2023-2024学年湖北省孝感市数学高二年级上册期末考试试题含解析

2023-2024学年湖北省孝感市数学高二上期末考试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.如果命题为真命题，。人q为假命题，那么（）

A.命题〃，q都是真命题B.命题q都是假命题

C.命题P,q至少有一个是真命题D.命题P,q只有一个是真命题

2.已知双曲线C的离心率为6,片，工是C的两个焦点，尸为C上一点，|P用=3w6|,若鸟的面积为4夜，

则双曲线C的实轴长为（）

A.lB.2

C.4D.6

3.由伦敦著名建筑事务所&冲"5优山。设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术

22

品，若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线会-1r=1（。＞0力〉0）下支的一部分，离心率为2,则

该双曲线的渐近线方程为（）

C.y=±xD.y=±2x

2

4.若1,m,9三个数成等比数列，则圆锥曲线x2+上=1的离心率是。

m

A.巫或屈02亚卡、

B.二—或2

33

C.亚或厢D.逅或2

3

2

5.已知函数/(乃=亍-若数列｛4｝的前”项和为S“，且满足S"=/(a〃+J,a2=an,则%的最大值为()

A.9B.12

63

C.20D.—

4

22

6.已知椭圆C:=+鼻=1(。〉6〉0)的右焦点为尸，短轴的一个端点为P，直线/:J3x-y=0与椭圆相交于A、3两

ab

点.若14^+15^1=4,点尸到直线/的距离不小于|,则椭圆C离心率的取值范围为()

A-H]B-H

7.命题：“Vx>0,都有x2—x+lWO”的否定是()

A.3x>0,使得好一x+lSOB.3x>0,使得丫2—*+1>0

C.Vx>0,都有/一万+1>0D.Vx<0,都有x2—x+l>0

8.已知命题P：抛物线y=4/的焦点坐标为(1,0)；命题q：等轴双曲线的离心率为则下列命题是真命题的是

()

A.P人4B.(^?)A(-,^)

C.pv(->q)D.(rp)/\q

9.某同学为了调查支付宝中的75名好友的蚂蚁森林种树情况，对75名好友进行编号，分别为1,2,75,采用

系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本，已知11号，26号，56号，71号好友在样本中，则样本中还有一名好友的

编号是()

A.40B.41

C.42D.39

10.若C：=c：,贝！I"的值为()

A.7B.8

C.9D.10

11.已知随机变量，服从正态分布N（l,b2）,且?（，＜2）=0.6,则P（O＜二＜1）=（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

12.设点A（l,-1,0）关于坐标原点的对称点是3,贝！等于（）

A.4B,2^

C.2V2D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图，抛物线y=五上的点与x轴上的点构成等边三角形。耳0,。曲。2,…。1匕2,•■■其中点匕在抛物线上,

点。”的坐标为区，0）,猜测数列｛X„）的通项公式为

14.在（l+x+y）4的展开式中，含Vy项的系数为（结果用数值表示）

15.已知抛物线C：y2=2〃x过点p（i,1）：

3

①点P到抛物线焦点的距离为不

②过点P作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q,则△。尸。的面积为点

③过点尸与抛物线相切的直线方程为x-2j+l=0

④过点尸作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于M,N两点，则直线MN的斜率为定值

其中正确的是.

16.直线y-2=。与直线＞=无-1的夹角大小等于

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）证明：、旧是无理数.（我们知道任意一个有理数都可以写成形如（加，"互质,mGz,nez）的形式）

n

18.（12分）已知/（x）=（xT）e*+加，iieR

（1）当a=—1时，求函数/（%）的单调递减区间;

(2)当尤21时，/(x)-a>0,求实数。的取值范围

19.(12分)在正方体ABC。—44G〃中，M,N,E分别是A3,DD1,A41的中点.

(1)证明：平面"NE〃平面BCR；

(2)求直线MN与2C所成角的正切值.

20.(12分)已知数列｛4｝是公差为2的等差数列，它的前“项和为S”且%,%，%成等比数列.

(1)求｛&｝的通项公式；

’4

(2)求数列-----的前n项和Tn.

