信号与系统分析课件

1信号与系统分析2绪论信号的概念信号的分类信号的特征系统的概念系统的分类信号与系统分析3§1.1 信号的概念§1.1.1信息与信号1.信息——由一定的符号按照一定的规律排列起来具有某种含义的对象.例如:语言、文字、图画、数据、符号等→信号，以便远距离、高速、高效传输2.信号——是信息的载体,信息的表达形式，信息则是信号的具体内容,在信息活动中信号则指欲传输待处理的对象.4§1.1.1 信号的概念3.信号的描述物理上：信号是信息的载体通常表现为随时间变化的物理量，如：声、光、电、力等。电信号：随时间变化的电压、电流、电荷、磁通。数学上：信号是一个或多个变量的函数形态上：信号表现为一种波形语言、文字图画、数据符号5信号的数学描述——表达式周期=2*pi相位=0.5幅度=A6对阻尼振荡的数学描述7一段鸟鸣的声音的时域波形8鸟鸣在不同频率时的幅度分布—频谱9鸟鸣声的时—频谱阵图10§1.1.2信号分类：

1.确知信号:具有确定的函数关系(自变量的函数).

随机信号:不可预知的信号，例如信号传输中的干扰、噪声等。本课程只研究确知信号2.连续时间信号：自变量的取值范围是连续的，在实数域内取值。

离散时间信号：自变量只能取整数，也称为离散时间序列。

11注:n只能取整数,在两个整数值之间没有定义,x[n]可以描述自变量本来就是离散的现象,而大多数情况下它是连续信号经过采样后得到的离散序列•数字信号函数值取整数的离散时间信号.12连续时间信号的例子：离散时间信号的例子：

连续时间信号离散时间信号13§1.1.2信号分类：

3.周期信号和非周期信号。

连续时间周期信号

离散时间周期信号

14§1.1.3信号的特征:自变量的函数具有:

1.时间特性(位移)-----波形的变化2.频率特性(频率分量:幅度、相位，信号带宽)

3.能量特性

153.信号的能量特性：连续时间信号在区间的能量定义为：连续时间信号在区间的平均功率定义为：16离散时间信号在区间的能量定义为在区间的平均功率为

周期信号能量：用它的平均功率表征:17（以T为周期）或（以N为周期）18§1.2系统的概念§1.2.1系统:若干相互依赖、相互作用的事物组合而成的具有特定功能的整体或某一个过程---完成信号某种活动的过程,可以是物理的或非物理的系统.§1.2.2系统的分类:

连续时间系统离散时间系统19按系统自身的特性，分为：线性与非线性系统时变与时不变系统即时系统与动态系统（记忆与非记忆）因果与非因果系统可逆与不可逆系统稳定与不稳定系统集总参数与分布参数系统

本课程只讨论集总参数LTI系统§1.2.2系统的分类20§1.3信号与系统分析§1.3.1信号分析:

基本目的：是揭示信号自身的特性(时间特性、频率特性)，以及信号发生改变时，其特性相应的变化。

基本思想：信号分解为简单基本单元信号的线性组合，这种分解可以在时域、频域、变换域进行，相应产生了三种分析方法。21§1.3.1信号分析:时域：以(t)

(n)

作为基本单元频域：以ejtejn

作为基本单元变换域：以estZn

作为基本单元从连续时间信号离散时间信号，产生了抽样理论。为适应数字信号处理数字信号分析DFTFFT小波分析，时频分析抽样继续发展22§1.3.2系统分析:系统分析的任务：（１）求特定系统对给定输入的响应（２）从已知系统的激励与响应，确定系统的特性x(t)y(t)=?系统y(t)X(t)？系统分析系统综合x(n)y(n)x(n)y(n)23

连续时间信号:;

自变量的取值范围是连续的，在实数域内取值。离散时间信号:;

自变量只能取整数，也称为离散时间序列。离散时间信号：对连续时间信号等间隔抽取样本:x(t)24

§1.1.2信号的自变量变换

信号可视为自变量的函数，当自变量改变时，必然会使信号的特性相应地改变。

1.平移：ShiftofSignals25或者:

262.信号的反转以为中心反转27反转与平移相结合,即由例:作法一:0T1011T+101-T-1-1作法二:-1T-1101-T-1-1283.信号的尺度变换：Scaling时是将在时间轴上压缩a倍，时是将在时间轴上扩展1/a倍离散的例子:29连续时间信号:尺度变换离散时间信号:内插与抽取30例如：01234562112322220123012345678910111221123231

一般来讲,抽取的过程是不可逆的,因为在抽取时,序列的点被丢掉了,无法从抽取后的信号恢复原来的信号.

