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江苏省南京市东华中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.点关于直线的对称点是(
)A.
B.
C.D.参考答案:D2.如图,是半圆的直径,点在半圆上,于点,且,设,则=(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A3.把圆绕极点按顺时针方向旋转而得圆的极坐标方程为(
)A. B.C. D.参考答案:D【分析】先得到圆的半径,以及圆心的极坐标,再得到旋转后的圆心坐标,得出所求圆的直角坐标方程,再化为极坐标方程,即可得出结果.【详解】因为圆的半径为,圆心极坐标为,所以,将圆绕极点按顺时针方向旋转所得圆的圆心极坐标为,半径不变;因此,旋转后的圆的圆心直角坐标为,所以,所求圆的直角坐标方程为,即,化为极坐标方程可得,整理得.故选D【点睛】本题主要考查圆的极坐标与直角坐标的互化,熟记公式即可,属于常考题型.4.在中,若,则A等于(
)A.或
B.或
C.或
D.或参考答案:D5.若集合,,且,则这样的实数的个数为.
A.
B.
C.
D.参考答案:C略6.下列不等式一定成立的是()A.
B.C.
D.参考答案:CA.因为,所以不一定成立;
B.因为可能为负值,所以不一定成立;C.一定成立;
D.不一定成立,例如时就不成立。7.“4<K<9”是“方程+=1表示的图形为椭圆”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案:B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】求出方程+=1表示的图形为椭圆的k的范围,结合集合的包含关系判断即可.【解答】解:∵方程+=1表示的图形为椭圆,∴,解得:4<k<9且k≠,故“4<K<9”是“方程+=1表示的图形为椭圆“的必要不充分条件,故选:B.8.若直线4x-3y-2=0与圆有两个不同的公共点,则实数a的取值范围是()A.-3<a<7
B.-6<a<4
C.-7<a<3D.-21<a<19参考答案:B9.对变量x,y由观测数据(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v由观测数据(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断,(
)A.x与y正相关,u与v正相关
B.x与y正相关,u与v负相关C.x与y负相关,u与v正相关
D.x与y负相关,u与v负相关参考答案:C略10.已知数列,若是公比为2的等比数列,则的前n项和等于
(
)A.
B.
C.
D.参考答案:D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.F1F2分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,I是的内心,且,则=_________.参考答案:略12.设实数满足约束条件,则目标函数的最大值为
▲
.参考答案:613.点到直线的距离等于4,且在不等式表示的平面区域内,则点的坐标是_______________.参考答案:14.已知实数x,y满足条件则z=2x+y的最大值是
.参考答案:9【考点】简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.【解答】解:实数x,y满足条件作出不等式组对应的平面区域如图:由z=2x+y得y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z,则当直线y=﹣2x+z经过点A时,直线的截距最大,此时z最大,由可得A(3,3).此时z=9,故答案为:9.15.已知函数f(x)=x2-mx对任意的x1,x2∈[0,2],都有|f(x2)-f(x1)|≤9,求实数m的取值范围
.参考答案:∵f(x)=x2﹣mx对任意的x1,x2∈,都有|f(x2)﹣f(x1)|≤9,∴f(x)max﹣f(x)min≤9,∵函数f(x)=x2﹣mx的对称轴方程为:x=,①若≤0,即m≤0时,函数f(x)=x2﹣mx在区间上单调递增,f(x)max=f(2)=4﹣2m,f(x)min=f(0)=0,依题意,4﹣2m≤9,解得:m≥﹣,即﹣≤m≤0;②若0<≤1,即0<m≤2时,同理可得,f(x)max=f(2)=4﹣2m,f(x)min=f()=﹣,依题意,4﹣2m﹣(﹣)≤9,解得:﹣2≤m≤10,即0<m≤2;③若1<≤2即2<m≤4时,同上得:f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f()=﹣,依题意,0﹣(﹣)≤9,解得:﹣6≤m≤6,即2<m≤4;④若>2即m>4时,函数f(x)=x2﹣mx在区间上单调递减,f(x)max=f(0)=0,f(x)min=f(2)=4﹣2m,依题意,0﹣(4﹣2m)≤9,解得:m≤,即4<m≤;综合①②③④得:﹣≤m≤.故答案为:[,].
