眼睛会通过减少瞳孔的面积作出反应,实验表明:当光亮为x时,瞳孔的面积R(单位:mm2)为在研究人体对外界光强度x的刺激时,将R对x的变化率称为敏感度,求人体对光的敏感度.

医学问题解

人对光的敏感度为小结1.

导数的概念导数的实质是函数增量与自变量增量比值的极限.小结2.

导数的几何意义3.

可导与连续的关系几何意义是切线的斜率；

在

处的；切线方程法线方程函数可导一定连续，但连续不一定可导.谢谢！

§2.2

求导法则与导数公式

CONTENT1导数的四则运算法则2反函数的求导法则目录3复合函数的求导法则4基本求导法则与导数公式导数的四则运算法则Chapter1第一部分：导数的四则运算法则定理3如果函数u=u(x)及v=v(x)都在点x处具有导数,那么它的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x处具有导数,且第一部分：导数的四则运算法则

证

法则(2)第一部分：导数的四则运算法则推论1法则(1)(2)均可推广到有限多个函数运算的情形.例如,设u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可导,则有推论2若法则(2)中令v(x)=C(C为常数),则有推论3若法则(3)中令u(x)=C(C为常数),则有

练习例12设,求.解

例13求

的导数.解

练习例14

求

的导数.解即

同理可得

练习例15（1）

求

的导数.解

因为

所以

练习例15（2）

求

的导数.解

因为

所以

练习例16（1）

设,求.解

例16（2）

设

,求解

电学领域例17电路中某点处的电流

i是通过该点处的电量q关于时间t的瞬时变化率,如果一电路中的电量为,试求：(1)其电流函数i(t)；(2)t=2时的电流.解

(1)

根据题意,电流函数为

(2)当t=2时,

反函数的求导法则Chapter2第一部分：反函数的求导法则定理4设函数

在区间Iy内单调、可导且,则其反函数

y=f(x)在对应区间Iy内也可导,且注：(1)反函数的导数等于直接函数导数的倒数;(2)这里的反函数是以y为自变量的,没有对它作记号变换,即

是对y求导,是对x求导.

练习例19求函数

的导数.解

因为

的反函数

在

内单调、可导,且

所以在对应区间

内,有

即

练习同理可得

练习例19求函数

的导数.解

因为

的反函数

在

内单调、可导,且

所以在对应区间

内,有

即

复合函数的求导法则Chapter3第一部分：复合函数的求导法则例

求

？解

由于

故

解

第一部分：复合函数的求导法则定理5若函数u=g(x)在点x处可导,而y=f(u)在点u=g(x)处可导,则复合函数y=f[g(x)]在点x处可导,且其导数为链式法则定理3可以推广到有限个函数的复合.设函数均可导,则复合函数的导数为

练习解

例21设函数,求导数.例22求

的导数.解

练习例23（1）

求

的导数.（2）求

的导数.解

解

练习例24设,求解

因此

练习例25设,求解

例18已知

可导,求函数

的导数.解

基本求导法则与导数公式Chapter4基本初等函数的导数公式第二部分：求导法则(4)若,则对于复合函数

有

第三部分：反函数的求导法则设x=f(y)在区间Iy内单调、可导,且,则它的反函数

在

内也可导,且第四部分：复合函数的求导法则设

y=f(u),u=g(x),且f(u)及g(x)都可导,则复合函数y=f[g(x)]的导数为小结1.

导数的四则运算法则注：在导数的四则运算法则中，要注意：小结2.

反函数的求导法则3.

复合函数的求导法则遵循链式法则4.

基本求导法则与导数公式牢记基本初等函数的导数公式设函数

的反函数为

y=f(x)，则谢谢！

§2.3

高阶导数

CONTENT1高阶导数的定义2特殊函数的高阶导数*目录高阶导数的定义Chapter1第一部分：高阶导数的定义定义4

若函数

y=f(x)的导函数

在点x处可导,则称导函数在点x处的导数为函数

f(x)的二阶导数,记为类似地,定义

y=f(x)的二阶导数

的导数为三阶导数,记为第一部分：高阶导数的定义一般地,

y=f(x)的n-1阶导数的导数为

f(x)的n阶导数,记为注：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.

