高等数学（财经类） 课件 1.1 函数

第一章函数和极限

§1.1函数

CONTENT1函数2初等函数3三角函数目录4反三角函数5区间函数Chapter1前言

宇宙间的一切事物都在不断地变化,变化是绝对的,不变是相对的。在我们的日常生活中,我们会遇到各种各样的量,比如温度、产量、面积等,这些量是变化的,而相对的一些量是不变的。我们称变化着的量为变量,相对不变的量为常量。自变量因变量1、函数的概念定义1设x,y是两个变量,D是一个给定的非空数集.如果对于每个数,变量y按照一定法则总有确定的数值和它对应,那么称y是x的函数,记作其中,x称为自变量,y称为因变量.f是函数符号,它表示x与y的对应法则.数集D称为这个函数的定义域,也记为Df,即.1、函数的概念

对

,按照对应法则

f,

总有确定的值

y0(记为f(x0))与之对应,称

f(x0)为函数在点

x0处的函数值.因变量与自变量的这种相依关系通常称为函数关系.

当自变量x取遍D的所有数值时,对应的函数值

f(x)的全体构成的集合称为函数

f的值域,记为Rf或

f(D),即1、函数的概念注：构成函数的要素为：定义域与对应法则.它们的定义域和对应法则均相等.定义域的确定：(1)对实际问题,根据问题的实际意义确定；(2)对抽象函数表达式,约定:定义域是使算式有意义的一切实数组成的集合.例如两函数相等1、函数的概念例1判断下列函数是否相同.解

(1)

的定义域为

所以的定义域为1、函数的概念例1判断下列函数是否相同.解

(2)

对应法则不同

所以1、函数的概念显函数：函数

y由

x的解析表达式直接表示.例如：隐函数：函数的自变量

x与因变量

y的对应关系由方程

来确定.例如：分段函数：函数在其定义域的不同范围内,具有不同的解析表达式.1、函数的概念例2

绝对值函数的定义域,值域.例3符号函数的定义域,值域.1、函数的概念例4

取整函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.例如,取整函数的定义域,值域.2、函数的几何特性（1）.函数的有界性

定义2

设函数f(x)的定义域为D,数集,若存在一个正数M,使得对一切,恒有,则称函数f(x)在X上有界,或称f(x)是X上的有界函数.函数的界2、函数的几何特性注：定义中的正数M不存在,则称f(x)在X上无界,或称f(x)是X上的无界函数.结论：f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.几何意义：曲线

y=f(x)的图像在区间D内被限制在y=-M和

y=M两条直线之间.2、函数的几何特性注：(1)若函数在某区间内有界,则正数M的取值不唯一.例如：在内有界,我们也可以取M=2.(2)有界性与区间有关.例如：在区间

(1,2)内有界,但在区间

(0,1)内无界.2、函数的几何特性（2）.函数的单调性

定义3

设x1和x2为区间(a,b)内的任意两个数,若当x1<x2时函数值,则称函数f(x)在区间(a,b)内单调增加或递增(如图1所示);若当x1<x2时有,则称函数f(x)在区间(a,b)内单调减少或递减(如图2所示).例

讨论函数的单调性.解函数的定义域为任取且则即所以,f(x)在区间内是单调增加的.单调增加或单调减少的函数,统称为单调函数.相应的区间称为函数的单调区间.2、函数的几何特性2、函数的几何特性（3）.函数的奇偶性

定义4

设函数f(x)的定义域D关于原点对称,若对任意的,恒有,则称f(x)为奇函数；若对任意的,有,则称f(x)为偶函数.注：偶函数的图形关于y轴对称(如图a);奇函数的图形关于原点对称(如图b).2、函数的几何特性例如

函数

是奇函数,函数

是偶函数,而函数

既不是奇函数又不是偶函数.例5

判断函数

的奇偶性.解

因为函数的定义域为,且所以f(x)为奇函数.2、函数的几何特性（4）.函数的周期性

定义5

设函数f(x)的定义域为D,若存在常数T>0,使对任意的,恒有成立,则称

f(x)为周期函数,满足上式的最小正数

T称为f(x)的周期.注：若f(x)是周期为T的周期函数,则在长度为T的两个相邻的区间上,其函数图形的形状相同.