16.命题“”的否定是_____________________.参考答案:
17.i是虚数单位,若复数z=(m2﹣1)+(m﹣1)i为纯虚数,则实数m的值为
.参考答案:﹣1【考点】A2:复数的基本概念.【分析】根据纯虚数的定义可得m2﹣1=0,m﹣1≠0,由此解得实数m的值.【解答】解:∵复数z=(m2﹣1)+(m﹣1)i为纯虚数,∴m2﹣1=0,m﹣1≠0,解得m=﹣1,故答案为﹣1.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知二次函数,若,且函数的值域为[0,+∞).(1)求a,b的值;(2)若,求的最小值.参考答案:(1);(2)【分析】(1)根据题意得到方程组,即可求解得值;(2)由(1)知,进而得到则,分类讨论,即可求解函数的最小值.【详解】(1)由题意,显然,由,所以,又函数的值域为,所以,由方程组,解得.(2)由(1)知,则①若,则,即,又,∴时,;②若,则,即,又,∴时,,综上所述,.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求解,以及二次函数的图象与性质的应用,其中解答熟记二次函数的图象与性质,合理分类讨论是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题.19.已知命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆;命题q:双曲线的离心率;若“”为真,“”为假,求实数的取值范围.参考答案:解:P为真:0<m<
……2分q为真:0<m<15
……6分为真,为假,∴;
……8分
当p真q假时,则空集;
当p假q真时,则
……11分故m的取值范围为
……12分
20.已知抛物线的焦点F在x轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点,若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.参考答案:【考点】抛物线的简单性质.【分析】设抛物线方程为y2=2px(p≠0),依题意,可求得AB=2|p|,利用△OAB的面积等于4,即可求得p,从而可得此抛物线的标准方程.【解答】解:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p≠0),焦点F(),直线l:x=,∴A、B两点坐标为(),(),∴AB=2|p|.∵△OAB的面积为4,∴?||?2|p|=4,∴p=±2.∴抛物线的标准方程为y2=±4x.21.已知抛物线和点,过点P的直线与抛物线交与两点,设点P刚好为弦的中点。(1)求直线的方程
(2)若过线段上任一(不含端点)作倾斜角为的直线交抛物线于,类比圆中的相交弦定理,给出你的猜想,若成立,给出证明;若不成立,请说明理由。
(3)过P作斜率分别为的直线,交抛物线于,交抛物线于,是否存在使得(2)中的猜想成立,若存在,给出满足的条件。若不存在,请说明理由。参考答案:解:(1)(2)猜想
22.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛,并抽取了20名学生的成绩进行分析,如图是这20名学生竞赛成绩(单位:分)的频率分布直方图,其分组为[100,110),[110,120),…,[130,140),[140,150].(Ⅰ)求图中a的值及成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数;(Ⅱ)学校决定从成绩在[100,120)的学生中任选2名进行座谈,求此2人的成绩都在[110,120)中的概率.参考答案:【考点】CB:古典概型及其概率计算公式;B8:频率分布直方图.【分析】(Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为10,由频率分布直方图中小矩形面积之和为1,求出a,由此能求出成绩分别落在[100,110)与[110,120)中的学生人数.(Ⅱ)记成绩落在[100,110)中的2人为A1,A2,成绩落在[110,120)中的3人为B1,B2,B3,由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110,120)中的概率.【解答】解:(Ⅰ)根据频率分布直方图知组距为10,由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得;所以成绩落在[100,110)中的人数为2×0.005×10×20=2;成绩落在[110,120)中的人数为3×0.005×10×20=3.(Ⅱ)记成绩落在[100,110)中的
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