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文档简介
中考数学总复习《阅读理解综合压轴题》专项提升练习(附答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________1.阅读下列有关材料并解决有关问题.我们知道x=例如:化简代数式x+1+x−2时,可令x+1=0和x−2=0,分别求得x=−1和x=2(称-1,2分别为x+1与x−2的零点值).在有理数范围内,零点值x=−1和x=2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的三种情况:①x<−1;②−1≤x<2;③x≥2.化简x+1+x−2时,对应三种情况为:①当x<−1时,原式=−x+1−x−2=−2x+1;②当通过以上阅读,请你解决问题:(1)x−3+(2)化简代数式x−3+(3)解方程x−3+(4)x−3+x+4+2.先阅读下列材料,再解答问题:常用的分解因式的方法有提取公因式法和公式法,但有的多项式只用上述一种方法无法分解,例如多项式x2−xy+4x−4y和解答过程如下:(1)(2)这种方法叫分组分解法,对于超过三项的多项式往往考虑这种方法.利用上述思想方法,把下列各式分解因式:(1)m3(2)x3.阅读下列材料:已知实数x,y满足x2+y解:设x2+y2=a,则原方程变为(a+1)(a−1)=63,整理得a2−1=63,a根据阅读材料内容,解决下列问题:(1)已知实数x,y满足(2x+2y+3)(2x+2y−3)=27,求x+y的值.(2)已知a,b满足方程组3a2−2ab+12(3)填空:已知关于x,y的方程组a1x+b1y=c1a24.例:解不等式(x﹣2)(x+3)>0解:由实数的运算法则:“两数相乘,同号得正”得①x−2>0x+3>0,或②x−2<0解不等式组①得,x>2,解不等式组②得,x<﹣3,所以原不等式的解集为x>2或x<﹣3.阅读例题,尝试解决下列问题:(1)平行运用:解不等式x2﹣9>0;(2)类比运用:若分式x+1x−2的值为负数,求x5.定义:有一个内角为90°,且对角线相等的四边形称为准矩形.(1)如图1,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,若AB=2,BC=3,则BD=_____;(2)如图2,正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、AB上的点,且CF⊥BE,求证:四边形BCEF是准矩形;(3)已知,准矩形ABCD中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,当△ADC为等腰三角形时,求这个准矩形的面积.6.仔细阅读下面例题,解答问题.【例题】已知:m2−2mn+2n2−8n+16=0解:∵m2−2mn+2n∴(m−n)2+(n−4)2=0,∴m−n=0,n−4=0∴m的值为4,n的值为4.【问题】仿照以上方法解答下面问题:(1)已知x2+2xy+2y2−6y+9=0(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,三边长a、b、c都是正整数,且满足a2+b7.如图,直线y=43(1)求A,B两点的坐标;(2)过B点作直线与x轴交于点P,若△ABP的面积为8,试求点P的坐标.(3)点M是OB上的一点,若将△ABM沿AM折叠,点B恰好落在x轴上的点B1处,求出点M的坐标.(4)点C在y轴上,连接AC,若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直接写出点C的坐标.
