广东省揭阳市普宁国贤学校2024届高三年级上册开学考试数学试题（解析版）

数学试卷

一、单选题

M=lx∣x2-2x-3<θlN=∣Λ∣lg(x-2)<1).ʌr

1.已知集合ɪ1>,'ʃ,则MDN=()

A.{x∣2<x<12}B.∣Λ∣-1<X<12∣

C.{Λ∣-12<Λ<1}D.0

【答案】B

【解析】

【分析】解出集合M、N,利用并集的定义可求得集合MDN.

【详解】因为M={x∣χ2-2χ-3<θ}={H-l<x<3},

N={x∣lg(Λ-2)<l}={Λ∣O<X-2<10}={X∣2<Λ<12},

因此，M‹JN-{x∣-l<ɪ<12∣.

故选：B.

2.已知复数Z=」±L,则复数Z的共规复数W=()

31-1

12.12.

A.--------1B.-----1—1C.

5555

【答案】D

【解析】

【分析】利用复数的除法求出z,再由共辗复数的定义求得相

1+i(l+i)(3i+l)-2+4i12.-12

【详解】Z=.=M‰4=F=M一不，则Z=M+7∙

故选：D

7

3.已知CoSA+sinA=——,A为第四象限角，则tanA等于()

【答案】C

【解析】

【分析】通过(CoSA±51114)-=1±28&451114来实现知8$4+5⅛14求85/1'11/1,进而可COSA,sinA.

则tanA可求.

7

【详解】cosA÷SinA=------

13

(7Y120

，1+2COSASinA=-----可得2sinAcosA=-77^，

(13J169

2289

∙,∙(CoSA-SinA)"=1—2sinAcosA=-----.

v)169

,,17

•∙cosA-sιnAF=±——.

13

17

又A为第四象限角，「.CosA-SinA=—

13

7

又COSA+SinA=——

13

512

所以CoSA=—,SinA=——.

1313

12

所以tanA=-----.

5

答案：C.

4.草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力.草莓味甘、性凉，有

润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱.根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等

级，其等级X(X=I,2,3,4)与其对应等级的市场销售单价＞(单位：元/千克)近似满足函数关系式

y=em+h,若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克,

则3级草莓的市场销售单价最接近(参考数据：蚯=1.26，√4≈1,59)()

A.30.24元/千克B.31.75元/千克

C.38.16元/千克D.42.64元/千克

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由指数的运算性质，代入计算，即可得到结果.

4.+/?

3

【详解】由题意可知，^r=e0=1+1，解得e"=次，由e"+&=20.

可得e3β+fe=efl+z,∙e20=ea+b∙(en)2=20×(√2)2≈20×1.262≈31.75.

故选:B.

5.平面向量〃与。的夹角为60",2=(2,0),闻=1,则卜+2同等于()

A.√3B.2√3C.4D.12

【答案】B

【解析】

【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.

【详解】因为G=(2,0),所以∣αI=2,

,+2可=J(α+)=JlaF+44∙H+41〃)=-j4+4×2×l×cos60+4=2百.

故选：B

6.已知(ax—2)(x+l)4的展开式中/的系数为一2,则实数a=()

A.2B.-1C.1D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】根据('+I)"的展开式的通项公式求出Y的系数和Y的系数，再结合题意列式可求出α.

【详解】(x+1)4的展开式中/的系数为Cj=6,/的系数为C；=4,

所以(0x—2)(X+I)4的展开式中X3的系数为6α—2X4=6g—8,

依题意得6cz—8=—2,得α=1.

故选：C

7.已知α=e='ln,2.8,c=SirlL则C的大小关系是（）

24

A.b>a>cB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

【答案】A

【解析】

【分析】使用对数恒等式和对数运算对词进行化简放缩比大小，找到中间值~结合三角不等式

sinx<%<tan%<X<ɪπJ,判断C与;的大小.

2

【详解】=X得Q=e吗=ɪ,再由对数运算log/"="log/可得b=gln√∑8=ɪln2.8>ɪ.

当工∈(θ,］］时，令/(x)=SinA-%,则广(X)=CoSvθ,

所以〃x)=SinL尤在［0,5)递减，则/(x)</(0)=0.

所以sim<x,c=sin—<一，故b>α>c.

44

故选：A

22

vV

8.已知双曲线C∖2Γ-W=1(Q>0∕>0),0为坐标原点，耳，K为双曲线C的两个焦点，点尸为双曲线

ah

上一点，若IP用=3归段,|0尸|=。，则双曲线。的方程可以为()

222

A.21-√.1B.匕一工=1

424

2222

C.匕-二=1D.匕-工=1

34164

【答案】B

【解析】

abb2

――,再根据点P在双曲线上求双曲线方程.