内插的过程是可逆的,可以从内插的信号通过抽取,恢复成原来的信号.

抽取和内插严格讲并不是一种尺度变换,只是从序列长度的变化角度,可以将其视为尺度的扩展和压缩.32自变量变换的综合应用示例：做法一：011011/23/2011/21/633做法二：011011/3011/61/2做法三：011011/67/6011/61/234自变量变换的综合应用举例:例2:解法一:解法二:解法三:

3536§1.1.3奇信号与偶信号：oddSignalsandevenSignals如果有则称该信号是偶信号。（镜像偶对称）对实信号而言：37如果有则称该信号为奇信号（镜像奇对称）如果有则称该信号为共轭偶信号。如果有则称为共轭奇信号。对复信号而言：

38任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。对实信号有：

其中其中0-1-21212-2210-111-139对复信号有：其中其中可以分解成一个共轭偶对称信号与一个共轭奇对称信号之和,即:40§1.1.4周期信号与非周期信号：周期信号：

使周期关系成立的的最小周期或，称为信号的基波周期

（）。可视为周期信号，但它的基波周期没有确定的定义。

0=2/T0（弧度/秒）

0=2/N0（弧度）称为基波频率可以视为周期信号，其基波周期41§２.2常用的基本信号正弦信号指数信号单位阶跃信号符号函数单位冲激和单位脉冲信号42§2.2.1正弦信号

连续时间正弦信号(周期信号)波形为基波频率，为相位

T0

0

X(t)=Acos(

0

t+)0

=2/T0

43§2.2.1正弦信号

离散时间正弦信号(不一定是周期信号)

0为频率如果具有周期性;

则有:cos

0n=cos

0(

n+N);N为正整数于是有:

0N=2m;m为整数

即:

0/2=m/N

可见,只有当

0/2为有理数时,

cos

0n才是周期信号.44§2.2.1正弦信号

离散时间正弦信号(不一定是周期信号)对以上结论的解释:离散时间信号可以看为从连续时间信号等间隔抽样的样本,对同一个连续时间信号抽样用不同的抽样间隔,得到不同的序列.对周期性连续时间信号等间隔抽样,得到的序列可能是周期的,也可能不是周期的,当基波周期与抽样间隔满足是有理数时,对周期性连续时间信号等间隔抽样,得到的序列才具有周期性例:周期的周期的非周期的45§1.2.2指数信号一.连续时间复指数信号：C为复数

a为复数a=r+j

46①实指数信号(C和a都是实数)若中的为0,C实数同时:若中的为0,a实数则为实指数函数a==r+j

47

x(t)随t的增加 而单调指数增长

x(t)随t的增加 而指数衰减①实指数信号(C和a都是实数)

x(t)=C48②周期复指数信号

若a为纯虚数，即时，设C=1:则特点：该信号是周期的，周期为T0

a=j

049周期复指数信号与正弦信号的关系

—取周期复指数的实部欧拉公式(基波周期相同的正弦信号)取实部则为正弦信号正弦信号也可以用基波周期相同的周期复指数信号表示.50成谐波关系的周期复指数信号集

集中有无数多个相互独立的周期复指数信号

每一个信号都是周期的：;每一个信号都有一个公共周期：每一个信号的频率都是基波频率的整数倍，称为K次谐波。例：K=0;k=1;k=251③一般复指数信号(c,a均为复数)最一般的情况C用极座标,a用直角坐标来表示

实指数信号实指数信号52一般复指数信号若r=0,x(t)的实部和虚部都为正弦信号若

r<0,x(t)为振幅指数衰减的正弦(1)若r>0,x(t)为振幅指数增长的正弦(2)(1)r<0(2)r>053二.离散时间复指数信号离散时间复指数信号或序列①实指数信号:(C和均为实数)

>1

单调指数增长0<<1

单调指数衰减-1<<0

交替指数衰减

<-1

交替指数增长

=1

=-1

交替变化的常数5455二.离散时间复指数信号离散时间复指数信号或序列②C=1,=ej0

指数信号:

与正弦的关系:

与连续时间周期复指数信号的重大区别:56离散周期复指数信号——周期性只有为有理数,才具有周期性连续时间周期复指数信号：是周期的，周期为T0离散时间复指数信号：57离散周期复指数信号——重复性连续时间周期复指数信号具有两个特点：

(1).对任何，都是周期的。

(2)愈大，振荡频率愈高；离散时间复指数信号具有如下关系:对于不同的不互不相同,而是以为周期重复.58成谐波关系的周期复指数信号集N:基波周期2/N:基波频率

每一个信号都是周期的;每一个信号都有一个公共周期：N每一个信号的频率都是基波频率的整数倍，称为K次谐波;信号集中的信号不全是相互独立的;只有N个谐波是独立的;

59成谐波关系的周期复指数信号集k=0——N-1;k=0与K=N是一个信号

k=1与K=N+1是一个信号

只有N个谐波分量是相互独立的,其余信号均是这N个信号的重复.