8.定义:把斜边重合,且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形.(1)概念理解:如图1,在△ABC和△DBC中,∠A=90∘,AB=3,AC=4,BD=2,CD=21,说明(2)问题探究:如图2,△ABC和△DBC是共边直角三角形,E、F分别是AD、BC的中点,连结EF,求证EF⊥AD.(3)拓展延伸:如图3,△ABC和△DBC是共边直角三角形,且BD=CD,连结AD,求证:AD平分∠BAC.9.【定义】如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形,那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”,如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形,那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”.【理解】如图①,在△ABC中,∠A=27°,∠C=72°,请你在这个三角形中画出它的“好线”,并标出等腰三角形顶角的度数.如图②,已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形,请你在这个三角形中画出它的“好好线”,并标出所分得的等腰三角形底角的度数.【应用】(1)在△ABC中,已知一个内角为24°,若它只有“好线”,请你写出这个三角形最大内角的所有可能值(按从小到大写);(2)在△ABC中,∠C=27°,AD和DE分别是△ABC的“好好线”,点D在BC边上,点E在AB边上,且AD=DC,BE=DE,根据题意写出∠B的度数的所有可能值.10.【阅读】如图1,若ΔABD∽ΔACE,且点B,D,C在同一直线上,则我们把ΔABD与ΔACE称为旋转相似三角形.【理解】(1)如图2,ΔABC和ΔADE是等边三角形,点D在边BC上,连接CE.求证:ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形.【应用】(2)如图3,ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形,AD//CE.求证:AC=DE.【拓展】(3)如图4,AC是四边形ABCD的对角线,∠D=90°,∠B=∠ACD,BC=25,AC=20,AD=16.试在边BC上确定一点E,使得四边形AECD是矩形,并说明理由.11.定义:如果三角形上有两点,其中一点为一边的中点,且这两点的连线将三角形分成周长相等的两部分,我们就称这条线段为该三角形的“等分周线”.如图1,在△ABC中,D是BC的中点,点E在AB上,若BD+BE=CD+AC+AE,则DE为△ABC的一条“等分周线”.概念理解:(1)任意三角形的“等分周线”有______条,若某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点,则这个三角形是______.规律探究:(2)如图1,在△ABC中,DE为△ABC的一条“等分周线”.若AB>AC,∠A=α,AC=m,求DE的长.(用含m,α的代数式表示).拓展应用(3)如图2,在四边形ABCD中,BC=2CD,AC平分∠BCD,BA⊥AC,点E在线段AC上,连接ED,EB,且AB=3,EC=3+1,∠BEC=120°12.(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠ADC=90°.E,F分别是BC,CD上的点,且BE+FD=EF.试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系.小明同学探究此问题的方法是:延长FD到G,使DG=BE,连结AG.先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,从而得出∠EAF=∠GAF,最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是.(2)将(1)中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”(如图②),其余条件不变,上述数量关系是否成立,成立,请证明;不成立,说明理由(3)如图③,中俄两国海军在南海举行联合军事演习,中国舰艇在指挥中心(O)北偏西30°的A处,俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处,两舰艇到指挥中心距离相等.接到行动指令后,中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进,俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进,2小时后,指挥中心观测到两舰艇分别到达E,F处且相距280海里.求此时两舰艇的位置与指挥中心(O处)形成的夹角∠EOF的大小.13.定义:如图1,点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN,若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段AB的勾股点.