CC

【详解】设K为双曲线的下焦点，居为双曲线»的上焦点，

如图所示，过点尸作PHL于点H.

因为IP周=3IP闾,I尸制TPH=幼,所以IP闾=α,

因为IPol=Ho周=c,

所以仍居「+|POI2=/+/=。2=[0闾2,所以？OPK9(),

故JoPI∙∣p闾=；|。闾∙∣HP∣,得∣"P∣=?.

因为∣“O∣2+∣"P∣2=∣op∣2,所以Wa=生,

将PEYf代入双曲线.X2

=1中，

42422

⅛-β¼-2β=θX-^--2=O,∣b^--2Y⅞b+Xθ,

aa'IaaΛaJ

h2b2

解得勺=2或%=-1(舍去)，故B项正确.

a^a~

故选：B.

二、多选题

9.下列说法中，正确的命题有()

A.A知随机变量自服从正态分布N(2,A)，P("4)=0.84,则P(2<J<4)=0.34

B.以模型y=cT'去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设Z=Iny,求得线性回归方程为

z=0.3x+4,则c，%的值分别是/和0.3

C.若事件A与事件B互斥，则事件A与事件8独立

D.若样本数据%,乙，,x∣o的方差为2，则数据2玉一1,2工2-1,∙,2x∣OT的方差为16

【答案】AB

【解析】

【分析】由正态分布可判断选项A,由计算可判断选项B,根据互斥事件和独立事件的概念可以判断选项

C,由方差的计算公式可以判断选项D.

处包0.34

【详解】P(O<J<4)=2P(J<4)-I=O.68,P(2<J<4)=

2

故A正确;

设Z=Iny,求得线性回归方程为)=o.3χ+4,则Iny=O.3x+4=y=/⑶+,=∙e°M,故CM的值

分别是e4和0.3,故B正确；

若事件A与事件B互斥，则事件4与事件8不独立，故C错误；

若样本数据玉,工2，，XK)方差为2,则数据,2%-1的方差为8,故D错误.

故选：AB.

10.已知数列｛0,,｝的首项为4,且满足2(〃+1)4=〃《+](〃∈N*),则()

A.，为等差数列B.｛4｝为递增数列

C.｛叫的前〃项和S.=(〃-1)2"+2+4D.[券｝的前"项和7；=穹W

【答案】BCD

【解析】

【分析】由2(〃+1)4一〃4+1=0得4也=2*%，所以可知数列[巴4是等比数列，从而可求出

«+1n[n)

n+

an=n-2',可得数列｛0,,｝为递增数列，利用错位相减法可求得｛0,,｝的前〃项和，由于

-¾-=生莽=n,从而利用等差数列的求和公式可求出数列｛黑｝的前"项和.

2〃2"12J

【详解】由2(〃+1)。“一叫用=0得也=2x%,

π+1n

所以IAL｝是以:=q=4为首项，2为公比的等比数列，故A错误；

因为组=4x2"T=2"∣,所以α,,="∙2"+∣,显然递增，故B正确；

n

23n+34n+2

g∣^jSn=l×2+2×2++n∙2',2S,,=l×2+2×2++n∙2,

n+lΠ+2

所以一S“=1X2?+2'++2-n-2=2-(T)_小γ,+2,

1-2

故S“=(〃-1)X2"+2+4,故C正确；

因为&=巴羿=〃，所以r]的前〃项和Z=型土包=E±2,

2,,+l2π+'[2n+'Jn22

故D正确.

故选：BCD

【点晴】本题是等差数列、等比数列的综合应用题，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等

差数列前八项和等，需要很强的数学运算能力以及对概念的熟悉运用能力.

11.已知函数/(x)=bi∏X+∣cosΛI-Sin2x-l,则下列说法正确的是()

A./(元)是以兀为周期的函数

B.直线χ=∙∣是曲线y=∕(χ)的对称轴

C.函数/(x)的最大值为0,最小值为血-2

2023

D.若函数/(x)在区间(O,MTr)上恰有2023个零点，则U"<M<1012

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据周期函数定义判断A即可；根据函数对称轴定义判断B即可；由A知.f(χ)是以π为周期的函

数，所以根据求解/(X)在区间［0,兀］上的最大值即可判断选项C,利用/(x)在区间［0,兀］上的零点个数即

可判断选项D.