60③一般复指数信号(C、

均为复数)最一般的情况实、虚部均为振幅按指数变化的正弦振荡61离散时间复指数信号

离散衰减正弦信号振幅指数衰减的正弦振荡振幅指数增长的正弦振荡正弦振荡62

信号和的比较频差的整数倍， 信号相同仅当是周期的基波频率基波周期：N

不同，信号不同对任何信号都是周期的基波频率基波周期：T0对于离散时间复指数信号的频率有效范围只有2

，高频对应于的奇数倍处，低频对应于0、2及的偶数倍处。63=0

，

=2kπ

处都对应最低频率。而

=π

或

=2πk+π

处都对应最高频率。6465§1.2.3单位阶跃信号

1.连续时间单位阶跃1t0t0166§1.2.3单位阶跃信号

2.离散时间单位阶跃

(n)=1n≥0

0n<0

在n=0有确定的意义,

(t),

(n)不仅在信号与系统的分析中有重要作用,而且在信号的时域表示中有广泛的用途.167例1:用阶跃表示矩形脉冲G(t)G1(t)G1(t)1168例如:信号加窗或取单边f(t)t069例如:三角波x(t)t-

170（1）突然接入的直流电压

（2）突然接通又马上断开电源K负载713.符号函数

定义sgn(t)

10t可用阶跃表示-1

72离散时间单位脉冲序列定义，，10§1.2.4单位冲激与单位脉冲信号具有提取信号中某一点的样值的作用。173§2.1.4单位冲激与单位脉冲信号1.离散时间单位脉冲信号

与之间的关系：一次差分1u(n)=1n≥0

0n<074单位阶跃定义：，，102.连续时间单位冲激信号定义：定义的不严密性，由于在不连续，因而在该处不可导。采用极限来理解,定义u△(t)

75定义显然当100则认为

宽度越来越窄,,幅度越来越大,所包围的面积始终为1的这样一个极限。：76表示为1001

矩形面积称为冲激强度。显然有：也具有提取连续时间信号样本的作用。77狄拉克定义

0t078(t)与u(t)的关系显然:

一次微分

一次积分

79§2.3奇异函数

对

(t)的定义是不严格的,从极限的角度定义,有很多不同信号的极限都具有这种特性

定义：矩形面积不变，宽趋于0时的极限0t80其他函数演变的冲激函数三角脉冲的极限双边指数脉冲的极限81其他函数演变的冲激脉冲钟形脉冲的极限抽样脉冲的极限82§2.3奇异函数

用常规函数作为的定义是不严格的,这表明是一个非常规函数,称为奇异函数(广义函数),对其定义通常采用卷积或积分运算下所表现的特性来定义奇异函数。积分意义下的特性来表达一.及其性质:

定义:的取样特性831.令;则有2.由定义84§1.3奇异函数

即3.若则4.若,则表明是偶函数5.令85总结单位冲激函数的性质

偶函数积分筛选

•取样性:

尺度变换86筛选特性t087取样性:冲激序列对连续信号抽样88§1.3奇异函数

二.(t)的微分与积分(在积分意义下对的定义)

由卷积意义下的定义,可得定义:89

单位冲激偶——

取极限取极限求导90

理想微分器的单位冲激响应应该是的微分，记为，从卷积运算或LTI系统分析的角度应该有：所以称为冲激偶（Unitdoublet）微分器91单位冲激偶的性质2.“筛选”1.当时92单位冲激偶的性质3.奇函数93单位冲激偶的性质4.945.95单位冲激偶的性质6.高阶微分与积分:

96单位冲激偶的性质6.高阶微分与积分:(P30)97第一章信号与系统§1.4系统的描述一.系统的模型系统是由一些相互联系,相互依赖的环节组成的具有一定功能的整体.

