线性代数（财经类） 课件 2.5逆矩阵

2.5逆矩阵逆矩阵01020304逆矩阵概念逆矩阵性质分块逆矩阵总结逆矩阵的概念在数的运算中，当数

时，有其中

为

的倒数

（或称

的逆）；

在矩阵的运算中，单位阵

相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A

是否也存在一个矩阵

使得A（）=（）A=I

这是我们要讨论的逆矩阵中的一个问题

逆矩阵的概念及性质逆矩阵的概念及性质定义8

对于n阶矩阵A

如果存在n阶矩阵B

使得

AB

BA

II是n阶单位矩阵

那么矩阵A称为可逆矩阵

简称A可逆

并称B为A的逆矩阵

定理1（逆阵的唯一性）如果A可逆

则A的逆矩阵是唯一的，记作A

1

证明：

因为如果B和B1都是A的逆矩阵

则有

AB

BA

I

AB1

B1A

I于是

B

BI

B(AB1)

(BA)B1

IB1

B1即

B

B1逆矩阵的性质例如，矩阵，存在矩阵，使得所以矩阵A可逆，且

单位矩阵的逆矩阵是其本身

逆矩阵的概念及性质逆矩阵的性质逆矩阵的概念及性质补例设解设是的逆矩阵,则利用待定系数法逆矩阵的性质逆矩阵的概念及性质又因为所以逆矩阵的性质定理2

如果A可逆

则

证：A可逆，则有，使，故所以，且注：当时，称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵.例如为非奇异矩阵，为奇异矩阵.逆矩阵的概念及性质矩阵的运算定义9(伴随矩阵)

由行列式|A|

|aij|的元素aij的代数余子式Aij(i

j

1

2

n)所构成的矩阵逆矩阵的概念及性质称为矩阵A的伴随矩阵

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例27求矩阵的伴随矩阵.矩阵的运算逆矩阵的概念及性质定理3

矩阵

可逆的充要条件是

，且

证明若

可逆，矩阵的运算逆矩阵的概念及性质矩阵的运算按逆矩阵的定义得非奇异矩阵与可逆的关系逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例28判断矩阵是否可逆，若可逆，求其逆矩阵解：因为，所以可逆，由例27有逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例29如果，其中

证明逆矩阵的概念及性质矩阵的运算证明：所以逆矩阵的概念及性质矩阵的运算推论1若A是n阶矩阵

且存在n阶矩阵B

使AB

I或BA

I

则A可逆

且B为A的逆矩阵

因为

设有AB

I

则

|AB|

|A|

|B|

|I|

1故|A|

0

于是A可逆

设其逆矩阵为A

1

则有

B

IB

A

1I

A

1

A

1(AB)

(A

1A)B

若有BA

I

同理可得B

A

1

如果我们要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵

只要验证一个等式AB

I或BA

I即可

不必按定义验证两个等式

逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例30设n阶矩阵A满足aA2

bA

cI

O(a

b

c为常数

且c

0)

证明A为可逆矩阵

并求A

1

解

由aA2

bA

cI

O

有

aA2

bA

cI

又因c

0

故有

逆矩阵的概念及性质矩阵的运算逆矩阵的性质

(1)若矩阵A可逆

则A

1也可逆

且(A

1)

1

A

逆矩阵的概念及性质

由可逆矩阵的定义

显然可见A与A

1是互逆的

(2)若矩阵A可逆，数

则kA也可逆，且

，因为(3)两个同阶可逆矩阵

A,B的乘积是可逆矩阵，且因为矩阵的运算(4)若矩阵A可逆，则A的转置矩阵

也可逆，且(5)若矩阵A可逆，则因为，则有，所以逆矩阵的概念及性质矩阵的运算例32证明：如果n阶矩阵A可逆，则其伴随矩阵

也可逆，且，

证：由A可逆

有|A|

0

且若A可逆，则有逆矩阵的概念及性质矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

(1)若AB

AC

在等式两边左乘以A

1

则有

A

1AB

A

1AC因A

1A

I

于是

IB

IC即B

C矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

显然有AB

CB

但A

C

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

(3)若AB

O

在等式两边左乘以A

1

有

A

1AB

A

1O即IB

O于是有B

O矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例33若是同阶矩阵，且A可逆，证明下列结论中(1)，(3)成立，举例说明(2)，(4)不必然成立.（1）若，则（2）若，则（3）若，则（4）若，则

解

显然有BC

O

但B

O

矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例34解线性方程组解令则方程组为因为，所以A可逆，且所以矩阵的运算逆矩阵的概念及性质例35设矩阵，，，求解：而故矩阵的运算逆矩阵的概念及性质一般地，如果，则，从而矩阵多项式其中若

，则矩阵的运算逆矩阵的概念及性质分块矩阵的逆矩阵若分块对角矩阵其中均可逆，则由逆矩阵的推论1得分块矩阵的逆矩阵例37设，求

解则所以分块矩阵的逆矩阵例38设n阶方阵A与m阶方阵B均可逆，求解令则于是总结逆矩阵的概念及运算性质.逆矩阵的计算方法逆矩阵

存在矩阵的运算逆矩阵的性质