复数知识点与题型总结 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

复数：复数的概念、复数的几何意义、复数的四则运算、复数的坐标表示、复数的三角表示一、预备知识1.正弦定理：2.余弦定理：；；3.(为内切圆半径)4.边角互化注意事项（1）有余弦出现，则______________，没有余弦出现，则______________，前提：______________；（2）一个表达式一般只能处理____个角，如果出现三个角，则利用进行化简；（3）出现或这种形式，可利用__________公式进行化简；（4）出现这种形式，可利用__________公式进行化简；（5）出现，可化为_____________；（6）若，则_____________，若，则_____________；（7）若_____________；（8）要约分，需要先说明______________，要定角，需要先说明______________。5.利用三角函数的有界性求最值（1）若所求代数式可化简为的性质=1\*GB3①若可以取到和，则的最大值为________，最小值为________；=2\*GB3②若无法取到和，则需得到的边际范围，根据三角函数的性质得到最值（2）在中，已知和:=1\*GB3①若求的范围，可先求,从而=____________________=_______________________；=2\*GB3②若求的范围，可先求,从而=____________________=_______________________；（3）在中，已知和，求的范围：由正弦定理，化简可得=___________________=___________________=___________________；（4）角度范围：=1\*GB3①若已知，则、；=2\*GB3②若已知且为锐角三角形，则________________________________________________.=3\*GB3③若已知且为钝角三角形，则________________________________________________.6.利用基本不等式求最值（1），；（2），；（3）在中，若已知和，求或者的最值，需先利用_____________定理写出恒等式，再利用基本不等式；（4）使用基本不等式的步骤：=1\*GB3①_____________=2\*GB3②_____________=3\*GB3③_____________.7.角平分线定理：在中，是的角平分线，则_______________________8.中线定理：在中，是底边的中线，则_______________________

二、课前热身1．（2022春·广东广州·高一校联考期中）在中，若，，，则此三角形解的情况为（

）A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不能确定2．（2022春·广东广州·高一校联考期中）中，，则ABC的形状为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定3．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）在中，，则（

）A． B． C．6 D．54．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．直角三角形 D．不能确定5．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）在中，已知，，，角的平分线交边于，则______.6．（2022春·广东广州·高一校联考期中）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的角，，对边分别为，，而且______．（1）求；（2）求周长的最大值．

三、教学内容知识点一复数的概念与几何意义【基础知识框架】1.形如的数叫复数，其中为_________，、分别为复数的__________和__________；2.对于复数，当且仅当_________时为实数，当且仅当_________时为实数0，当_________时为虚数，当_________时为纯虚数；3.平面直角坐标系可用来表示复平面，轴称为_________，轴称为_________。实轴上的点都表示_________，除原点外虚轴上的点都表示_________；4.复数与复平面上的点_____________一一对应；5.复数与平面向量一一对应.的模称为复数的模或绝对值，记作________或________，即；6.对于复数，____________称为复数的共轭复数，记作________.【例题分析】例1．（2023·江苏·高一专题练习）若复数满足，则的虚部是（

）A．3 B．-3 C． D．例2．（2023·内蒙古包头·一模）设，其中a，b是实数，则（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考开学考试）已知复数是纯虚数，则___________.例4．（2022·高一课时练习·多选）已知为复数，则下列说法不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则

【变式训练】1．（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）设是虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则实数（

）A．5 B． C．3 D．2．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知复数（为虚数单位），若，则实数的值为______.3．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）已知为虚数单位，下列说法正确的是（

）A．若，则 B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数 D．复数的虚部是4．（2023春·全国·高一专题练习·多选）下列说法中正确的有（

）A．若，则是纯虚数B．若是纯虚数，则实数C．若，则为实数D．若，且，则

知识点二复数的四则运算【基础知识框架】1.对于复数，（1），；（2）==；（3）==；2.在复数范围内解二次方程对于二次方程，，；若，则，如.3.周期性：若，则；；；.4.几何意义：设,则满足的点的集合表示的图形【例题分析】1．（2023·甘肃定西·校考模拟预测）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南·高三荥阳市高级中学校联考阶段练习）已知复数，则的共轭复数为（