系统可以看成对信号进行某种变换的过程,要分析一个系统,首先要建立系统的模型从实际的物理问题抽象出来的描述输入/输出关系或物理特性的数学模型.98例:R、L、C振荡电路e(t)RL99二.系统的表示:连续时间系统和离散时间系统可以表示为:系统对输入信号的作用,其本质就是对输入信号进行某种变换或运算.连续时间系统是把连续时间输入信号变换成连续时间输出信号的系统离散时间系统是把离散时间输入信号变换成离散时间输出信号的系统连续时间系统离散时间系统y(t)y(n)100二.系统的表示:系统的表示方法:方程电系统的电路图方框图(模拟图)用运算符号表示的运算关系.常用的运算符号有:

这些方法可以相互转换+1011.级联(cascadeInterconnection)ⅠⅡ2.并联(parallelinterconnection)ⅠⅡ三.系统的互联102实际中也经常级联,并联混合使用,如ⅠⅡⅢⅣ3.反馈联结(Feedbackinterconnection)ⅡⅠ103

三.系统的互联系统的互联为我们提供了用简单系统构成复杂系统的方法,也为我们分析复杂系统提供了方便，我们可以将复杂系统视为若干简单系统的互联,只要分析各个子系统的特性,就可以了解整个复杂系统的特性.这一思想对系统分析和系统综合都是十分重要的。104

§1.5系统的性质:即时系统与动态系统(记忆与非记忆)即时系统(无记忆系统)

在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入有关,而与该时刻以前、以后的输入无关.

例:全电阻网络;;

即时系统的一个特例:

恒等系统:105

§1.5系统的性质:即时系统与动态系统(记忆与非记忆)动态系统(记忆系统)

它的输出不仅与当前的输入有关,也与其它时刻的输入有关.例:累加器差分器电容都是记忆系统.106

§1.5系统的性质:2.可逆性与逆系统

如果系统对任何不同的输入都产生不同的输出,即输入与输出一一对应,则系统是可逆的,如果系统对二个或二个以上不同的输入产生相同的输出,则系统是不可逆的.

如:是不可逆系统,因为有两个不同输入,产生相同的输出.是不可逆的,因为输入时,

输入时,107如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前者的逆系统(inversesystem)ⅠⅡ

是可逆系统,其逆系统是

是可逆系统,其逆系统是是不可逆系统,因为无法从还原为不可逆,也是不可逆系统.108

判断系统是否可逆一般是困难的,无有效的办法判定系统是否可逆.该系统不可逆109

§1.5系统的性质:3.因果性

在任何时刻系统的输出都只与该时刻以及该时刻以前的输入有关,而与该时刻以后的输入无关.则系统是因果的,如果系统在某时刻的输出与以后的输入有关,则系统为非因果的.一切物理可实现的连续时间系统都是因果的.一切即时系统(无记忆)都是因果的对非实时处理的离散时间系统可以实现非因果系统,先存储,后处理.110时决定于以后时刻的输入.都是非因果的.RLC电路,

都是因果系统111

§1.5系统的性质:4.稳定性

如果一个系统的输入是有界的,输出也有界,则系统是稳定的,否则系统是非稳定的.例:R、C;R、L、C系统均为稳定系统

均为不稳定系统系统的稳定性在系统分析和系统综合中具有重要意义,以后将在时域,频域分别研究系统的稳定性.工程实际中总希望所设计的系统是稳定的.因此稳定性对系统来说时非常重要的112

§1.5系统的性质:5.时变与时不变性如果一个系统当输入有一个时间上的平移，输出也产生相同的平移，除此之外无任何其它变化，则系统是时不变的,否则系统是时变的.即：则系统是时不变的检验方法：令考查：是否等于根据输入输出的关系113例:当时，时由于系统是时不变的。114例:当时，时由于系统是时变的。115又例：当时，

时而该系统是时变的。116

如果一个系统即满足迭加性也满足齐次性就称该系统是线性的。（LinearSystem）（二者要同时满足，所对应的方程为线性方程，但反过来未必成立)。否则就是非线性的（NonlinearSystem）即：若则

其中a，b是常数满足此关系的系统是线性的。§1.5系统的性质:6.线性117例1：，满足可加性，但不满足齐次性。当时其实部变为虚部，虚部变为实部。满足齐次性但不满足可加性。若输入为则例2.2118

如果一个系统是线性的，当我们能够把输入信号分解成若干个简单的信号的线性组合时，只要能得到该系统对每一个简单信号所产生的响应。就可以很方便地根据线性特性，通过线性组合而得到系统对的输出响应。即若则119

§1.5系统的性质:7.增量线性系统由线性系统必须满足齐次性，可以得到:这表明,一切线性系统必须满足零输入,零输出的特性,即:当没有输入信号时,一切线性系统均不应有输出.

有一种工程中广泛使用的系统,其输入与输出之间不满足线性关系,但输入的增量与输出的增量成线性关系,这类系统称为增量线性系统.