21.(12分)已知函数/(%)=三+0?+桁+1,记/⑴的导数为了(X).若曲线/⑴在点(1,/⑴)处的切线

斜率为-3,且x=2时y=/(x)有极值，

(I)求函数/(x)的解析式；

(II)求函数/(x)在［-1,1］上的最大值和最小值

22

22.(10分)(1)已知等轴双曲线为-白=1(。〉0,。〉0)的上顶点到一条渐近线的距离为1,求此双曲线的方程；

(2)已知抛物线V=4x的焦点为设过焦点R且倾斜角为45。的直线1交抛物线于A,3两点，求线段A3的长

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由命题"vq为真命题,可判断二者至少有一个为真命题，由〃入4为假命题，可判断二者至少有一个为假命题,

由此可得答案.

【详解】命题2V4为真命题，说明二者至少有一个为真命题，

。入4为假命题,说明二者至少有一个为假命题，

综合上述，可知命题P,q只有一个是真命题，

故选：D

2、C

【解析】由已知条件可得耳|=3a,|P闾=。，闺同=2氐，再由余弦定理得cosN耳P耳=-g,进而求其正弦

值，最后利用三角形面积公式列方程求参数”，即可知双曲线C的实轴长.

【详解】由题意知，点P在右支上，则尸闾=2a,又|P盟=3|P闾，

/.\PF11=,|PF21=,又e=9=A/3,

.,.寓M|=2c=26a,则在鸟中，cosNEPq=^£+♦二126r

2-3a-a3

...sin"附=¥，故S4PF©•手=WL解得a=2,

.•.实轴长为2a=4,

故选：C.

3、B

b

【解析】求出一的值，可得出双曲线的渐近线方程.

a

22_______

【详解】由已知可得2

aa

因此，该双曲线的渐近线方程为y=±Ex=±*x=±1fx.

故选:B.

4、D

【解析】运用等比数列的性质可得加，再讨论m=3,相=-3,求出曲线的。，c,由离心率公式计算即可得到

【详解】三个数1,m,9成等比数列,

则m2=9，解得，加=±3,

当加=3时，曲线必+工=1为椭圆,

3

2

当m=-3时，曲线为必—匕=1为双曲线，

3

则离心率e=2

故选：D

5、C

2

【解析】先得到会-年及递推公式(4+1+4)(4用—4—2)=0,要想%最大，则分两种情况，的负数且最

小或的为正数且最大，进而求出最大值.

【详解】①，当〃=1时，6=苧一［,当“22时，S“_i=%—；4②,所以①一②得：

a

n=；4+1—；4+1一；片+；%，整理得：(%+1+«„)(«„+1-2)=0,所以an+l=-an,或an+l-an=2,

当外，•，囚0是公差为2的等差数列，且时，见最小，为最大，此时为)=g+8><2=-41=-出，所以

(“2L=—8，此时％=20；

当q=-%且生，•吗1是公差为2的等差数列时，%最大，片最大，此时%=%+8乂2=-。2+16=出，所以

(02)max=8，此时4=12

综上：力的最大值为20

故选：c

【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.

6、D

【解析】设椭圆的左焦点为由题可得|4耳+忸尸|=忸尸|+忸尸|=2。=4,由点P到直线/的距离不小于《可得

!<Z^<2,进而可求c的范围，即可得出离心率范围.

【详解】设椭圆的左焦点为尸'，尸为短轴的上端点，连接Ab',BF',

如图所示：由椭圆的对称性可知，A,8关于原点对称，则0A=03,又OF=OF,

二四边形A/W为平行四边形，二AF=5尸，

又|AF|+忸同=忸尸|+忸/[=2a=4,解得：a=2,

点尸到直线/距离：J=HI>2,解得：_<b<2,即戛J"c2<2,

2555

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是由椭圆定义得出a=2,再根据已知条件得出g〈b<2.

7、B

【解析】全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】“V”。,都有x2—x+lWO”的否定是a3x>0,使得x2—x+l>0”.

故选:B

8、D

【解析】求出必=!丫的焦点坐标，及等轴双曲线的离心率，判断出。为假命题，g为真命题，进而判断出答案.