已知点M、N是线段AB的勾股点,若AM=1,MN=2,则BN=.(1)【类比探究】如图2,DE是△ABC的中位线,M、N是AB边的勾股点(AM<MN<NB),连接CM、CN分别交DE于点G、H.求证:G、H是线段DE的勾股点.(2)【知识迁移】如图3,C,D是线段AB的勾股点,以CD为直径画⊙O,P在⊙O上,AC=CP,连结PA,PB,若∠A=2∠B,求∠B的度数.(3)【拓展应用】如图4,点P(a,b)是反比例函数y=2x(x>0)上的动点,直线y=−x+2与坐标轴分别交于A、B两点,过点P分别向x、y轴作垂线,垂足为C、D,且交线段AB于E、F.证明:E、F是线段14.【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形,连接这两个角的顶点的线段称为对余线.【理解运用】(1)如图①,对余四边形ABCD中,AB=5,BC=6,CD=4,连接AC.若AC=AB,求sin∠CAD的值;(2)如图②,凸四边形ABCD中,AD=BD,AD⊥BD,当2CD2+CB2=CA2时,判断四边形ABCD是否为对余四边形.证明你的结论;【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中,点A(﹣1,0),B(3,0),C(1,2),四边形ABCD是对余四边形,点E在对余线BD上,且位于△ABC内部,∠AEC=90°+∠ABC.设AEBE=u,点D的纵坐标为t,请直接写出u关于t15.定义:若四边形有一组对角互补,一组邻边相等,且相等邻边的夹角为直角,像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形,简称“直等补”四边形,根据以上定义,解决下列问题:(1)如图1,正方形ABCD中,E是CD上的点,将ΔBCE绕B点旋转,使BC与BA重合,此时点E的对应点F在DA的延长线上,则四边形BEDF为“直等补”四边形,为什么?(2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC=5,CD=1,AD>AB,点B到直线AD的距离为BE.①求BE的长.②若M、N分别是AB、AD边上的动点,求ΔMNC周长的最小值.16.定义:在平行四边形中,若有一条对角线是一边的两倍,则称这个平行四边形为两倍四边形,其中这条对角线叫做两倍对角线,这条边叫做两倍边.如图1,四边形ABCD是平行四边形,BE//AC,延长DC交BE于点E,连结AE交BC于点F,AB=1,(1)若∠ABC=90°,如图2.①当m=2时,试说明四边形ABEC是两倍四边形;②是否存在值m,使得四边形ABCD是两倍四边形,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由;(2)如图1,四边形ABCD与四边形ABEC都是两倍四边形,其中BD与AE为两倍对角线,AD与AC为两倍边,求m的值.17.定义:有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.【问题理解】(1)如图1,点A、B、C在⊙O上,∠ABC的平分线交⊙O于点D,连接AD、CD.求证:四边形ABCD是等补四边形;【拓展探究】(2)如图2,在等补四边形ABCD中,AB=AD,连接AC,AC是否平分∠BCD?请说明理由;【升华运用】(3)如图3,在等补四边形ABCD中,AB=AD,其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F.若CD=6,DF=2,求AF的长.18.我们把方程(x−m)2+(y−n)2=r2称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如,圆心为(1,−2)、半径长为3的圆的标准方程是(x−1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中,⊙C与x轴交于点A,B,且点B的坐标为(8,0),与(1)求⊙C的标准方程;(2)求抛物线的解析式;(3)试判断直线AE与⊙C的位置关系,并说明理由.19.定义:点P(a,b)关于原点的对称点为P',以PP'为边作等边△PP'C,则称点C为P的“等边对称点”;(1)若P(1,3),求点P的“等边对称点”的坐标.(2)若P点是双曲线y=2x(x>0)上一动点,当点P的“等边对称点”点C①如图(1),请问点C是否也会在某一函数图象上运动?如果是,请求出此函数的解析式;如果不是,请说明理由.②如图(2),已知点A(1,2),B(2,1),点G是线段AB上的动点,点F在y轴上,若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时,求点C的纵坐标yc的取值范围.20.【概念认识】在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”,两条弦所在直线的交点为等垂弦的分割点.如图①,AB、CD是⊙O的弦,AB=CD,AB⊥CD,垂足为E,则AB、CD是等垂弦,E为等垂弦AB、CD的分割点.【数学理解】(1)如图②,AB是⊙O的弦,作OC⊥OA、OD⊥OB,分别交⊙O于点C、D,连接CD.求证:AB、CD是⊙O的等垂弦.