例如：不满足齐次性；不是线性系统.

但该系统的输入改变时,输入的增量:

满足线性关系与输出的增量:120

§1.5系统的性质:7.增量线性系统任何一个增量线性系统都可以等效成一个线性系统加上一个与输入无关的响应.

例如：是增量线性系统可等效为:

线性系统+零状态响应零输入响应121

§1.5系统的性质:7.增量线性系统

当时,,∴称为零输入响应.

完全是由输入信号与系统特性引起的,满足零输入零输出,是线性系统,∴称为零状态响应.

线性系统+零状态响应零输入响应对单元信号的要求:

1.本身要简

2.能够构成相当广泛的一类信号,具有普遍性

3.系统对单元信号的响应易于求得.

本章的内容:

1.用

(t)表示连续时间信号x(t),用卷积积分求得响应;

2.用

(n)表示离散时间信号x(n),用卷积和求得响应;

3.在信号进行时域分解的的情况下,研究系统的性质;

问题的实质：1研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号；2如何得到LTI系统对基本单元信号的响应和对任意信号的响应。

第二章信号与系统的时域分析

§2.1信号的时域分解:

一.用

(t)

表示连续时间信号:

将x(t)用一系列的距形脉冲近似,

0t单位距形脉冲定义:0t第个矩形可表示为：这些矩形迭加起来就成为阶梯形信号，即：当时，，，，，于是：表明：任何连续时间信号都可以被分解为无数多个移位加权的单位冲激信号的线性组合。第二章信号与系统的时域分析

§2.1信号的时域分解:

一.用

(t)

表示连续时间信号:

结论:以上讨论表明,任何连续时间信号可以分解成无数多个移位、加权的单位冲激之和,解决了连续时间信号时域分解的问题.

二.用

(n)

表示离散时间信号:

可以由线性组合构成即：

对任何离散时间信号，如果每次从其中取出一个点，就可以将整个信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。于是有：表明：任何信号都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。第二章信号与系统的时域分析

§2.2连续时间信号LTI系统的时域分析:

一.卷积积分:

单位冲激响应:

单位冲激响应h(t)的定义:LTI系统对

(t)的响应

LTI

(t)h(t)§2.2连续时间信号LTI系统的时域分析:

结论：只要知道了系统的单位冲激响应h(t)，就可以求得系统对任何x(t)所产生的响应y(t),

这表明:系统的单位冲激响应h(t)可以完全表征一个LTI系统。

第二章信号与系统的时域分析第二章信号与系统的时域分析

二.卷积积分的求法:

(1)解析法:如果信号可以写成解析式,可用卷记积分的公式做.

例:

运算过程的实质:

参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量t移动。对每一个t的值，将和对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。

通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。

积分上下限的确定具有重要意义(2)图解法:

注:卷积的过程包括反转,平移,相乘,积分,(如下图所示),关键是确定参变量t在不同区间积分的的上下限.

例:T-TTT求y(t)=?T-Tt-Ttt-TtT-Tt-TtT-T例:T-TTT求y(t)=?t-TtT-Tt-TtT-Tt-TtT-T第二章信号与系统的时域分析

三.卷积的性质:

(1)交换率:

y(t)y(t)一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应，与一个单位冲激响应是的LTI系统对输入信号所产生的响应相同。

二个LTI系统级联可以交换级联次序第二章信号与系统的时域分析

三.卷积的性质:

(2)结合率:

从系统的观点解释：

(1)

(2)

一个系统是由若干LTI系统级联所构成，则系统总的单位冲激响应等于各个LTI子系统单位冲激响应的卷积.

h1(t)

h2(t)

w(t)y(t)y(t)第二章信号与系统的时域分析

三.卷积的性质:

(3)分配率:

一个系统有若干LTI系统的并联构成，则系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。

+

y(t)y(t)产生以上结论的前提条件：①系统必须是LTI系统；②所有涉及到的卷积运算必须收敛。如：平方乘2若交换级联次序，即：乘2平方显然是不等价的。

第二章信号与系统的时域分析

三.卷积的性质:

(4)微分:如果

(5)积分:

与

(t)的卷积:

单位冲激响应等于(t)的系统是恒等系统

信号平移:

恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：例2如果用图解法做:①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，将微分一次的，1第二章信号与系统的时域分析

§2.3离散时间信号LTI系统的时域分析:

一.卷积和:

单位脉冲响应:

单位脉冲响应h(n)的定义:LTI系统对

(n)的响应

x(n)可表示为移位加权的单位脉冲之和

LTI

(n)h(n)如果:第二章信号与系统的时域分析

§2.3离散时间信号LTI系统的时域分析:

结论：只要知道了系统的单位脉冲响应h(n)，就可以求得系统对任何x(n)所产生的响应y(n),也即LTI系统对任何输入信号x(n)的响应,可以用系统对单位脉冲响应来决定,因而可以预言,h(n)将可以完全刻画一个LTI系统的特性.

