河南省商丘市永城蒋口乡联合中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析

河南省商丘市永城蒋口乡联合中学2022-2023学年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()参考答案：D略2.若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是（）A．（4，6） B．[4，6） C．（4，6] D．[4，6]参考答案：A【考点】点到直线的距离公式．【分析】先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，由题意得|5﹣r|＜1，解此不等式求得半径r的取值范围．【解答】解：∵圆心P（3，﹣5）到直线4x﹣3y=2的距离等于=5，由|5﹣r|＜1得

4＜r＜6，故选A．3.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为（）A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．10参考答案：B【考点】回归分析的初步应用．【分析】利用样本点的中心在线性归回方程对应的直线上，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得，，由在直线，得，即线性回归方程为．所以当x=12时，，即他的识图能力为9.5．故选：B．4.若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2+y2﹣2x=0相切，则a的值为(

)A．﹣1，1 B．﹣2，2 C．1 D．﹣1参考答案：D【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】把圆的方程化为标准形式，根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离等于半径，求得a的值．【解答】解：圆x2+y2﹣2x=0即（x﹣1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心、半径等于1的圆，再根据圆心到直线（1+a）x+y+1=0的距离d==1，求得a=﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．5.倾斜角是45°且过（﹣2，0）的直线的方程是（）A．x﹣y+2=0 B．x+y﹣2=0 C．x﹣y+2=0 D．x﹣y﹣2=0参考答案：A【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；规律型；直线与圆．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线方程即可．【解答】解：倾斜角是45°则直线的斜率为：1，过（﹣2，0）的直线的方程是y=x+2，即x﹣y+2=0．故选：A．【点评】本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．6.在区间[0，]上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C7.如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则（

）A．1003

B．1005

C．1006

D．2011参考答案：B略8.“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的（）条件．A．充分必要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据直线截距的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当k=﹣1时，直线l：y=kx+2k﹣1=﹣x﹣3，即，满足在坐标轴上截距相等，即充分性成立，当2k﹣1=0，即k=时，直线方程为y=，在坐标轴上截距都为0，满足相等，但k=﹣1不成立，即必要性不成立，故“k=﹣1”是“直线l：y=kx+2k﹣1在坐标轴上截距相等”的充分不必要条件，故选：B9.设，方程的解集是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.已知向量=（2，4，5），=（3，x，y）分别是直线l1、l2的方向向量，若l1∥l2，则（）A．x=6，y=15 B．x=3，y= C．x=3，y=15 D．x=6，y=参考答案：D【考点】共线向量与共面向量．【分析】由l1∥l2，利用向量共线定理可得：存在非0实数k使得，解出即可．【解答】解：∵l1∥l2，∴存在非0实数k使得，∴，解得，故选：D．【点评】本题考查了向量共线定理，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是__________．参考答案：∵，∴，∴，∵存在，使得，∴，∴，设，∴，，令，解得，令，则，函数单调递增，令，则，函数单调递减，∴当时，取最大值，，∴．12.已知x与y之间的一组数据：x

0

1

2

3y

1

3

5

7则y与x的线性回归方程

．参考答案：y=2x+1

【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中的数据确定出，，xiyi，4?，xi2，42的值，进而求出a与b的值，即可确定出y与x的线性回归方程．【解答】解：∵=1.5，=4，xiyi=34，4?=24，xi2=14，42=9，∴b==2，a=4﹣2×1.5=1，则y与x的线性回归方程为y=2x+1，故答案为：y=2x+1．13.在中,若,则

参考答案：略14.函数的最大值为__________.参考答案：．【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用求最值．

15.平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为．参考答案：【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，由△CB1D1是正三角形，即可得出m、n所成角．【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．则m、n所成角的正弦值为：．故答案为：．【点评】本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、等边三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．16.设函数是定义在(－∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，在区间(－∞,0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式的解集为________参考答案：(－∞,0)∪(1,2)【分析】根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，结合函数的单调性以及特殊值可得当x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，又由奇偶性可得当1＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0；又由（x﹣1）f（x）＜0?或，分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且f（x）的定义域为{x|x≠1}，y＝f（x）在区间（﹣∞，1）是减函数，且图象过原点，则当x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，又由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则当1＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，（x﹣1）f（x）＜0?或，解可得：x＜0或1＜x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；故答案为：（﹣∞，0）∪（1，2）．【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于综合题．17.已知是抛物线上一点，是圆上的动点，则的最小值是

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）设椭圆：的离心率为，点（，0），（0，），原点到直线的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点为（，0），点在椭圆上（与、均不重合），点在直线上，若直线的方程为，且，试求直线的方程．参考答案：（Ⅰ）由得