练习例27

设,求.解

故

练习例28

设,求.解

所以

特殊函数的高阶导数Chapter2*

练习例29*

求下列函数的n阶导数.解

即

练习例29*

求下列函数的n阶导数.解

练习例29*

求下列函数的n阶导数.解

归纳得

即

同理,有

练习例29*

求下列函数的n阶导数.解

归纳得即而

练习例30*

求下列函数的n阶导数.解

得

练习例30*

求下列函数的n阶导数.解

得

应用案例例31

设某种汽车刹车后运动规律为,假设汽车做直线运动,求汽车在

t=4s时的速度和加速度.解

刹车后速度为

刹车后加速度为

应用案例例31

设某种汽车刹车后运动规律为,假设汽车做直线运动,求汽车在

t=4s时的速度和加速度.解

当

t=4s时汽车速度为

加速度为

小结1.

高阶导数的定义y=f(x)的n阶导数：注：二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.2.

特殊函数的高阶导数*谢谢！

§2.4

隐函数的导数

CONTENT1隐函数的导数2对数求导法*目录3参数方程表示的函数的导数*隐函数的导数Chapter1第一部分：隐函数的导数隐函数求导法显化不易显化或无法显化——等式两边同时对变量求导显函数隐函数第一部分：隐函数的导数若已知F(x,y)=0,求

的步骤如下：a)若方程F(x,y)=0,能化为

y=f(x)的形式,则用前面所学的方法进行求导；b)若方程F(x,y)=0,不能化为

y=f(x)的形式,则是方程两边对x进行求导,并把y看成x的函数y=f(x),用复合函数求导法进行求导.

练习例32

已知,求.

解

方程两边对x进行求导,得

即

故

练习例33

求由方程

所确定的隐函数

在点处的切线方程.解方程两边对

x

求导,得

解得

在点

处

于是,在点

处的切线方程为

即

练习例34

设y=f(x)由方程

确定,求.

解

方程两边对x求导,得

解得,两边再对x求导,得

故第一部分：隐函数的导数注：(1)对隐函数两边对x进行求导时,一定要把变量y看成x的函数,然后对其利用复合函数求导法则进行求导；(2)求隐函数的二阶导数时,在得到一阶导数的表达式后,再进一步求二阶导数的表达式,此时要注意将一阶导数的表达式代入其中.对数求导法*Chapter2第一部分：对数求导法?多个函数相乘(除)幂指函数思考:函数,如何求导？

练习例35

设

，求.解

等式两边取对数得两边对

x求导得第一部分：对数求导法一般地,设,在等式两边取对数,得在等式两边同时对自变量x求导,得从而

练习例36

设

，求.解两边对

x求导得等式两边取对数得参数方程表示的函数的导数*Chapter3第一部分：参数方程表示的函数的导数若由参数方程

确定y与x之间的函数关系,则称此函数关系所表示的函数为参数方程表示的函数.一般地,设

具有单调、连续的反函数,则变量y与x构成复合函数关系假定函数

都可导,且,则由复合函数与反函数的求导法则,有第一部分：参数方程表示的函数的导数若函数

二阶可导,则可进一步求出

y=y(x)的二阶导数.令上式为两边对x求导,得

练习例37

设参数方程

确定函数

y=y(x),求

解

小结1.

隐函数的求导法隐函数即由方程

所确定的函数.直接在方程

两边对

x

求导再解出,但应注意

F

对变元

y

求导时,要利用复合求导法则.2.

对数求导法*当函数式较复杂(含乘、除、乘方、开方、幂指函数等)时,在方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.小结3.

参数方程表示的函数的导数*由参数方程

确定的函数

y=y(x),则谢谢！

§2.5

函数的微分

CONTENT1

微分的概念2

微分的几何意义目录3

微分的基本公式与运算法则4

微分在近似计算中的应用*微分的概念Chapter1

引例引例

正方形金属薄片受热后面积的改变量.金属薄片原面积：受热变形后面积：面积的改变量为：

引例引例

正方形金属薄片受热后面积的改变量.面积的改变量为：(1)(2)(1)Δx

的线性函数,且为ΔA的主要部分；(2)Δx

的高阶无穷小,当

很小时可忽略.

引例又如,设函数

在点

处的改变量为,

求函数的改变量.函数的改变量为：(1)(2)当

很小时,(2)是

的高阶无穷小,第一部分：微分的概念定义5设函数

在某区间内有定义,及

在这区间内,如果函数的增量

可表示为则称函数

在点

处可微,并且称

为函数

在点

处相应于自变量的改变量

的微分,记作

或,即微分

叫做函数增量

的线性主部.第一部分：微分的概念说明：

(1)是自变量的改变量

的线性函数;(2)是比

高阶的无穷小;(3)当

时,与

是等价无穷小，(4)当

很小时,(线性主部).定理6

函数

在点

处可微的充要条件是函数在点

处可导,且由关系式：函数

的微分可记为：因,约定即,自变量的微分等于自变量的改变量.从而即,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数.因此,导数也称为“微商”.第一部分：微分的概念

练习例38

设函数,求函数的微分及函数在x=1处当

时的微分.