二.卷积和的求法:

(1)解析法:如果信号可以写成解析式,可用卷积和的公式做.

例1...注:求和的上、下限的确定具有重要意义.

第二章信号与系统的时域分析

§2.3离散时间信号LTI系统的时域分析:

(2)图解法:

注:过程包括反转,平移,相乘,求和

关键是确定参变量n在不同区间求和的上下限.

例2

01234x(n)0123456h(n)0n-6nh(n-k)n-6nn-6nn-6n①时，②时，③时，④时，⑤时，

通过图形正确确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。

3.列表法

分析卷积和的过程，可以发现：①与所有的各点都要遍乘一次；

②在遍乘后，各点相加时，根据，参与相加的各点都具有与的分量相加为特点。

优点：缺点：计算非常简单。①只适用于两个有限长序列的卷积和；②一般情况下，无法写出的表达式。

4.有限长序列的卷积法:

两个有限长序列的卷积和,利用单位脉冲序列的卷积特性,可以方便的求得:

例:

第二章信号与系统的时域分析

三.卷积和的性质:

与连续时间卷积性质相同,满足交换率、结合率、分配率;

从系统的观点作出的解释也相同;

条件限制也相同:只适合于LTI系统;

所涉及到的各个卷积和运算都应该收敛;

例1:是非线性系统，其单位脉冲响应是：

h(n)=[(n)+(n-1)]2=2(n)+2(n)(n-1)+2(n-1)

=1n=0,1

0其它n

=(n)+(n-1)

是一个LTI系统，其单位脉冲响应是：

所以不能排除非线性系统或时变系统具有和一个LTI系统相同的单位脉冲响应，不同的是，非线性系统或时变系统的单位脉冲响应不一定可以完全刻画系统的特性。

第二章信号与系统的时域分析

例2:

是一个LTI系统，其单位脉冲响应是：

不收敛

若，两个系统都是LTI系统。当时，第二章信号与系统的时域分析

三.卷积和的性质:

x(n)与

(n)、u(n)的卷积和结果与连续时间信号的卷积积分结果类似:

;单位脉冲响应等于(n)的系统是恒等系统

信号平移

作业:

§2.4LTI系统的性质:

既然,从卷积积分到卷积和我们看到LTI特性可以完全由其h(t),h(n)刻画,那末我们有必要研究一下,LTI系统的特性是如何体现在

第二章信号与系统的时域分析第二章信号与系统的时域分析

一.即时系统与动态系统:

·即时系统(无记忆系统)

在任何时刻系统的输出只与该时刻的输入有关,而与该时刻以前、以后的输入无关,以离散时间LTI系统为例:

对即时系统,要求卷积和中只能有的项,其他项均要为零,因此,只有:

这表明,此系统的:

连续时间LTI系统的情况完全类似,对即时系统必须有:

若k=1,则为恒等系统,此时:第二章信号与系统的时域分析

§2.4LTI系统的性质:

二.可逆性:如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且该逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系统。

因此有：

显然有：例2.累加器是可逆的LTI系统，

逆系统是：显然也有：例1：延时器是可逆的LTI系统其其逆系统是：第二章信号与系统的时域分析

§3.4LTI系统的性质:

三.因果性:

在任何时刻系统的输出都只与该时刻以及该时刻以前的输入有关,而与该时刻以后的输入无关.则系统是因果的.

以离散时间LTI系统为例

系统如是因果的,y(n)只能与当前以及以前的输入有关,欲使y(n)与n时刻以后的输入无关,要求和式中k>n的项均为零,为此要求:

也即:

相应的对连续时间LTI系统有:

是LTI系统因果性的充分必要条件

因果系统的逆系统不一定是因果的,例:

;因果的其逆系统非因果的∴第二章信号与系统的时域分析

§2.4LTI系统的性质:

四.稳定性:

如果一个系统的输入是有界的,输出也有界,则系统是稳定的,否则系统是非稳定的.