(2)在⊙O中,⊙O的半径为5,E为等垂弦AB、CD的分割点,BEAE=1【问题解决】(3)AB、CD是⊙O的两条弦,CD=12AB,且CD⊥AB,垂足为F①在图③中,利用直尺和圆规作弦CD(保留作图痕迹,不写作法).②若⊙O的半径为r,AB=mr(m为常数),垂足F与⊙O的位置关系随m的值变化而变化,直接写出点F与⊙O的位置关系及对应的m的取值范围.参考答案1.解:(1)令x−3=0和x+4=0,解得:x=3和x=−4,故答案为:3,﹣4.(2)当x<−4时,x−3+当−4≤x<3时,x−3+当x≥4时,x−3+综上所述,x−3+(3)当x<−4时,3−x−x−4=9,解得x=−5;当−4≤x<3时,3−x+x+4=9,方程无解;当x≥3时,x−3+x+4=9,解得x=4;∴方程的解为x=−5或x=4.(4)x−3+x+4+当x<−4时,x−3+当−4≤x<2时,x−3+当2≤x≤3时,x−3+当3<x<2020时,x−3+当x≥2020时,x−3+显然,当2≤x≤3时,原式取得最小值,最小值为2025,故答案为:2025,2≤x≤3.2.解:(1)m==(m−2)(m(2)x=x=(x−y)=(x−y+3)(x−y−3).3.解:(1)设2x+2y=a,则原方程变为(a+3)(a−3)=27,整理,得:a2−9=27,即解得:a=±6,则2x+2y=±6,∴x+y=±3;(2)令a2+4b则原方程变为:3x−2y=472x+y=36,解之得:x=17∴a2+4b∴a+2b2∴a+2b=±5,∴1a(3)由方程组a1x2整理,得:a1∵方程组a1x+b∴方程组a1(x−1)2∴x−1=±3,且y=5,解得:x=4y=5或x=−24.解:(1)解不等式x2﹣9>0,即为解x+3x−3根据“两数相乘,同号得正”得①x−3>0x+3>0,或②x−3<0解不等式组①得,x>3,解不等式组②得,x<﹣3,∴原不等式的解集为x>3或x<﹣3;(2)由题得不等式x+1x−2根据“两数相除,同号得正,异号得负”得①x+1>0x−2<0,或②x+1<0解不等式组①得,−1<x<2,不等式组②无解,∴原不等式的解集为−1<x<2.5.解:(1)∵∠ABC=90,∴BD=AB故答案为13,(2)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°,∴∠EBF+∠EBC=90°,∵BE⊥CF,∴∠EBC+∠BCF=90°,∴∠EBF=∠BCF,∴△ABE≌△BCF(AAS),∴BE=CF,且∠CBF=90°,∴四边形BCEF是准矩形;(3)∵∠ABC=90°,∠BAC=60°,∴∠ACB=30°,∵AB=2,∴AC=4,BC=23,准矩形ABCD中,BD=AC=4,①当AC=AD时,则AD=AC=BD,如图1,作DE⊥AB,∴AE=BE=12∴DE=AD2∴S=12DE×AE+1=12×15×1+12(23+=15+3;②当CA=CD时,则CD=CA=BD,如图2,作DF⊥BC,垂足为F∵BD=CD,∴BF=CF=12BC=3∴DF=CD∴S=12FC×DF+1=12×3×13+12(2+13=39+3;③当DA=DC,如图3,取AC中点G,连DG,则DG⊥AC.连接BG,过B作BH⊥DG,垂足为H.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC=60°,AB=2,G为AC中点∴AG=BG=12∴△ABG为等边三角形,∴∠BGC=120°,∠BGH=30°又BD=AC=4,在Rt△BHG中,BG=2,∠BGH=30°,∴BH=1,HG=3在Rt△DHB中,BH=1,BD=4,∴DH=15,∴DG=DH﹣HG=15﹣3,∴S=12AB×BC+1=12×23×2+12×4×(15﹣=215;故答案为15+3;39+6.解:(1)∵x2∴(x∴(x+y)2∴x+y=0,y−3=0,∴x=−3,y=3,(2)∵a2∴(a∴(a−6)2∴a−6=0,b−8=0,∴a=6,b=8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∴c=a7.解:(1)对于y=43x+4,令y=0,即y=43x+4=0,解得x=﹣3,令x=0,则故点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4);(2)设点P(x,0),则△ABP的面积=12×AP×OB=12×4×|x+3|=8,解得故点P的坐标为(1,0)或(﹣7,0);(3)由点A、B的坐标知,OA=3,BO=4,则AB=AO2+BO故点B1的坐标为(2,0),设点M的坐标为(0,m),由题意得:MB=MB1,即m2+4=(m﹣4)2,解得m=1.5,故点M的坐标为(0,1.5);(4)设点C(0,t),则AB=5,AC=32当AB=BC时,则5=|t﹣4|,解得t=9或﹣1,当AB=AC时,即25=9+t2,解得t=4(舍去)或﹣4,故点C的坐标为(0,9)或(0,﹣1)或(0,﹣4).8.解:(1)∵在△ABC中,∠A=∴BC=3∵BD=2,CD=∴BD2+CD2=25=BC2∴△BCD是直角三角形∴△ABC和△DBC是共边直角三角形.(2)如图,连接AE,DE,∵E点是BC中点∴AE,DE分别是Rt△ABC和Rt△DBC斜边上的中线∴AE=12BC,DE=1∴AE=DE∴△ADE是等腰三角形∵F点是AD中点∴EF⊥AD;(3)作DN⊥AB,DM⊥AC的延长线于M点,∵∠BAC=90°∴四边形ANDM是矩形∴∠NDM=90°∴∠NDC+∠CDM=90°又∠BDC=90°∴∠NDC+∠BDN=90°∴∠BDN=CDM∵∠BND=∠CMD=90°,BD=CD∴△BDN≌△CDM∴DN=DM,∴AD平分∠BAC.9.解:(理解)如图①,如图②所示,(应用)(1)①如图③当∠B=24°,AD为“好线”,则A