【详解】抛物线必=’>的焦点坐标为I。,4],故命题P为假命题；命题处等轴双曲线中，a=b,所以离心率为

4I16；

亚,故命题0为真命题，所以（「。）入4为真命题，其他选项均为假命题.

故选：D

9、B

【解析】根据系统抽样等距性即可确定结果.

【详解】根据系统抽样等距性得：11号，26号，56号，71号以及还有一名好友的编号应该按大小排列后成等差数列,

Q26—11=15,56—26=30,71—56=15.•.样本中还有一名好友的编号为26号与56号的等差中项，即41号,

故选：B

【点睛】本题考查系统抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.

10、D

【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答

【详解】因为C：=c:,则由组合数性质有3+7=〃，即”=10,

所以n的值为10.

故选：D

11、A

【解析】利用正态分布的对称性和概率的性质即可

【详解】由？〜且尸(？<2)=0.6

则有：P(l<,<2)=0.6—0.5=01

根据正态分布的对称性可知：P(0<?<1)=尸(1<?<2)=0.1

故选：A

12、A

【解析】求出点A(L-关于坐标原点的对称点是5,再利用两点之间的距离即可求得结果.

【详解】点A(l,-1,拒)关于坐标原点的对称点是B(-1』,-④)

\AB\=^[1-(-1)]2+[(-1)-1]2+[V2-(-V2)]2=,2+22+(2夜4=4

故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

【解析】求出片鸟[*孚|巴卜，君)，IOQI=|，1221=3，Iae3l=r可猜测|07。“|=与，利用

累加法，即可求解

【详解】0片的方程为了=氐，代入抛物线y=可得德T，10^1=1

同理可得29手，舄(3,6),19^1=1，IQ2Q3I=J,

可猜测IQiQ“l=丁，

证明：记三角形的边长为明,

由题意可知，当2时，P〃4+。2++。〃.1在抛物线y=4上,

31

可得工52=4+4++an-\+5。〃，

31

当"N3时，W"3"q+"2++an-2+~an-\^

3311

两式相减得：=3%+2^

2

化简得：an-an_x=—,

则数列｛%｝是等差数列，%=4+(〃-l)xg=g,

IQn-lQnl=y，

2n

•二Xn~Xn-\-，

462n

xn-xl=-+-+-9

2八八、n(n+1)

Xn=§(1+2+...+〃)=———

故答案为：王=四黄

14、12

【解析】通过二次展开式就可以得到.

【详解】(1+x+y)4的展开式中含《(x+y)3

••.含/丁项的系数为C；C；=12

故答案为：12

15、②③④

【解析】由抛物线过P点可得抛物线的方程，求出焦点口的坐标及准线方程，由抛物线的性质可判断①；

求出直线PR的方程与抛物线联立切线Q的坐标，进而求出三角形OPQ的面积，判断②；

设直线方程为》-1=左(*-1),与产=%联立求得斜率，进而可得在P处的切线方程，从而判断③；

设直线的方程为抛物线联立求出”的坐标，同理求出N的坐标，进而求出直线"N的斜率，从而可判断④

【详解】解：由抛物线过点尸(1」)，所以12=2。？，所以2P=1,

所以抛物线的方程为：r=x；

可得抛物线的焦点P的坐标为：(：，0),准线方程为：x=--,

对于①，由抛物线的性质可得P到焦点的距离为d=i+!=3,故①错误；

44

1

对于②，可得直线PF的斜率[1-3,所以直线PR的方程为：x=-3y+-,

4-4

4

311

代入抛物线的方程可得：y2--y--=0,解得丁。=一7，

所以SAOPQ==gx；xi+；=或，故②正确；

对于③，依题意斜率存在，设直线方程为7-1=«(*—1),与炉=》联立，

得：ky2—y+l—k=0,

/=1-4左(1一4)=0,4左2—4左+1=0,解得左=g,

所以切线方程为x—2y+l=0,故③正确；

对于④，设直线VP的方程为：x=m(y-l)+l,

与抛物线联立可得/一〃°+m―1=0,所以环储=机—，

所以加=加一1,代入直线"P中可得4=加(加—2)+1=(m—I)?,即〃((m—1)2,m-Y),

直线NF的方程为：x=—m(y—1)+1,代入抛物线的方程V+my—m—1=0,可得，'=一加―1,

代入直线NF的方程可得.卬=根？+2m+1=(相+1)2,所以N((m+1)2,-m-1),

7(m-l)-(-m-l)1

所以L⑺+1)产.5为定值'故④正确

故答案为：②③④.