以离散时间LTI系统为例

设:有界,即:

欲使则要求

∴绝对可和,是离散时间LTI稳定的充分必要条件

绝对可积,是连续时间LTI稳定的充分必要条件第二章信号与系统的时域分析

§2.4LTI系统的性质:

五.单位阶跃响应:

以上讨论我们看到LTI系统的特性充分体现在h(t),h(n)中,然而,h(t),h(n)是系统对输入

(t),(n)的响应,在实际工程中,我们很难用实验的方法,测定h(t),h(n),而往往使用单位阶跃响应来描述系统.

系统对单位阶跃信号响应;

单位阶跃响应也完全可以表征一个LTI系统.

第二章信号与系统的时域分析

§2.5LTI系统的微分、差分方程描述:

一.连续时间LTI系统的微分方程描述

描述连续时间LTI系统的LCCDE一般可以表示为:

LCCDE可以描述相当广泛的一类连续时间LTI系统,分析这种系统,就是求解该方程,对LCCDE的解是由:

特解:取决于系统的输入信号

齐次解:即系统未加输入信号时方程的解

即:

k:k=1,2,3………..N为特征根

解的一般形式当无重根时均为常数

是待定系数。第二章信号与系统的时域分析

§2.5LTI系统的微分、差分方程描述:

一.连续时间LTI系统的微分方程描述

k:k=1,2,3………..N特征根

要确定其中N个待定系数,需要一组附加条件.

从数学的角度讲,解方程的一组附加条件可以是任意的,这意味着一组附加条件的数值和给出这一组附加条件的时刻都可以是任意的,如果这一组附加条件是在输入加入的时刻给出,我们称这样一组附加条件为初始条件.

现在研究系统的线性、因果性和时不变性与LCCDE及附加条件的关系,就是说在什么情况下,由LCDDE描述的系统才是线性的、因果的和时不变的.第二章信号与系统的时域分析

§2.5LTI系统的微分、差分方程描述:

(1)线性:

线性系统满足零输入零输出,时,方程变成齐次方程,

其解:

时,要求,则有所有的系数;即要求确定的一组附加条件;

这表明LCCDE连同一组全部为零的附加条件才能描述一个线性系统.

第二章信号与系统的时域分析

§2.5LTI系统的微分、差分方程描述:

(2)因果性:

假设系统在的时刻加入输入信号,附加条件在时给出,当时,附加条件是在信号加入以后的某个时刻给出.

为了满足线性,要求这组附加条件必须全部为零,即:

;于是系统的输出在t=0的时刻必须为零.

而输入信号在t<0时已经加入,因而应该由系统本身特性和输入信号决定,于是产生了矛盾,一方面附加条件要求在t=0必须为零,另一方面在t=0必须受到系统和输入信号的约束,这就要求系统在t0～0这一区间,对的响应必须能预见到t=0时刻的响应,从而导致系统的非因果性.

0t第二章信号与系统的时域分析

§2.5LTI系统的微分、差分方程描述:

(2)因果性:

因而可以得出结论:只有附加条件在输入信号加入的时刻给出,即附加条件同时是初始条件,才能保证系统是因果的.

综上所述:一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件才能描述一个线性的,因果的同时也是时不变的系统.

如果这组初始条件不全为零,则系统是增量线性系统.

(3)时不变性:

验证:以一个一阶微分方程为例

初始条件:

t0t0+T只需验证:若:显然:表明系统是时不变的结论：一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件可以描述一个LTI因果系统。这组条件是：如果一个因果的LTI系统由LCCDE描述,且具有一组零初始条件，就称该系统初始是静止的或最初是松弛的。反之，一个LTI系统可以由一组初始条件全部为零的LCCDE来描述。

如果LCCDE具有一组非零的初始条件，则可以证明它所描述的系统是增量线性的。第二章信号与系统的时域分析

二.离散时间LTI系统的差分方程描述:

1.描述离散时间LTI系统的LCCDE一般可以表示为:

与连续时间LTI系统LCCDE一样,它的解也分为齐次解和特解,也需要一组附加条件:

可以得出与微分方程相同的结论:

一个LCCDE连同一组全部为零的初始条件，可以描述一个线性,因果和时不变的离散时间系统，其初始条件一般为:

当LCCDE具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。

无论微分方程还是差分方程，由于其特解都与输入信号具有相同的函数形式，也就是说它是完全由输入决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为受迫响应或强迫响应。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应。

增量线性系统的响应有零状态响应和零输入响应。零输入响应与输入信号无关，因此属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也包含有一部分自然响应。第二章信号与系统的时域分析

二.离散时间LTI系统的差分方程描述:

2.差分方程的递推迭代解法:

(

项提出)

将方程改写为:

要求,不仅要知道所有的输入,还要知道

用递推的方法可以求得n

0时所有的

例:y(0)可从y(-1),y(-2),y(-3)………y(-N)求得

y(1)可从y(0),y(-1),y(-2)………y(-N+1)求得

y(2)可从y(1),y(0),y(-1)………y(-N+2)求得

.