2、函数的几何特性（4）.函数的周期性

定义5

设函数f(x)的定义域为D,若存在常数T>0,使对任意的,恒有成立,则称

f(x)为周期函数,满足上式的最小正数

T称为f(x)的周期.例如三角函数

sinx与cosx均是R上的周期函数,周期均为

.

tanx是周期为

的周期函数.初等函数Chapter2第一部分：反函数定义6

设函数

y=f(x)的定义域为D,值域为Rf,对任一,都有唯一确定的

与之对应,且满足

f(x)=y,则x是定义在Rf上,以y为自变量的函数,称为函数

y=f(x)的反函数,记为2.通常将反函数记作

;4.函数与其反函数的图像关于直线

y=x对称;5.单调函数一定存在反函数.注：1.与互为反函数;3.的定义域与值域分别为

y=f(x)的值域与定义域;

函数与其反函数第一部分：反函数

反函数的图像:

的图像关于直线

y=x对称.

定义域为D,值域为Rf

第一部分：反函数

求反函数的步骤：解出,交换x和y反函数.

第一部分：反函数例7求函数的反函数.解

的定义域为

值域为交换x和y,得反函数第二部分：基本初等函数常值函数:

定义域：函数图像：与x轴平行或重合.基本初等函数包括:

常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.第二部分：基本初等函数幂函数:

定义域：(为实数)当取不同值时,定义域也不同.1.当时,函数图像：过原点(0,0)和(1,1),在内单调增加且无界.2.当时,函数图像：单调减少且无界,曲线以x轴和y轴过点(1,1),在内为渐近线.第二部分：基本初等函数指数函数:

定义域：(a为常数)1.当时,函数图像:在x轴上方,且过点(0,1).函数单调增加且无界,值域：x轴的负半轴是曲线的渐近线.2.当时,函数单调减少且无界,x轴的正半轴是曲线的渐近线.第二部分：基本初等函数对数函数:

定义域：(a为常数)1.当时,函数图像:在y轴右方,且过点(1,0).函数单调增加且无界,值域：y轴的负半轴是曲线的渐近线.2.当时,函数单调减少且无界,y轴的正半轴是曲线的渐近线.第二部分：基本初等函数指数函数与对数函数互为反函数.由指数函数和对数函数的图像可知,定义域：值域：交换x和y,得反函数第二部分：基本初等函数正弦函数:

定义域：三角函数包括:

值域：函数是以为周期的周期函数,是奇函数,也是有界函数.第二部分：基本初等函数余弦函数:

定义域：值域：函数是以为周期的周期函数,是偶函数,也是有界函数.注:

正弦函数的图像沿x轴向左平移,即得余弦函数的图像.正割函数:

余割函数:

第二部分：基本初等函数正切函数:

函数是奇函数,并以为周期,

在内单调增加,直线为其渐近线.定义域：值域：第二部分：基本初等函数余切函数:

值域：函数是奇函数,并以为周期,

在内单调减少,直线为其渐近线.定义域：第二部分：基本初等函数

对于值域中的任何

y值,三角函数的自变量

x均有无穷多个值与之对应,因此在整个定义域上所有三角函数都不存在反函数.注：只有限制

x的取值范围后,才能考虑其反函数.

第二部分：基本初等函数反正弦函数:

定义域：反三角函数包括:

值域：函数图像:是单调增加的奇函数.反正弦函数是正弦函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反余弦函数:

定义域：值域：函数图像:是单调减少的非奇非偶函数.反余弦函数是余弦函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反正切函数:

定义域：值域：函数图像:是单调增加的奇函数.反正切函数是正切函数在主值区间上的反函数.第二部分：基本初等函数反余切函数:

定义域：值域：函数图像:是单调减少的非奇非偶函数.反余切函数是余切函数在主值区间上的反函数.第三部分：复合函数定义7

设函数

y=f(u)的定义域为Df,而函数u=g(x)的值域为Rg,若,则称函数

y=f[g(x)]为函数

y=f(u)和u=g(x)的复合函数,其中,x称为自变量,y称为因变量,u称为中间变量.(2)复合函数还可以由两个以上的函数复合而成,即中间变量可以有多个.注:(1)只有当

时,两个函数才可以构成一个复合函数.第三部分：复合函数例10

第四部分：初等函数定义8由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合,并在定义域内由一个解析式表示的函数,称为初等函数.例如

都是初等函数.第四部分：初等函数形如

的函数,称为幂指函数,其中f(x)和g(x)均为初等函数,且

f(x)>0,由恒等式

可知,幂指函数为初等函数.例如

1.等都是幂指函数,因此都是初等函数.2.分段函数一般不是初等函数.三角函数Chapter3*第一部分：三角函数三角函数公式正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数第二部分：三角函数常用公式常用公式：

1.倍角公式：

2.平方公式：3.半角公式：4.和差公式：第二部分：三角函数常用公式常用公式：

5.和差化积：

反三角函数Chapter4*第一部分：反三角函数反三角函数公式反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数限制三角函数x的取值区间,使其在所选区间上为单调函数,则存在三角函数的反函数,即反三角函