河南省周口市博惠中学2022年高二数学理模拟试卷含解析

河南省周口市博惠中学2022年高二数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列给出的赋值语句中正确的是（

）A．3=A

B．

M=-M

C．

B=A=2

D．

参考答案：B2.已知函数f（x）在x=1处的导数为1，则=（）A．3 B．﹣ C． D．﹣参考答案：B【考点】63：导数的运算；6F：极限及其运算．【分析】先对进行化简变形，转化成导数的定义式f′（x）=即可解得．【解答】解：=故选B．3.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】判定三棱锥的形状，然后求出它的外接球的半径，再求体积．【解答】解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选C．【点评】本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题．4.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：B略5.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是()A.a≥-3 B.a>-3

C.a≤-3 D.a<-3参考答案：D6.在△ABC中，CB=4，M是△ABC的外心，则（

）A．4

B．6

C．8

D．16参考答案：C∵M是的外心，∴．故选C．

7.如果一个数含有正偶数个数字8，就称它为“优选数”（如188,38888等），否则，称它为“非优选数”（如187,89等），则四位数中所有“优选数”的个数为…………（

）A.459

B.460

C.486

D.487参考答案：B8.已知R上的可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x﹣2）f'（x）＞0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣1，1）∪（2，+∞）参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由函数f（x）的图象可得其导函数在不同区间内的符号，再由（x﹣2）f′（x）＞0得到关于x的不等式组，求解不等式组后取并集即可得到原不等式的解集．【解答】解：由函数f（x）的图象可得，当x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0．由（x﹣2）f′（x）＞0?①或②解①得，x＞2，解②得，﹣1＜x＜1，综上，不等式（x﹣2）f′（x）＞0的解集为（﹣1，1）∪（2，+∞），故选：D．9.二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】一元二次不等式的解法．【专题】计算题．【分析】由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0对应的函数开口向下，解集是R，所以△＜0．【解答】解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．故选D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．10.如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B﹣APQC的体积为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】组合几何体的面积、体积问题．【分析】把问题给理想化，认为三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1，P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点求出底面面积高，即可求出四棱锥B﹣APQC的体积．【解答】解：不妨设三棱柱是正三棱柱，设底面边长a和侧棱长h均为1

则V=SABC?h=?1?1??1=

认为P、Q分别为侧棱AA′，CC′上的中点

则VB﹣APQC=SAPQC?=

（其中表示的是三角形ABC边AC上的高）

所以VB﹣APQC=V故选B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知与圆相切，则=__________参考答案：-6或-16略12.在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么=__________.参考答案：13.在半径为2的圆内有一个边长为1的正方形，若向圆内随机投一点，则该点落在正方形内的概率为

．参考答案：14.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，如果从随机数表第8行第18列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的3袋牛奶的编号

▲

.（下面摘取了一随机数表的第7行至第9行）8442175331

5724550688

7704744767

2176335025

83921206766301637859

1695566719

9810507175

1286735807

44396258797321123429

7864560782

5242074438

1551001342

9966027954参考答案：719，050，717

15.与直线2x+y-1=0关于点（1,0）对称的直线的方程是

参考答案：2x+y－3=016.下列流程图是循环结构的是________．参考答案：③④17.已知椭圆的右焦点为F，上顶点为A，点P是该椭圆上的动点，当△PAF的周长最大时，△PAF的面积为__________．参考答案：(其中F1为左焦点)，当且仅当，F1，P三点共线时取等号，此时，所以．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设直线与双曲线交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点的轨迹方程．参考答案：略19.已知命题p：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据题意，可分别求得P真与Q真时m的范围，再根据复合命题间的关系分P真Q假与P假Q真两类讨论即可求得实数m的取值范围．【解答】解：若p真，则△=m2﹣4＞0，∴m＞2或m＜﹣2，若p假，则﹣2≤m≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若q真，则△=16（m﹣2）2﹣16＜0，∴1＜m＜3，若q假，则m≤1或m≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣．依题意知p、q一真一假．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣若p真q假，则m＜﹣2或m≥3；若q真p假，则1＜m≤2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（1，2]∪[3，+∞）．20.如图，设点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆C上任意一点，且最小值为0．（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l1，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）设P（x，y），可得向量坐标关于x、y的形式，从而得到，结合点P为椭圆C上的点，化简得，说明最小值为1﹣c2=0，从而解出a2=2且b2=1，得到椭圆C的方程．（2）当直线l1，l2斜率存在时，设它们的方程为y=kx+m与y=kx+n，与椭圆方程联解并利用根的判别式列式，化简得m2=1+2k2且n2=1+2k2，从而得到m=﹣n．再假设x轴上存在B（t，0），使点B到直线l1，l2的距离之积为1，由点到直线的距离公式列式，并化简去绝对值整理得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，再经讨论可得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）．最后检验当直线l1，l2斜率不存在时，（1，0）或（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积与等于1，从而得到存在点B（1，0）或B（﹣1，0），满足点B到l1，l2的距离之积恒为1．【解答】解：（1）设P（x，y），则有，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴∵点P在椭圆C上，可得，可得y2=x2，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）因此，最小值为1﹣c2=0，解之得c=1，可得a2=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴椭圆C的方程为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）①当直线l1，l2斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣把l1的方程代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4mkx+2m2﹣2=0∵直线l1与椭圆C相切，∴△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=0，化简得m2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）同理可得n2=1+2k2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）∴m2=n2，而若m=n则l1，l2重合，不合题意，因此m=﹣n﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）设在x轴上存在点B（t，0），点B到直线l1，l2的距离之积为1，则，即|k2t2﹣m2|=k2+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）把1+2k2=m2代入，并去绝对值整理，可得k2（t2﹣3）=2或k2（t2﹣1）=0，而前式显然不能恒成立；因而要使得后式对任意的k∈R恒成立必须t2﹣1=0，解之得t=±1，得B（1，0）或B（﹣1，0）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）②当直线l1，l2斜率不存在时，其方程为和，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）定点（﹣1，0）到直线l1，l2的距离之积为；定点（1，0）到直线l1，l2的距离之积为，也符合题意．综上所述，满足题意的定点B为（﹣1，0）或（1，0）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题给出椭圆上一点P，在最小值为0的情况下求椭圆的方程，并讨论x轴上存在定点B到l1，l2的距离之积恒为1的问题，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、点到直线的距离公式、向量数量积运算和直线与圆锥曲线的位置关系等知识点，属于中档题．21.袋中装有4个白棋子、3个黑棋子，从袋中随机地取棋子，设取到一个白棋子得2分，取到一个黑棋子得1分，从袋中任取4个棋子.

（1）求得分X的分布列；

（2）求得分大于6的概率.参考答案：(1)X的取值为5、6、7、8.

，，，.X的分布列为

（2）根据X的分布列，可得到得分大于6的概率为

略22.（本题满分12分）如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点． （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线交椭圆于A、B两点，若直线绕点F任意转动，恒有,求的取值范围．参考答案：解法一：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以,即1＝，解得 因此，椭圆方程为 （Ⅱ）设 （ⅰ）当直线AB与x轴重合时， （ⅱ）当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有，所以AOB恒为钝角． 即恒成立． 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立， 即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立． 当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0． a2<a2b2-b2,a2<（a2-1）b2=b4, 因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0, 解得a>或a<（舍去），即a>, 综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）．解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时， x=1代入=1． 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1, 解得a>或a<（舍去），即a>． （ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）． 设直线AB的方程为y=k（x-1）代入 得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+x22+