.

.第二章信号与系统的时域分析

二.离散时间LTI系统的差分方程描述:

2.差分方程的递推迭代解法:

将(K=N的项提出)

方程改写为:

用递推的方法可以求得n<0时所有的y(n)

例:y(-1)可从y(0),y(1),y(2)………y(N-1)求得

y(-2)可从y(-1),y(0),y(1)………y(N-2)求得

y(-3)可从y(-2),y(-1),y(0)………y(N-3)求得

.

.

.第二章信号与系统的时域分析

二.离散时间LTI系统的差分方程描述:

2.差分方程的递推迭代解法:

例:

第二章信号与系统的时域分析

二.离散时间LTI系统的差分方程描述:

3.FIR(Finiteimpulseresponse)与IIR(Infinite…)系统

由LCCDE描述的离散时间系统可以分为两大类,即:FIR和IIR系统

若(只有k=0的项)则方程变为:

·只要知道输入序列,即可求得y(n),无需递推.

·显然,是一个有限长序列,故为FIR系统,方程称为非递归方程.

若ak除了a0外,不全为零,则y(n)不仅与输入有关,而且与以前的输出有关,

方程为递归型,为无限长,称为IIR系统,这两类系统不同,故系统结构特性及设计方法均有明显差异.

第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

一个LTI系统往往可以由微分方程和差分方程表示,实现这样一个系统,就是要完成微分方程和差分方程所表示的运算关系,我们可以用另外一种手段直观的分析和模拟实现一个系统,即用一些基本的运算单元(相乘、相加、延时、微分、积分），表示方程规定的运算关系，用计算机技术或数字电路技术实现系统的模拟仿真，模拟实现，这就是系统的方框图表示。

第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）.离散时间LTI系统的方框图表示：

LCCDE包括：移位、相加、乘系数三种运算

例：描述一阶系统的差分方程:

改写为：

这一方程的实现框图为：

+Db-aD第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）.离散时间LTI系统的方框图表示：

一般情况：改写为：

DDDDDD直接Ⅰ型第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）.离散时间LTI系统的方框图表示：

如果M=N:需要2N个延迟单元(移位寄存器)或计算机存储单元;

合并延时单元,得直接II型

Dy(n)b0DD++++b1b2bN++++-a1-a2-aNDDD第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）.离散时间LTI系统的方框图表示：

合并延时单元,得直接II型

(正准型)

直接Ⅱ型DDD第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（二）.连续时间LTI系统的方框图表示：

描述连续时间LTI系统的LCCDE:

LCCDE包括：微分、相加、乘系数三种运算,显然将离散时间系统中的差分换成微分即可.

由于微分器在工程中不易实现,抗干扰能力差,工程上常用积分器实现,可以将微分方程改写成积分方程.

定义:y(t)的零次积分

将方程两边积分N次(令M=N),则有:k个

（二）.连续时间LTI系统的方框图表示：

直接Ⅰ型第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）连续时间LTI系统的方框图表示：

交换级联次序

bN++++bN-1bN-2b0++++-aN-1-aN-2-a0x(t)y(t)第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（一）.连续时间LTI系统的方框图表示：

合并积分单元,得直接II型

(正准型)直接Ⅱ型第二章信号与系统的时域分析

三.LTI系统的方框图表示:

（二）.连续时间LTI系统的方框图表示：

将连续时间LTI系统的直接型结构和离散时间LTI系统的直接型结构比较,可以看出:

将离散时间延时单元改为积分器,并把相应的系数次序倒置,就可以从离散时间LTI系统的直接型结构变成连续时间LTI系统的直接型结构.

LTI系统还有级联、并联结构，将在以后的章节介绍.

⒈信号的时域分解:⒉LTI系统的时域分析——卷积和与卷积积分⒊LTI系统的描述方法：①用描述LTI系统（也可用描述）；②用LCCDE连同零初始条件描述LTI系统；本章主要讨论了以下内容：③用系统方框图描述（等同于LCCDE描述）。⒋LTI系统的特性与的关系：①记忆性、因果性、稳定性、可逆性与的关系；②系统级联、并联时，与各子系统的关系。190y(t)191192付里叶变换193194-1195196a-a197ROC图198199200201202203204205206207208例1:209210例1.显然表明的ROC是将的ROC平移了一个。3.S域平移若则211212213例.214ROC:是X（S）ROC的反转ROC