材料力学课件3（新）

三、扭转（Torsion）

1.扭转内力、扭矩图

扭转：直杆、承受垂直于杆轴线平面内的力偶

变形——横截面绕杆轴相对转动截面法：外力为平行平面的力偶系内力也是力偶M1M2MnmmM1M2Tmm

T作用面垂直于杆件扭转杆的内力——扭矩（torsionalmoment）符号：外法线方向——正；内法线方向——负表示扭矩沿杆截面位置的变化：扭矩方程

T=T(x)扭矩最大值|T|max扭矩图xTO2.扭转应力、强度条件切应力在截面上的变化（1）切应力与切应变、剪切虎克定律符号：随切应力而定

mxy平面内x、y方向的平均切应变点o处xy平面x、y方向的切应变(shearstrain)相应于切应力的变形oyxxoyΔyΔxzττ´Δz单元体上的切应力切应力互等定理剪切试验：在线弹性范围内，剪切虎克定律切变模量，反映材料抵抗弹性剪切变形的能力单位：Pa，GPa（2）扭转杆横截面上的应力扭转试验变形规律：轴线保持直线不变横截面绕轴线相对转、保持平面且垂直于轴线截取微段

x：切应变平面假设abcda´b´c´d´圆截面直杆bdΔxeTT+ΔTΔφd´

b

MeMe内部点e的切应变剪切虎克定律(线弹性)横截面上的切应力垂直于半径，沿半径线性分布，在同一圆周上大小相同横截面上点在切平面内的切应变沿半径线性变化，在同一圆周上大小相同切应力τoT共面旋转力系

的合力偶矩为扭矩TIp—极惯性矩，取决于截面尺寸，单位：m4危险截面、危险点外圆周上最大切应力扭转截面系数，单位：m3切应力圆截面：空心圆截面：薄壁圆环截面：思考：扭转圆杆横截面上无正应力与径向切应力

oρdρDoρdD例3-1圆轴，n=300r/min，功率P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作扭矩图。BCADM2M1M4M36.37扭矩图(kN•m)9.564.78解:截面法BC段：

CA段：AD段：扭矩图如上，，AC段中若交换轮A与D的位置，则最大扭矩将出现在AD段，=15.93kN•m，不合理。例3-2钻杆，P＝10kW，n＝180r/min，土深l＝40m，阻力为均布力偶。试求扭矩图。解:主动力偶阻力偶集度扭矩扭矩图如上土上表面处杆的扭矩最大mMel0.531kN•m扭矩图（3）扭转杆斜截面上的应力应力状态分析：取单元体斜截面

上的应力

、

xoyΔyΔxzττ´Δzoyxαττ'σααταnt极值应力：两对相互垂直面上只有切应力，且大小相等达到极值两对相互垂直面上只有正应力，且大小相等达到极值45ºττ'σmintσmax45º正应力最大的截面与切应力最大的截面成45

各截面上应力由横截面上的切应力

完全确定纯剪切应力状态思考：纯剪切应力状态与扭转杆的关系（4）强度条件圆截面直杆——各点处于纯剪切应力状态取决于

试验确定

u

——考虑安全性n得到许用切应力[

]强度计算的问题：校核

max[

]满足，否则不满足许用载荷

T

Wp

[

]强度条件截面尺寸例3-3同例3-2，钻杆外径D＝60mm，内径d=50mm，G=80GPa，[τ]=40MPa。试校核强度。解:扭矩图如前上端最大扭矩外圆周上最大切应力满足强度条件。注意：截面、扭矩变化时，需分别进行强度计算合理截面，高Wp，空心——材料远离形心思考：P82-3-2,3,4,6练习：P84-习题3-1,12

3.扭转变形、刚度条件、应变能（1）扭转杆的变形圆截面直杆，横截面上点在切平面内的切应变圆杆扭转变形——横截面相对转动单位长度扭转角(angleoftwist)两端截面的相对扭转角G、Ip、T为常数时，G、Ip、T分段为常数时，GIp

——扭转刚度思考：扭转杆的体积变化

（2）刚度条件保证扭转杆的正常工作——限制变形[

t]—许可单位长度扭转角，单位：

刚度计算的问题：校核、选择截面尺寸、确定许用荷载安全有效——同时考虑强度+刚度思考：一般情况下刚度条件比强度条件更严格刚度条件例3-4同例3-2，试求最大单位长度扭转角，两端截面相对扭转角。解:扭矩图如前。上端面刚度校核选择截面许用荷载?例3-5等直圆杆，d=40mm，a=400mm，G=80GPa，

DB=1°。试求

max，

AD。0解:截面法→扭矩图如上。相对扭矩角解得Me=877N•mAMeBCDMeMeaa2aMeMe最大扭矩——DC段与BA段——危险截面最大切应力——外圆周上——危险点

相对扭转角：（3）扭转杆的应变能外力偶作功转化为应变能

V

=W单位体积的应变能——应变能密度单元体的应变能xoyΔyΔxzττ´Δzoτγ功扭转杆的应变能适用的应力条件：G、Ip、T为常数时，G、Ip、T分段为常数时，思考：比较杆扭转与拉压时的应变能及其表达式纯剪切应力状态，线弹性范围内例3-6同例3-2试求杆的应变能。解:扭矩方程T=-mx

思考：P83-3-5，8，9练习：P85-习题3-5，15，20应变能：

4.非圆截面杆的扭转非圆杆扭转变形的特征——横截面翘曲——平面假设不成立两种扭转：自由扭转；约束扭转自由扭转矩形截面hb

max

maxMeMe5.截面的几何性质（1）静矩与形心截面A对于y与z轴的静矩（firstmomentofarea）可正可负，单位：m3用形心的坐标表示轴过形心静矩为零ozycdAzyρ（2）极惯性矩、惯性矩、惯性积截面A对于点o的极惯性矩非负，单位：m4截面A对于y与z轴的惯性矩(secondmomentofarea)惯性矩与极惯性矩的关系截面A对于y与z轴的惯性积可正可负，y轴或z轴过形心惯性半径常用截面的几何性质附录Ⅱ（3）平行移轴公式、组合截面法坐标关系惯性矩惯性积注意：形心坐标a与b可正可负ozycdAzyρycyczczc组合截面法：截面A分割成n个子截面Ai之和惯性矩静矩（4）转轴公式、主惯性矩坐标关系惯性矩惯性积和的不变性ozyz1dAzyz1y1y1α极值主惯性轴y0与z0主惯性矩最大最小形心主惯性轴——形心主惯性矩思考：正方形与正三角形对于形心轴的静矩与惯性矩例I-1计算图示截面的形心主惯性矩。分析:(1)确定形心基本坐标Oyz，组合法

形心oyz1zczcy1a1b1b2a2yc

0(2)形心轴惯性矩(积)形心轴Cyczc组合法平行移轴(3)确定主惯性矩轴形心主惯性轴Cy1z1(存在对称性，