………………2分由点（，0），（0，）知直线的方程为，于是可得直线的方程为

因此，得，，，………………5分所以椭圆的方程为

………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知、的坐标依次为（2，0）、，因为直线经过点，所以，得，即得直线的方程为

因为，所以，即

………………7分设的坐标为，(法Ⅰ)由得P()，则

………………10分所以KBE=4又点的坐标为，因此直线的方程为

………………12分19.已知（1）如果，求w的值；（2）如果，求实数a，b的值.参考答案：（1）（2）试题分析：（1）本问考查共轭复数，复数的乘方，由，，于是可以经过计算求出；（2）本问考查复数除法运算及两个复数相等的充要条件，（），（），则的充要条件是且，列方程组可以求解.试题解析：（1）∵，∴.（2）∵，∴.∴，解得.20.已知函数f（x）=ex和函数g（x）=kx+m（k、m为实数，e为自然对数的底数，e≈2.71828）．（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）当k=2，m=1时，判断方程f（x）=g（x）的实数根的个数并证明；（3）已知m≠1，不等式（m﹣1）[f（x）﹣g（x）]≤0对任意实数x恒成立，求km的最大值．参考答案：（1）求出h′（x）=ex﹣k，（x∈R），分以下两种情况讨论：①当k≤0，②当k＞0，（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，结合（1）及图象即可判定．（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），分①当m＞1，②当m＜1，分别求解解：（1）h′（x）=ex﹣k，（x∈R），①当k≤0时，h′（x）＞0恒成立，h（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），无单调递减区间；②当k＞0时，由h′（x）＞0得x＞lnk，由h′（x）＜0得x＜lnk，故h（x）的单调递减区间为（﹣∞，lnk），单调递增区间为（lnk，+∞）．（2）当k=2，m=1时，方程f（x）=g（x）即为h（x）=ex﹣2x﹣1=0，由（1）知h（x）在（﹣∞，ln2）上递减，而h（0）=0，故h（x）在（﹣∞，ln2）上有且仅有1个零点，由（1）知h（x）在[ln2，+∞）上递增，而h（1）=e﹣3＜0，h（2）=e2﹣5＞0，且h（x）的图象在[1，2]上是连续不间断的，故h（x）在[1，2]上有且仅有1个零点，所以h（x）在[ln2，+∞）上也有且仅有1个零点，综上，方程f（x）=g（x）有且仅有两个实数根．（3）设h（x）=f（x）﹣g（x），①当m＞1时，f（x）﹣g（x）≤0恒成立，则h（x）≤0恒成立，而h（﹣）=e＞0，与h（x）≤0恒成立矛盾，故m＞1不合题意；②当m＜1时，f（x）﹣g（x）≥0，恒成立，则h（x）≥0恒成立，1°当k=0时，由h（x）=ex﹣m≥0恒成立可得m∈（﹣∞，0]，km=0；2°当k＜0时，h（）=e﹣1，而，故e＜1，故h（）＜0，与h（x）≥0恒成立矛盾，故k＜0不合题意；3°当k＞0时，由（1）可知[h（x）]min=h（lnk）=k﹣klnk﹣m，而h（x）≥0恒成立，故k﹣klnk﹣m≥0，得m≤k﹣klnk，故km≤k（k﹣klnk），记φ（k）=k（k﹣klnk），（k＞0），则φ′（k）=k（1﹣2lnk），由φ′（k）＞0得0，由φ′（k）＜0得k＞，故φ（k）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，∴φ（k）max=φ（）=，∴km≤，当且仅当k=，m=时取等号；综上①②两种情况得km的最大值为．21.已知曲线C的极坐标方程为（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C的直角坐标方程；（2）若是曲线C上的一个动点，求的最大值.参考答案：（1）(2)【分析】（1）利用极坐标化直角坐标的公式求解即可；（2）设,利用三角函数图像和性质解答得解.【详解】（1）由题得，所以.所以曲线的直角坐标方程为.设,所以，其中在第一象限，且.所以x+2y最大值为5.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查三角函数的恒等变换和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.22.已知函数f（x）=loga（1+x）﹣loga（1﹣x）（a＞0，a≠1）． （Ⅰ）判断f（x）奇偶性，并证明； （Ⅱ）当0＜a＜1时，解不等式f（x）＞0． 参考答案：【考点】函数奇偶性的判断；其他不等式的解法． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）奇偶性； （Ⅱ）当0＜a＜1时，根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）