福建省平潭县新世纪学校2023-2024学年高二下学期适应性练习（一）（3月）数学试题

平潭新世纪学校高二下适应性练习（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知某物体的运动方程是（的单位为），该物体在时的瞬时加速度是（

）A． B． C． D．2．已知倾斜角为的直线与曲线相切于点，则点的横坐标为（

）A． B． C． D．3．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．4．设函数在处存在导数为2，则（

）A．2 B．1 C． D．65．已知，则a，b，c大小关系为（

）A． B．C． D．6．若函数在处有极小值，则（）A． B． C．或 D．7．已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．8．已知函数在区间上单调递减，则实数的最大值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）A． B． C． D．10．下列求导运算正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则11．对于函数，下列说法正确的有（

）A．在处取得最小值 B．在处取得最大值C．有两个不同零点 D．三、填空题12．已知，则满足的实数的取值范围是．13．已知函数在上存在极值点，则正整数的值是14．已知函数的最小值为0，则.四、解答题15．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)当时，求函数的最大值．16．已知函数．(1)求的解析式；(2)讨论在上的零点个数．17．已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上单调递增，求的取值范围.18．某学校为创建高品质示范高中，准备对校园内某一墙角进行规划设计.如图所示，墙角线和互相垂直，墙角内有一景观，到墙角线、的距离分别为20米、10米，学校欲过景观修建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上.(1)为了使三角形花园的面积最小，应如何设计直线型走廊？(2)考虑到修建直线型走廊的成本，怎样设计，才能使走廊的长度最短？19．己知函数．(1)设函数，若函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；(2)若函数有两个极值点，且，求的取值范围．参考答案：1．C【分析】由题意依次求导代入即可得解.【详解】由题意，，所以.故选：C.2．C【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.【详解】设点的横坐标为为，，由题意可得，解得（舍去），即点的横坐标为.故选：C.3．B【分析】利用导数求得平行于直线与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由函数，可得，令，可得，因为，可得，则，即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.故选：B.4．B【分析】由导数的概念求解.【详解】由已知有，则.故选：B5．D【分析】根据式子结构，构造函数，利用导数判断出的单调性，进而得到a，b，c的大小关系.【详解】根据式子结构，构造函数，则，令，则，令，得，因此在单调递增，在单调递减，而，，，因为，所以，即.故选：D6．A【分析】求得，由，求得或，分别求得函数的单调区间，结合函数极值点的定义，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数在处取得极小值，可得，解得或，当时，令，解得或；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极大值，不符合题意，舍去；当时，令，可得或；令，可得，函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，所以在处有极小值，符合题意，综上可得，.故选：A.7．B【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围.【详解】∵，∴，设切点为，则，切线斜率，∴切线方程为，∵切线过原点，∴，整理得：∵存在过坐标原点的切线，∴，解得或，∴实数的取值范围是.故选：B.8．C【分析】依题意，在区间上恒成立，分离参数可得实数a的最大值.【详解】由题意，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即，令，则，又，所以，所以在为减函数，所以，所以，即实数a的最大值是.故选：C9．AD【分析】A选项，根据函数奇偶性得到为偶函数，且在单调递增，A正确；B不满足奇偶性，C不满足单调性；D选项，满足为偶函数，且求导得到函数在上单调递增，得到答案.【详解】A选项，定义域为，且，故为偶函数，且时，单调递增，故A正确；B选项，的定义域为，故不是偶函数，故B项错误；C选项，时，单调递减，故C项错误；D选项，的定义域为R，且，故是偶函数，且时，，函数单调递增，故D项正确.故选：AD10．CD【分析】利用导数公式及运算法则，求解即可.【详解】对于选项A:,,故选项A错误；对于选项B:,,故选项B错误；对于选项C:,,故选项C正确；对于选项D:,,故选项D正确；故选：CD.11．BD【分析】利用单调性求最值判断A,B，求零点判断C，先转换到同一单调区间内，在比大小判断D即可.【详解】定义域为，易得，令，,令，，故在单调递增，在单调递减，则的最大值为，故A错误，B正确，令，解得，可得只有一个零点，故C错误，易知，且结合单调性知，即成立，故D正确.故选：BD12．【分析】分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，该函数的定义域为，，故函数为奇函数，因为对任意的恒成立，所以，函数在上为减函数，由可得，所以，，解得，即实数的取值范围是.故答案为：.13．5【分析】利用导数可得导函数为0时或，则得到的范围.【详解】，时，或，因为函数定义域为，则在左端点处无法取到极值，，故对于正整数取5，经检验满足题意，故答案为：5.14．【分析】求导，分类讨论函数的单调性即可求解最值.【详解】因为，所以.若，则在上单调递减，无最小值.若，则在上单调递减，在上单调递增，所以，解得.故答案为：15．(1)在上为增函数；在上为减函数；(2)【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．【详解】（1）的定义域为，当时，，，当，解得：，当，解得：．在上为增函数；在上为减函数；（2）的定义域为，，当时，令，得，令时，得，的递增区间为，递减区间为．.16．(1)(2)2【分析】（1）对函数求导后令可得，即可求得；（2）根据函数解析式对自变量进行分类讨论，易知是其中一个零点，再通过构造函数利用零点存在定理即可得出在上有2个零点．【详解】（1）（1）．令可得，解得．所以．（2）由（1）中可得，①当时，有，，所以恒成立，所以在上单调递减，，即可得0是的一个零点．②当时，设，则恒成立，即在上单调递增．又，，根据零点存在定理可知，使得．当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增．又，所以．因为，根据零点存在定理可知，使得．综上所述，在上的零点个数为2．【点睛】方法点睛：求解零点个数问题时要充分利用函数特征，由导函数判断出其单调性并结合零点存在定理即可得出零点个数.17．(1)(2)【分析】（1）将代入并求导，利用导数的几何意义即可求的切线方程；（2）由在上单调递增可得，利用参变分离构造函数即可求得，解得的取值范围是.【详解】（1）当时，，，易知，所以在点处的切线方程为，即.（2）令，因为在上单调递增，则，即在上恒成立，也即在上恒成立，令，则，显然在上恒成立，所以可知在上单调递减，；因此只需满足即可，解得.综上，的取值范围为.18．(1)，，此时(2)，，此时最短.【分析】（1）首先表示直线方程，并求点的坐标，并表示三角形的面积，结合基本不等式，即可求解；（2）根据（1）的结果表示，同时构造函数，并利用导数判断函数的单调性，并求函数的最值.【详解】（1）如图，以，所在直线为轴和轴建立平面直线坐标系，

并由条件可知，点，设直线的方程，当时，，当时，，即，，,当时，即时，等号成立，所以面积的最大值为平方米；此时直线的方程为，即，，此时（2）由（1）可知，，，设，，，，令，则，当时，，函数在区间单调递减，当时，，函数在区间单调递增，所以当时，函数取得最小值，所以当，，此时最短.19．(1)(2)【分析】（1）求导，分类讨论，求出的单调区间即可求解；（2）求出，分两种情况讨论的范围，解不等式可得函数的减区间，根据函数的单调性可得函数的极值；化简得，设新函数，由单调性可求的值域，从而可得结果．【详解】（1），，当时，恒成立，在上单调递增，当时，,在上单调递增，，在,上单调递减，又在区