解

当x=1且

时,微分的几何意义Chapter2第一部分：微分的几何意义几何意义:当

是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量.当

很小时,在点M的附近,切线段MP可近似代替曲线段MN.播放返回微分的基本公式与运算法则*Chapter3基本初等函数的微分公式第二部分：微分的四则运算法则导数的四则运算法则微分的四则运算法则第三部分：微分形式不变性*设

y=f(u)是可微函数,若u是自变量,得若

y=f(u),u=g(x),且两者均可导,则由复合函数的求导法则得由上述分析可知,若函数

y=f(u)可微,则不论u是自变量还是中间变量,其微分形式保持不变,称这一性质为微分形式不变性.

练习例39

设

y=f(x)由方程

确定,求微分dy.

解

方程两边同时微分,得

由微分形式不变性,有

解出dy得

微分在近似计算中的应用*Chapter4第一部分：微分在近似计算中的应用当

y=f(x)在点x0处的导数,且

很小时,有上式也可以写为令,即,那么可改写为第一部分：微分在近似计算中的应用从导数的几何意义可知,这也就是用曲线

y=f(x)在点

处的切线近似代替该曲线(就切点邻近部分来说).

练习例40

一个外直径为10cm的球,球壳厚度为

cm,试求球壳体积的近似值.

解

半径为r的球的体积为

球壳体积为,用dV作为其近似值,有

其中,故所求球壳体积

的近似

值

为

练习例41求

的近似值.

解

将该问题看成求函数

在点x=1.02处

的函数值的近似值问题,则

令,则有小结1.

微分的基本公式2.

可导与微分的关系可导

可微.3.

微分形式不变性4.

微分的近似计算谢谢！

§2.6

微分中值定理

CONTENT1

罗尔定理2

拉格朗日中值定理目录罗尔定理Chapter1第一部分：罗尔定理几何意义:设函数

y=f(x)在闭区间[a,b]上的图形是一条连续光滑的曲线弧,这条曲线在区间(a,b)内每一点都存在不垂直于x轴的切线,且区间[a,b]的两个端点的函数值相等,即

f(a)=f(b),则可以发现在曲线弧上的最高点或最低点处,曲线有水平切线,即有第一部分：罗尔定理定理7(罗尔定理)若函数

y=f(x)满足(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,(3)在区间端点处的函数值相等,即

f(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点,使得

注：若函数

f(x)在[a,b]上满足定理的三个条件,则其导数

在(a,b)内至少存在一个零点.例42不求导数,判断函数

的导数有几个零点及这些零点所在的范围.解

因为

所以

在闭区间[1,2]、[2,3]上满足罗尔定理的三个条件,从而在(1,2)内至少存在一点,使即

是

的一个零点；

又在(2,3)内至少存在一点,使

即

也是

的一个零点.

练习

练习例42不求导数,判断函数

的导数有几个零点及这些零点所在的范围.

又因为

为二次多项式,最多只能有两个零点,故

恰好有两个零点,分别在区间(1,2)和(2,3)内.例43证明方程

有且仅有一个小于1的正实根.证

设

则

在[0,1]上连续,且由零点定理知,存在,使即x0是题设方程的小于1的正实根.

下面证明x0是题设方程的小于1的唯一正实根.

用反证法,设另有,,使因为

在

之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一点(在

之间),使得.但导致矛盾,故

即为题设方程的小于1的唯一正实根.

练习

练习例44

设

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

f(1)=0.求证:至少存在一点,使

解

构造辅助函数

F(x)=xf(x),因为

f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,所以F(x)也[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且

F(0)=F(1)=0,由罗尔定理知,在(0,1)内至少存在一点,使

即

故拉格朗日中值定理Chapter2第一部分：拉格朗日中值定理微分中值公式或拉格朗日中值公式定理8(拉格朗日中值定理)若函数

y=f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续,(2)在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点,使得第一部分：拉格朗日中值定理几何意义:为弦AB的斜率,而

分别为曲线在点C1,C2处的切线的斜率.拉格朗日定理表明,在满足定理条件的情况下,曲线

y=f(x)上至少有一点C,使曲线在点C处的切线平行于弦AB.第一部分：拉格朗日中值定理设,在以

为端点的区间上应用拉格朗日中值公式,则有即增量Δy的精确表达式

注：上式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数之间的关系,这个公式又称为有限增量公式.推论

如果函数

f(x)在区间

I

上的导数恒为零,那么

f(x)在区间

I

上是一个常数.由条件知,所以

证

在区间

I

上任取两点,在区间

上应用拉格朗日中值定理,得再由

的任意性知,f(x)在区间

I

上任意点处的函数值都相等,即

f(x)在区间

I

上是一个常数.第一部分：拉格朗日中值定理第一部分：拉格朗日中值定理推论

如果函数

f(x)在区间

I

上的导数恒为零,那么

f(x)在区间

I

上是一个常数.

