辽宁省朝阳市第十八高级中学高二数学理联考试卷含解析

辽宁省朝阳市第十八高级中学高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断()A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关参考答案：C略2.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】余弦定理；等比数列．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．3.如图所示，程序框图的输出结果为

A.

B.

C.

D.

参考答案：A4.下列有关命题的说法错误的为（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件C．命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出原命题的逆否命题，可判断A；根据充要条件的定义，可判断B；写出原命题的否定可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．【解答】解：命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故A正确；“|x|＜2”?“﹣2≤x≤2“，“x2﹣x﹣6＜0”?“﹣2≤x≤3“，故“|x|＜2”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件，故B正确；命题“存在∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；p∧q为假命题，则p，q中存在假命题，但不一定均为假，故D错误；故选：D5.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（

）A.10

B.14

C.18

D.31参考答案：B6.复数=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i参考答案：B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法运算化简求值．【解答】解：=．故选B．7.设是定义在上的奇函数，当时，，则

A.

B.

C.１D.3参考答案：A略8.用反证法证明命题：“如果，那么”时，假设的内容应是（

）A．

B．

C．

D．且参考答案：C9.函数的导数是(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：A略10.设有下面四个命题p1:若，则；p2:若，则；p3:若，则；p4:若，则.其中真命题的个数为（

）A．1

B．2

C.3

D．4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC是一个面积较大的三角形，点P是△ABC所在平面内一点且++2=，现将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是．参考答案：1500粒【考点】模拟方法估计概率．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则+=，∵++2=，∴+=﹣2，得：=﹣2，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P=，将3000粒黄豆随机抛在△ABC内，则落在△PBC内的黄豆数大约是1500粒．故答案为1500粒．12.曲线

(t为参数)的直角坐标方程是_______.参考答案：13.

参考答案：

14.给出下列命题：①用反证法证明命题“设为实数，且则”时，要给出的假设是：都不是正数；②若函数在处取得极大值，则；③用数学归纳法证明，在验证成立时，不等式的左边是；④数列{an}的前n项和Sn=3n－c，则c=1是数列{an}成等比数列的充分必要条件；上述命题中，所有正确命题的序号为

.参考答案：③④15.如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB=BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB与DE所成角的正切值是；②AB∥CE③VB﹣ACE体积是a3；④平面ABC⊥平面ADC．其中正确的有．（填写你认为正确的序号）参考答案：①③④【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】作出直观图，逐项进行分析判断．【解答】解：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a，BE=a，∴AE=．∴AD=．∴AC=．在△ABC中，cos∠ABC===．∴sin∠ABC==．∴tan∠ABC==．∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面ABD，∴CE⊥AB．故②错误．三棱锥B﹣ACE的体积V===，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC?平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD．故答案为①③④．16.双曲线x2﹣=1的渐近线方程是

．参考答案：y=±2x

【考点】双曲线的简单性质．【分析】渐近线方程是=0，整理后就得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：∵双曲线标准方程为=1，其渐近线方程是=0，整理得y=±2x．故答案为y=±2x．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．17.二次曲线的焦距为

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=9，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE=4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的正弦值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出DE⊥AC，DE⊥A1D，DE⊥CD，从而DE⊥A1C．再由A1C⊥CD，能证明A1C⊥平面BCDE．（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出CM与平面A1BE所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC．∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC．∴DE⊥A1C．又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE．解：（2）以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，CA1为z轴，建立空间直角坐标系，C（0，0，0），A1（0，0，3），D（0，3，0），M（0，，），B（6，0，0），E（4，3，0），=（0，），=（﹣6，0，3），=（﹣2，3，0），设平面A1BE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，=（1，，），设CM与平面A1BE所成角为θ，sinθ===．∴CM与平面A1BE所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．19.设函数，其中a∈R．（Ⅰ）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性，并说明理由；（Ⅱ）若?x＞0，f（x）≥ax﹣x成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）令φ（x）=f（x）﹣ax+x，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出φ（x）的单调性，进而确定a的范围即可．【解答】解：（I）函数f（x）=ln（x+1）+x2﹣x的定义域为（﹣1，+∞），∴令，解得当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（Ⅱ）因为?x＞0，f（x）≥ax﹣x成立，所以对x＞0恒成立，（1）当0≤a≤1时，φ'（x）≥0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，∴φ（x）＞φ（0）=0，满足题意．（2）当a＞1时，令φ'（x）＜0，则，∴φ（x）在上单调递减，∴x∈时，∴φ（x）＜φ（0）=0，不满足题意．（3）当a＜0时，令φ'（x）＞0，则，∴φ（x）在上单调递增，在上单调递减，取时，，∴，不满足题意．综上所述：a的取值范围[0，1]．20.求解以下两小题：（1）91100除以100的余数是几？（2）若（1+x）6（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a11x11．求：（i）a1+a2+a3+…+a11；（ii）a0+a2+a4+…+a10．参考答案：【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】（1）利用二项式定理展开即可得到答案．（2）利用赋值法，令x=0，可得a0．令x=1和x=﹣1，可得a1+a2+a3+…a11和a0+a2+a4+…+a10的值，即可求出：a1+a2+a3+…a11，a0+a2+a4+…+a10．【解答】解：（1）由91100=（90+1）100=?90100+?9099+?9098+…+?90+?（90）0∵除了?90+?（90）0以外，其他项都能被100整除．∴9001÷100可得余数为1．故得91100除以100的余数是1．（2）令x=0，可得：a0=1．令x=1，可得：a0+a1+a2+a3+…+a11=﹣26，可得a1+a2+a3+…+a11=﹣65．令x=﹣1，可得：a0﹣a1+a2﹣a3+…﹣a11=0，相加可得a0+a2+a4+…+a10=﹣32．21.求圆心在直线上，且过圆与圆的交点的圆的一般方程。参考答案：设圆的方程为即圆心

解得故所求圆的方程为即略22.袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（I）求n的值；（II）从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．①记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率；②在区间[0，2]内任取两个实数x，y，求事件“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．参考答案：【考点】几何概型；古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是，确定n的值．（Ⅱ）①从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．②记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）根据从袋子随机抽取1个