71

16、45##—

4

【解析】根据直线的倾斜角可得答案.

【详解】直线2=0是与x轴平行的直线，

直线y=x-1的斜率为1,即与X轴的夹角为45角，

故直线y-2=。与直线y=x-1的夹角大小等于45.

故答案为：45.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、详见解析

【解析】利用反证法，即可推得矛盾.

【详解】假设应有理数，则0=生，则苏=2",

n

机为整数，疗的尾数只能是0,1,4,5,6,9,n2的尾数只能是034,5,6,9,

则2疗的尾数是0,2,8,由*=2加2得，尾数为0,则/的尾数是o,而病的尾数为0或5,

rrj

这与一为最简分数，加，〃的最大公约数是1,相矛盾，

n

所以假设不正确，0是无理数.

18、(1)(0,ln2)

'e)

(2)--,+coI

【解析】(1)求出函数的导函数，再解导函数的不等式，即可求出函数的单调递减区间；

(2)依题意可得当尤21时(尤一1)[1+。(尤+1)]之0,当x=l时，显然成立，当尤>1时只需e*+a(%+l)20,参

变分离得到。之-工，令=-工，(x>l),利用导数说明函数的单调性，即可求出参数的取值范围；

x+lX+1

【小问1详解】

解：当a=—1时〃x)=(x—l)e'—/定义域为尺，

所以f\x)-xex—2x=x(e*-2),

令/''(x)=0,解得x=0或％=ln2,

令/<x)<0,解得0<x<ln2,

所以的单调递减区间为(0,In2)；

【小问2详解】

解：由/(x)-a»0,即(x-l)e*+ox2-a20,即+a(x+l)]20,

当％=1时显然成立，

当％>1时，只需e'+a(x+l)20,即。之―工，

X+1

/、e%/、7"、e*(x+l)—e%%ex

令"(x)=----(x>l)，贝!|/z(x)=z~7^~=~(~

x+1-(x+1)-(x+1)

所以M%)在(1,+8)上单调递减，

所以/z(x)<Mi)=-5，

所以。

2

故实数。的取值范围为一|■，+°0)

19、(1)证明见解析

(2)yj2

【解析】(1)分别证明BC〃平面ACVE,D[C〃平面MNE,最后利用面面平行的判定定理证明平面ACVE〃平面

BCD1即可;

(2)由加石〃RC得N£MN即为直线与2c所成角，在直角△肱VE即可求解.

【小问1详解】

,/BC〃EN且ENu平面MNE平面MNE,

."C〃平面MNE,

又；D]C//EM且EMU平面MNE,D〔C4平面MNE,

DXC〃平面MNE

又；DCBC=C,平面ACVE〃平面BC。,

【小问2详解】

由(1)得ME〃De,

：.NEMN为直线MN与所成的角，

设正方体的棱长为a,

在Rt^MEN中，EN=a,EM=

EN=—^=拒

:.tanNEMN=——^

EM-a

2

n

20、(1)a=2n+2,(2)T=

nn2(〃+2)

【解析】(1)由题意可得4=q+2(〃-1),从而可求出%,进而可求得｛4｝的通项公式;

44111

(2)由(1)可得---(-2-〃+23+1)+2］=正gTETM'然后利用裂项相消求和法可求得结

44+1

果

【详解】(1)因为数列｛q｝是公差为2的等差数列，且%,%，%成等比数列，

所以«3=aiai即(勾+4)~=%(4+12),解得％=4,

所以a”=2〃+2

,4_4_1_1_____1_

⑵由(1)得什］(2〃+2)(2〃+4)++n+1n+