推论表明：导数为零的函数就是常数函数.例45证明：

练习证

设

得例45证明：

练习证

又因为

从而例46证明：当

x>0时,证

设

则

f(x)在[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件.故

从而又由

练习小结1.

中值定理的条件和结论小结2.

中值定理的几何意义3.

中值定理的应用(1)常用于其它定理的证明；(2)用于证明恒等式、不等式、方程的根的存在性、中值的存在性,应逐步熟悉构造辅助函数证题的方法.4.

中值定理的推论若谢谢！

§2.7

洛必达法则

CONTENT目录3

其他类型的未定式1

型未定式2

型未定式

型未定式Chapter1第一部分：

型未定式定义

若当

时,两个函数

f(x)与都

g(x)都趋于零或都趋于无穷大,则极限

可能存在,也可能不存在.通常称这种类型的极限为

型未定式或

型未定式.例如,第一部分：

型未定式定理9(洛必达法则I)

设函数

f(x),g(x)满足下列条件：(1)(2)在点a的某去心邻域内可导,且(3)则

第一部分：

型未定式说明：(1)应用洛必达法则之前,必须先判定所求极限为

型未定式.(2)定理1中极限过程

改为

时,定理1仍适用.(3)若

仍为

型未定式,可再次运用洛必达法则,直至

极限值求出为止.(4)在应用洛必达法则之前或求解过程中,应尽可能用其他方

法简化所求极限,如等价无穷小替换等.

练习例47

求

解

当

时,得

练习例48

求

解

例49

求

解

练习例50

求

解

这是

型未定式,连续应用洛必达法则两次,得

上式中

已经不是未定式,不能再对它应用洛必达

法则,否则会导致错误.

型未定式Chapter2第一部分：

型未定式定理10(洛必达法则II)

设函数

f(x),g(x)满足下列条件：(1)(2)f(x),g(x)在点a的某去心邻域内可导,且(3)则

注：

改为

等,定理2仍有效.

练习例51

求

解

练习例52

求

解

这是

型未定式,由于右极限不存在,也非,故不能用洛必达法则.

注意到,时,为无穷小,sinx为有界函数,于是

从而

其他类型的未定式Chapter3第一部分：其他类型的未定式除了

型外,未定式还有

等类型,经过简单的变换,它们一般都可化为

型未定式,然后再利用洛必达法则求极限.第一部分：其他类型的未定式

步骤

取对数

练习例53

求

解

例54

求

解

小结1.

未定式小结2.

洛必达法则设函数

f(x),g(x)满足下列条件：(1)(2)f(x),g(x)在点a的某去心邻域内可导,且(3)则

谢谢！

§2.8

函数的单调性与曲线的凹凸性

CONTENT1

函数的单调性2

曲线的凹凸性与拐点目录函数的单调性Chapter1第一部分：函数的单调性几何解释:如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调增加,其曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,因此它们的斜率

都是正的.第一部分：函数的单调性几何解释:如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调增加,其曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,因此它们的斜率

都是正的.同样,如果函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调减少,曲线上各点切线的倾斜角都是钝角,它们的斜率

都是负的.第一部分：函数的单调性定理11设函数

f(x)在[a,b]上连续;在(a,b)内可导.

(1)

如果在(a,b)内,则

f(x)在(a,b)内是单调增加的；

(2)

如果在(a,b)内,则

f(x)在(a,b)内是单调减少的；

(3)

如果在(a,b)内恒有,则

f(x)在(a,b)内是常数.注：将定理1中的闭区间[a,b]换成其他各种区间(包括无穷区间),定理的结论仍成立.通常,称使

的点x0为函数

f(x)的驻点.第二部分：单调区间的求法问题：如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性？定义：若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.注意：导数等于零的点和不可导点,均可能是单调区间的分界点.方法：用方程f'(x)=0的根及f'(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.(可采用列表方式)？第二部分：单调区间的求法判定一个函数

f(x)的单调区间的步骤：

(1)

求导数,并求出

和导数不存在的点；

(2)

以(1)中求出的点作为

f(x)的定义域的分界点,将

f(x)的定义域划分成若干个子区间；

(3)

讨论

在各子区间上的符号,从而由定理1确定

f(x)在各子区间上的单调性.