）A． B． C． D．3．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）若，则（

）A． B． C．3 D．4．（2023·贵州·校联考二模）若复数z满足，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高三专题练习）若复数是方程的一个根，则的虚部为（

）A．2 B． C． D．6．（2023·全国·高一专题练习）设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．若|z|＝1，则z＝±1或z＝±IB．若点Z的坐标为（－1，l），则z＋1是纯虚数C．若，则z的虚部为－2iD．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为【变式训练】1．（2023·四川泸州·统考二模）若，则的虚部是（

）A． B．1 C． D．i2．（2023·宁夏银川·银川二中校考模拟预测）若复数满足，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·模拟预测）已知复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C．1 D．4．（2022秋·湖南湘西·高二统考阶段练习）计算（

）A．2022 B． C． D．05．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）若复数是方程的一个根，则的虚部为（

）A．2 B． C． D．6．（2022春·江苏徐州·高一校考阶段练习）下列说法正确的有（

）A．任意两个复数都不能比大小B．若，则当且仅当时，C．若，且，则D．若复数z满足，则的最大值为3

知识点三复数的三角表示【基础知识框架】1.复数的三角表示一般地，任何一个复数都可以表示成的形式.其中，是复数的模;是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数之的辐角.叫做复数的三角表示式，简称三角形式.为了与三角形式区分开来，叫做复数的代数表示式，简称代数形式.（任何一个不为零的复数辐角有无数多个，且相差______的整数倍，我们规定在范围内的辐角的值为辐角的主值，记为）.2.复数乘、除的三角表示及其几何意义：对于复数，（1）；（2）；（3）几何意义：_________________________________________________.【例题分析】例1．（2023·全国·高一专题练习）以下不满足复数的三角形式的是（

）．A． B．C． D．例2．（2023·江苏·高一专题练习）复数化成三角形式，正确的是（

）A． B．C． D．例3．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（

）A．=0 B．为实数C． D．复数对应的点位于第三象限例4．（2023春·全国·高一专题练习）计算：．【变式训练】1．（2021·高二课时练习）复数－i的三角形式是（

）A． B． C． D．2．（2022春·江西南昌·高一校考期中）复数的三角形式是（

）A． B．C． D．3．（2023春·全国·高三校联考阶段练习）任何一个复数都可以表示成的形式，通常称之为复数的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．则（

）A．1 B． C． D．i4．（2023春·全国·高一专题练习）计算：(1)；(2).

日期：时间：30分钟分数：70分1．（2022春·广东广州·高一校联考期中）已知复数z满足，则z=（

）A． B． C． D．2．（2022春·广东广州·高一校联考期中）若复数对应的点是，则（

）A． B． C．-1 D．13．（2022春·广东广州·高一广东实验中学校考期中）若复数z满足z·|1＋i|＝2－4i，则复数z的共轭复数在复平面内的对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．（2022春·广东广州·高一广东实验中学校考期中）复数的辐角主值为（

）A． B． C． D．5．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中）已知复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．6．（2022春·广东广州·高一华南师大附中校考期中）复数满足，则等于（

）A． B．7 C． D．57．（2022春·广东广州·高一广州市育才中学校考期中）复数满足，为虚数单位，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．8．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z的共轭复数（

）A． B． C． D．9．（2022春·广东广州·高一校联考期中·多选）已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（

）A． B．复数的虚部为C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数10．（2022春·广东广州·高一广东实验中学校考期中·多选）设复数z在复平面上对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（

）A．满足|z|＝1，且的点Z有且仅有一个B．若|z－1|＝1，则z＝2或0或1＋i或1－iC．，则点Z构成的图形面积为D．非零复数，，对应的点分别为，，O为坐标原点，若，则为等腰直角三角形11．（2022春·广东广州·高一广州市培英中学校考期中·多选）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．若，则共轭复数 B．若复数，则C．若复数z为纯虚数，则 D．