C=AD=BD这个三角形最大内角是∠BAC=106°;②如图④当∠B=24°,AD为“好线”,则AB=AD,AD=CD,这个三角形最大内角是∠BAC=144°;③如图⑤当∠ABC=24°时,BD为“好线”,则AD=BD,CD=BC,故这个三角形最大内角是∠C=148°,④如图⑥,当∠B=24°时,CD为“好线”,则AD=CD=BC,故这个三角形最大内角是∠ACB=117°,⑤如图⑦,当∠B=24°时,CD为“好线”,则AD=AC,CD=BD,故这个三角形最大内角是∠ACB=70°,⑥如图⑧,当∠B=24°时,AD为“好线”则AB=BD,AD=CD,故这个三角形最大内角是∠BAC=117°,上所述,这个三角形最大内角的所有可能值是70°或106°或117或144°或148°,故答案为70°或106°或117或144°或148°;(2)设∠B=x°,①当AD=DE时,如图1(a),∵AD=CD,∴∠C=∠CAD=27°,∵DE=EB,∴∠B=∠EDB=x°∴∠AED=∠DAE=2x°,∴27×2+2x+x=180,∴x=42,∴∠B=42°;②当AD=AE时,如图1(b),∵AD=CD,∴∠C=∠CAD=27°,∵DE=EB,∴∠B=∠EDB=x°∴∠AED=∠ADE=2x°,∴2x+x=27+27,∴x=18,∴∠B=18°.③当EA=DE时,∵90﹣x+27+27+x=180,∴x不存在,应舍去.综合上述:满足条件的x=42°或18°.10.(1)证明:ΔABC和ΔADE是等边三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴ABAD=AC∴ΔABD∽ΔACE,又∵点B,D,C在同一直线,∴ΔABD和ΔACE是旋转相似三角形.(2)证明:∵ΔABD与ΔACE是旋转相似三角形,∴ΔABD∽ΔACE∴ABAC=ADAE,∴∠BAC=∠DAE,∴ΔABC∽Δ∠ADE,∴∠B=∠ADE,∠AED=∠ACB,∴∠ADE=∠ACE.∵AD//∴∠ADE=∠DEC,∴∠ACE=∠DEC.∵∠AED=∠ACB,∴∠AEC=∠DCE.又∵CE=CE,∴ΔAEC≌ΔDCEASA∴AC=DE.(3)解:如图,过点A作AE⊥BC,垂足为E,连接DE.∵∠AEB=∠ADC=90°,∠B=∠ACD,∴ΔABE∽ΔACD∴ABAC=AE∴∠BAC=∠EAD,∴ΔABC∽ΔAED,∴BCDE∴25DE∴DE=20.∵ΔABE∽ΔACD,∴AEAD∴AEBE设AE=4k,则BE=3k,CE=25−3k,在ΔACE中,(4k)2解得k=3,∴AE=12.又AD=16,DE=20,∴ΔADE是直角三角形,∠DAE=90°.又∠AEC=∠ADC=90°,∴四边形AECD是矩形.11.解:(1)∵任意三角形有三条边,∴任意三角形有三条“等分周线”,∵某三角形的一条“等分周线”有一个端点是三角形的顶点,而另一点为一边的中点,且将三角形的周长分为相等的两部分,∴这个三角形是等腰三角形故答案为:3,等腰三角形;(2)延长BA,使AF=AC,连接CF,过点A作AG⊥CF于G,则△ACF为等腰三角形,∴CG=GF=12∵∠A=α,即∠BAC=α,又∠BAC=∠ACF+∠AFC,∴∠ACF=∠AFC=12∠BAC=1∵ED为△ABC的“等分周线”,∴EB+BD=CD+CA+AE,又BD=CD,∴EB=CA+AE=AF+AE=EF,∴点E为BF的中点,∴DE=12在Rt△AGC中,∠ACF=12∴CG=m·cos12∴DE=m·cos12(3)取BC的中点F,连接EF,则BF=FC,∵∠BEC=120°,∴∠BEA=60°,∵BA⊥AC,AB=∴在Rt△ABE中,∠ABE=30°,∴AE=ABtan∵EC=3∴AB+AE=3∵BF=FC,∴AB+AE+BF=CE+CF,∴EF是△ABC的一条“等分周线”,由(2)知,EF=AB·cos12∠BAC=∵BC=2CD,∴CD=CF,又∵AC平分∠BCD,∴∠FCE=∠DCE,又CE=CE,∴△FCE≌△DCE(SAS),∴ED=EF=6212.解:(1)如图①,延长FD到G,使DG=BE,连结AG.在△ABE和△ADG中,AB=AD,BE=DG,∠B=∠ADG=90°,∴△ABE≌△ADG,∴AE=AG,在△AEF和△AGF中,AE=AG,AF=AF,EF=BE+FD=DG+FD=GF,∴△AEF≌△AGF,∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF∴∠EAF=12(2)∠EAF=12证明:如图②,延长FD到G,使DG=BE,连接AG.∵∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠ADG=180°,∴∠B=∠ADG,∴△ABE≌△ADG(SAS).∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.又∵EF=BE+DF,DG=BE,∴EF=DG+DF=GF.∴△AEF≌△AGF(SSS).∴∠EAF=∠GAF.