练习例55

判定函数

的单调区间.

解

函数

f(x)的定义域为,求导得

令,得

故函数的单增区间为

和,单减区间为.第二部分：单调区间的求法注：使导数不存在的点也可能是函数增减区间的分界点.例如,函数

y=|x|在点

x=0处连续不可导,但在

内,在

内,即函数在区间

内单调减少,在区间

内单调增加,显然,点

x=0是函数增减区间的分界点.

练习例56讨论函数

的单调性.

解

函数

的定义域为,

因此,在

上单调递增,在

上单调递减.

练习例57证明不等式：当x>0时,

解

令

因为

f(x)在

上连续,在

内可导,且

当x>0时,.又

f(0)=0,故当x>0时,f(x)>f(0)=0,所以

练习例57证明不等式：当x>0时,

解

再令

又

所以,当x>0时,g(x)单调增加.又因

g(x)在

上连续,且

g(0)=0,所以,x>0时,g(x)>0,即

综上,当x>0时,曲线的凹凸性与拐点Chapter2第一部分：曲线的凹凸性问题：

如何研究曲线的弯曲方向？？定义1设

f(x)在区间I内连续,若对I上任意两点

x1,x2,恒有则称

f(x)在I上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；若恒有则称

f(x)在I上的图形是(向上)凸的(或凸弧).几何解释

曲线的弯曲方向返回第一部分：曲线的凹凸性几何解释定理12设

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数.(1)若在(a,b)内,,则

f(x)在[a,b]上的图形是凹的；(2)若在(a,b)内,,则

f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

凹凸性判定定理几何分析返回

练习例58判定曲线

的凹凸性.

解

当x<0时,,所以曲线

在

内是凸的；当x>0时,,所以曲线

在

内是凹的.

注：点(0,0)是使曲线凹凸性发生改变的分界点,此类分界点称为曲线的拐点.第二部分：曲线的拐点定义2对于连续曲线

y=f(x)在上的点,若在此点两侧曲线的凹凸性发生改变,则称此点为该曲线的拐点.定理2设

f(x)在点

的某去心邻域内二阶可导,或

不存在,若在

两侧,的符号相反,则

为曲线f(x)的拐点.第二部分：曲线的拐点综上所述,判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：(1)确定函数的定义域,并求其二阶导数

；(2)令,解出全部实根,并求出所以使二阶导数

不存在的点；(3)对步骤(2)中求出的每一个点,检查其邻近左、右两侧

的符号；(4)根据

的符号确定曲线的凹凸区间和拐点.

练习例59判定曲线

的凹凸性.

解

(1)定义域,

(2)令

不存在的点为

x=1.

练习例59判定曲线

的凹凸性.

解

(3)列表

(4)所以,曲线的凹区间为,凸区间为(0,1),

拐点为小结1.

函数的单调性与驻点设函数

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,

(1)

f(x)在(a,b)内单调增加；

(2)

f(x)在(a,b)内单调减少.注：使

的点x0为函数

f(x)的驻点.小结2.

曲线的凹凸性与拐点设

f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有一阶和二阶导数.(1)f(x)在[a,b]上是凹的；(2)f(x)在[a,b]上是凸的.注：使凹凸性发生改变的临界点称为拐点.谢谢！

§2.9

函数的极值与最值

CONTENT1

函数的极值与求法2

函数的最值与求法目录函数的极值与求法Chapter1

引例引例

设有函数,点x=1及x=2是该函数单调区间的分界点,又可知在点x=1左侧附近,函数值是单调增加的,在点x=1右侧附近,函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外),均成立,点x=2也有类似的情况,为什么这些点有这些性质呢？第一部分：函数极值的定义定义8设函数

f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内一点.若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点

x(x0除外)

均成立,则说

f(x0)是函数

f(x)的一个极大值；

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点

x(x0除外)

均成立,则说

f(x0)是函数

f(x)的一个极小值.几何解释

注：函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.第一部分：函数极值的定义极值的局部性与取得极值的条件分析返回第二部分：函数极值的求法定理14(极值点的必要条件)设函数

f(x)在点x0的某邻域内有定义,点x0是

f(x)的极值点的必要条件是

注：函数的极值点必定是它的驻点或导数不存在的点,但导数的驻点或导数不存在的点不一定是极值点.例如,

但x=0不是极值点.第二部分：函数极值的求法定理15(极值的第一充分条件)设函数

f(x)在点x0的某邻域内连续且可导,(1)若在点x0的左邻域内,