线性代数（财经类） 课件 5.1 二次型与对称矩阵_第1页
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文档简介

§5.1二次型与对称矩阵二次型及其对称矩阵线性变换目录Part1二次型及其对称矩阵一、二次型二次项一次项常数项解析几何中，二次曲线的一般形式ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0它的二次项为是一个二元二次齐次多项式．一、二次型

定义

只含有二次项的

n

元多项式称为

x1,x2,…,xn

的一个

n

元二次齐次多项式，简称

x1,x2,…,xn

的一个

n

元二次型.

注：当

为实数时,称为实二次型.

当

为复数时,称为复二次型.一、二次型令aij=aji，则2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xj

xi

，于是一、二次型对称阵二次型的矩阵形式一、二次型对称阵

A的秩也叫做二次型

f的秩．二次型与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的二次型二次型f(x)的矩阵练习例1

写出下列二次型对应的对称矩阵.练习例2

求下列对称矩阵对应的二次型.解(1)练习例2

求下列对称矩阵对应的二次型.解(2)(3)Part2线性变换一、线性变换

对应投影变换例2阶方阵对应以原点为中心逆时针旋转j

角的旋转变换例2阶方阵一、线性变换

解析几何中，二次方程的一般形式ax2+2bxy+cy2=d

通过选择适当的旋转变换得

a'x'2+b'y'2=d'

．一、线性变换

定义:关系式一、线性变换

例如

线性变换

的系数矩阵C的行列式因此，该线性变换是一个非退化线性变换.一、线性变换

一、线性变换

定理1

二次型

经非

经非退化线性变换

后,仍为二次型.该二次型的矩阵为.

一、线性变换

注：矩阵之间的合同关系与相似关系是两种不同的关系.练习例

设,则存在可逆矩阵

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