知识资料函数

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页函数1.1基本概念、内容、定理、公式函数是高等数学研究的主要对象，它反映客观世界量与量之间的互相依赖关系，是学好高等数学的基础.1．函数的概念：2．函数的性质：（1）有界性：若对，都有，则称在集合上有界；否则称在集合上无界，即对，，使得成立.（2）单调性：若对于定义域上的随意两点，有（或）称郑重单调增强（或郑重单调减少）.又倘若有（或）称单调增强（或单调减少）.（3）奇偶性：若定义域在轴上关于原点对称，对，都有，称为偶函数；又对，都有，称为奇函数.（4）周期性：若，对，都有，则称为周期函数，且称具有上述性质的最小正数为函数的周期.3．复合函数：设函数与且，这时通过可表示为的函数，称为复合函数，记作，其中称为中间变量.4．反函数设函数，倘若对于有唯一决定的，使得，则决定是的函数称为的反函数，记作.具有郑重单调性的函数其反函数总是存在的.5．初等函数，由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成的由一个式子表示的函数称为初等函数.1.2例题选讲例1-1求下列函数的定义域：（1）已知定义域为.（2）已知定义域为.（3）已知.(4)，已知定义域为，表示不超过的最大整数。例1-2已知，求.进一步题目改为：已知，求.进一步设，求。例1-3设，求.解：将绝对值写成分段函数的形式：将题目进一步改为：设，且求.练习1：设函数在内有定义，在区间上，，若，其中是常数，（1）写出在上的表达式；（2）问为何值时，在处可导？练习2：（17届北京市数学比赛题）设且，求。分析：设，则，从而，由得故。例1-4设在上有定义，且，求证：为周期函数.普通地，，同样可以证实为周期函数.例1-5若函数（）的图形关于两条直线和对称（，则函数为周期函数.分析：由条件知：，，于是在和的中点处有：预测：.练习1：设函数在上是奇函数，且，对，（1）试用表示和；（2）问为何值时，是以2为周期的周期函数。练习2：倘若是上延续的周期函数，且，求。练习3：（08考研）设是周期为2的延续函数，（1）证实：对，都有；（2）证实：是周期为2的周期函数。例1-6试证：定义在对称区间内的任何函数都可以表示为偶函数与奇函数之和的形式，并且表示法是唯一的.例1-7证实函数在区间上单调增强，并由此证实不等式.例1-8设，且时满意（为常数，）证实为奇函数.进一步：设除与两点外，对全体实数存心义，且满意，求满意此条件的.例1-9证实若对任何实数，有且，则（1）；（2）.例1-10设在内有定义，且对于随意恒有，证实在内为常数.例1-11设函数在点的邻域内有界，且满意方程，其中，求.1.3练习题1-1设定义于，且存在正数和使对一切都成立，证实存在正数和以为周期的函数，使得.1-2设，且，试求与.1-3设，，且，求的表达式和定义域.1-4设、及是单调增函数，且，证实.1-5设满意，，求.1-6证实不是周期函数.1-7试证定义在同一个数集上且周期是可通约的两个周期函数的和与差也是周期函数，并求的周期.1-8设在上有定义，且在该区间上恒有，其中为正实数，试证：为周期函数.1-9设对，且，，证实：.1-10设在上有定义，且，若单调减少，证实：.1.4答案与提醒1-1设，.即，故.1-2，.1-3，.1-4由，得；又是单调增函数，，故.同理可证.1-5对等式（1）中分离用代替后得：，两边同乘以，得（2）同理，得（3）（）（1）+（2）+，得两边对求极限，得，即.1-6反证法：设是以为周期的函数，则对，.即.令，，即（1）.令，，即（2）.由（1）（2）得出矛盾！1-7证实：设和是定义在同一数集上，周期分离为和的两个周期函数.因为和是可通约的，即，于是有，其中互质.设，则===.故是一个周期为的周期函数且为和的最小公倍数.同理可证是一个周期为的周期函数且为和的最小公倍数.故的周期为.1-8因为==，注重到，即有.1-9先证，假设，使得，取，在条件中令，得，即