又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF,∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF.而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD,∴∠EAF=12(3)如图③,连接EF,延长AE、BF相交于点C.∵2小时后,舰艇甲行驶了120海里,舰艇乙行驶了160海里,即AE=120,BF=160.而EF=280,∴在四边形AOBC中,有EF=AE+BF,又∵OA=OB,且∠OAC+∠OBC=(90°﹣30°)+(70°+50°)=180°,∴符合(2)中的条件.
又∵∠AOB=30°+90°+(90°﹣70°)=140°,∴∠EOF=12答:此时两舰艇的位置与指挥中心(O处)形成的夹角∠EOF的大小为70°.13.解:定义:∵点M、N是线段AB的勾股点,∴BN=AM2∴BN=3或(1)如图,∵CD=DA,CE=EB,
∴DE∥AB,
∴CG=GM,CH=HN,∴DG=12AM,GH=12MN,EH=1∵BN2=MN2+AM2,∴14BN2=14MN2+14∴(12BN)2=(12MN)2+(12AM∴EH2=GH2+DG2,∴G、H是线段DE的勾股点.(2)如图所示,连接PD,∵AC=PC,∴∠A=∠APC,∴∠PCD=2∠A,∵C,D是线段AB的勾股点,∴AC2+BD2=CD2,∴PC2+BD2=CD2,∵CD是⊙O的直径,∴∠CPD=90°,∴PC2+PD2=CD2,∴PD=BD,∴∠PDC=2∠B,∵∠A=2∠B,∴∠PDC=∠A,在Rt△PCD中,∵∠PCD+∠PDC=90°,∴2∠A+∠A=90°,解得∠A=30°,则∠B=12∠A(3)∵点P(a,b)是反比例函数y=2x(x∴b=2a∵直线y=﹣x+2与坐标轴分别交于A、B两点,∴点B的坐标为(0,2),点A的坐标为(2,0);当x=a时,y=﹣x+2=2﹣a,∴点E的坐标为(a,2﹣a);当y=2a时,有﹣x+2=2解得:x=2﹣2a∴点F的坐标为(2﹣2a,2∴BF=(2−2a−0)2+EF=(2−2=2|2﹣a﹣2a|,AE=(2−a)2+[0−(2−a)]2=∵BF2+AE2=16+2a2﹣8a+8a2﹣16a=∴以BF、AE、EF为边的三角形是一个直角三角形,∴E、F是线段AB的勾股点.14.解:(1)过点A作AE⊥BC于E,过点C作CF⊥AD于F.∵AC=AB,∴BE=CE=3,在Rt△AEB中,AE=AB∵CF⊥AD,∴∠D+∠FCD=90°,∵∠B+∠D=90°,∴∠B=∠DCF,∵∠AEB=∠CFD=90°,∴△AEB∽△DFC,∴EBCF∴3CF∴CF=125∴sin∠CAD=CFAC(2)如图②中,结论:四边形ABCD是对余四边形.理由:过点D作DM⊥DC,使得DM=DC,连接CM.∵四边形ABCD中,AD=BD,AD⊥BD,∴∠DAB=∠DBA=45°,∵∠DCM=∠DMC=45°,∵∠CDM=∠ADB=90°,∴∠ADC=∠BDM,∵AD=DB,CD=DM,∴△ADC≌△BDM(SAS),∴AC=BM,∵2CD2+CB2=CA2,CM2=DM2+CD2=2CD2,∴CM2+CB2=BM2,∴∠BCM=90°,∴∠DCB=45°,∴∠DAB+∠DCB=90°,∴四边形ABCD是对余四边形.(3)如图③中,过点D作DH⊥x轴于H.∵A(﹣1,0),B(3,0),C(1,2),∴OA=1,OB=3,AB=4,AC=BC=22∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,∴∠CBA=∠CAB=45°,∵四边形ABCD是对余四边形,∴∠ADC+∠ABC=90°,∴∠ADC=45°,∵∠AEC=90°+∠ABC=135°,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴A,D,C,E四点共圆,∴∠ACE=∠ADE,∵∠CAE+∠ACE=∠CAE+∠EAB=45°,∴∠EAB=∠ACE,∴∠EAB=∠ADB,∵∠ABE=∠DBA,∴△ABE∽△DBA,∴BEAB∴AE∴u=AD4设D(x,t),由(2)可知,BD2=2CD2+AD2,∴(x﹣3)2+t2=2[(x﹣1)2+(t﹣2)2]+(x+1)2+t2,整理得(x+1)2=4t﹣t2,在Rt△ADH中,AD=AH∴u=AD4=t即u=t215.解:(1)如图1由旋转的性质得:∠F=∠BEC,∠ABF=∠CBE,BF=BE∵∠BEC+∠BED=180°,∠CBE+∠ABE=90°,∴∠F+∠BED=180°,∠ABF+∠ABE=90°即∠FBE=90°,故满足“直等补”四边形的定义,∴四边形BEDF为“直等补”四边形;(2)∵四边形ABCD是“直等补”四边形,AB=BC,∴∠A+∠BCD=180°,∠ABC=∠D=90°,如图2,将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBF,则∠F=∠AEB=90°,∠BCF+∠BCD=180°,BF=BE∴D、C、F共线,∴四边形EBFD是正方形,∴BE=FD,设BE=x,则CF=x-1,在Rt△BFC中,BC=5,由勾股定理得:x2+(x−1)解得:x=4或x=﹣3(舍去),∴BE=4(3)如图3,延长CD到P,使DP=CD=1,延长CB到T,使TB=BC=5,则NP=NC,MT=MC,∴△MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NP≥PT当T、M、N、P共线时,△MNC的周长取得最小值PT,过P作PH⊥BC,交BC延长线于H,∵∠F=∠PHC=90°,∠BCF=∠PCH,∴△BCF∽△PCH,∴BCPC即52解得:CH=6在Rt△PHT中,TH=5+5+6PT=P∴ΔMNC周长的最小值为8216.(1)①证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,BC=AD=2,∵BE//∴四边形ABEC是平行四边形,BC=2AB,∴四边形ABEC是两倍四边形;②存在,理由如下:当AC=2AB时,则AC=2,∵∠ABC=90°,∴BC=A∴m=AD=BC=3;当AC=2AD时,则AC=2m,∴m2解得m=33或m=-3∴m的值为3或33时,四边形ABCD(2)∵四边形ABCD是两倍四边形,BD为两倍对角线,AD为两倍边,∴AD=DG,∴∠DAG=∠AGD,∵四边形ABEC是两倍四边形,AE为两倍对角线,AC为两倍边,∴AC=AF,∴∠ACF=∠AFC,又∵∠DAG=∠ACF,∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC,∴∠ADG=∠CAF,又∵ADBD=1∴ADBD∴△ADB∽△ACE,又∵AB=CE,∴相似比为1,∴△ADB≌△ACE,∴AC=AD,作DM⊥AC于M,如图1,设AM=x,则AC=AD=4x,在Rt△ADM中,由勾股定理得:DM=15x在Rt△DMC中,由勾股定理得:CD=26∵CD=AB=1,∴26∴x=612∴AD=4x=63即m=617.(1)证明:∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠A+∠C=180°,∠ABC+∠ADC=180°.∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠CBD∴弧AD=弧CD∴AD=CD∴四边形ABCD是等补四边形(2)AC平分∠BCD,理由如下:
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F则∠AEB=∠AFD=90°∵四边形ABCD是等补四边形∴∠ADC+∠B=180°又∵∠ADC+∠ADF=180°∴∠B=∠ADF在△AFD与△AEB中
∠ADF=∠B∴ΔAFD≌ΔAEB∴AE=AF∴点A一定在∠BCD的平分线上即AC平分∠BC
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