【详解】对于A,因为/(X+兀)=/(X),

所以Ax)是以兀为周期的函数，故A正确；

对于B,W∕(π-x)=∣sinx∣+∣cosx∣+sin2x-l≠f(x),故B错误；

对于C,由A知只需考虑/(x)在区间［(),兀］上的最大值，

当x∈0,—时，令f=sinx+cosx=V∑sin∣x+巴I,

L2jI4J

贝IkG(X)=-2SinXCOSX-Sin%-cos2x+f=-/+t=u(t),

易知"(f)在区间口,&］上单调递减，

所以/(%)的最大值为H(I)=0，最小值为Ue)=亚-2；

当XWlE,π时，令f=sinx—CoSX=J∑sin∣x一巴I,

(2」I4；

则fe［l,√∑］"Q)=d+/-2=凶)，

易知v(f)在区间［1,&］上单调递增，

所以/(X)的最大值为v(√2)=√2,最小值为V(I)=O,

综合可知：函数/(x)的最大值为、历，最小值为、反一2,故C正确;

对于D,因为/(x)是以兀为周期的函数，

可以先研究函数/(x)在区间(0,兀］上的零点个数，易知/(兀)=0，

当x∈0,］时，令/0)=〃«)=-产+，=0,解得f=o或1,

兀π(π3π

因为元+;∈—

44144

则/=J∑sinX+-=0在区间上无解,

I4

∕u=J∑sin(x+:J=I在区间(θ,^∙上仅有一解X=I,

当x∈［,兀时，令/。)=双6=/+，-2=0,解得，=一2或1,

π

因为X—二∈

4

则1=夜5布(工一；)=一2在区间(5，兀)上无解，

r=J∑sin(x-()=1在区间(］∙,7τ匕也无解，

Tr

综合可知：函数/(χ)在区间(0,兀］上有两个零点，分别为χ=5和X=兀,

又因为/(x)是以兀为周期的函数，

所以若〃eN*，则/(X)在区间(0,nπ］上恰有2〃个零点,

又已知函数/(x)在区间(0,Mn)上恰有2023个零点,

2023

所以——<M≤1012,故D正确.

2

故选：ACD

【点睛】关键点睛：本题主要考查命题的真假判断，利用三角函数的图像和性质，进行分类讨论是解决本

题的关键，属于中档题.

12.如图，在棱长为2的正方体ABCo-AB£A中，点M，N分别在线段AQ和4G上.给出下列四

个结论：其中所有正确结论的序号是()

A.MN的最小值为2

4

B.四面体NMBC的体积为一

3

C.有且仅有一条直线MN与垂直

D.存在点M,N,使AWBN为等边三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】由公垂线的性质判断A；由线面平行的性质判断B；举反例判断C；设OM=04

(0≤2≤2),GN=Mo≤f≤2),由等边三角形三边相等，判断D.

【详解】对于A：

因为ABCo-ASGR是正方体，

所以CR1平面ADD1A1,CQl_L平面BCC,

又因为ADt⊂平面ADDtA],BGU平面BCC1B1,

所以C1P1±ADl,C1D1±B1C1,即C1D1是AD1与S1C1的公垂线段，

因为公垂线段是异面直线上两点间的最短距离，

所以当M,N分别与A，C重合时，MN最短为2,故A正确；

对于B：

因为ABCD-AAGR是正方体，

所以平面ADD1A〃平面BCCtBt,且AAU平面ADD,A1,

所以A0∣平面NBC,

可知，当点M在AA上运动时，点M到平面M5C的距离不变，距离〃=2,

由B£〃BC可知，当点N在与G上运动时，N到BC的距离不变，

所以一NBC的面积不变，

1114

所以VW-N8C=§SNBC^=3X5X2X2X2=§，所以B正确；

对于C：

当M,N分别与口,G重合时，MNLADI；

当"为AA中点，N与用重合时，MN工AD∣,所以C错误;

对于D：如图以点。为原点，以。A。。,。A所在直线为％,y,z轴建立空间直角坐标系,

设〃M=√^l(0≤4≤2),GN=/(0<f≤2),

则M(4,0,2—4),N(t,2,2),B,(2,2,2),B(2,2,0),

Mfi2=(2-Λ)2+4+(2-Λ)2,

8解=4+(2τ>,

MN2=(λ-t)2+4+λ2,

因为AWBN为等边三角形,

由MB2=MN'

42-4

得(2—/1)2+4+(2-/1)2=(χτy+4+yl2,得8—8/1=—2加，即r=-----,

由BN?=MB?,得4+(2—=(2-2)2+4+(2-A)2，

则2F=2(2-A)2,即(4-2)2(2-%)=o,解得X=夜或;1=2,

λ—y/2Λ=2

即《或V故D正确;

r=4-2√2t=2

故选：ABD.

三、填空题

13.函数/(X)=卜，WJ/(/(-2))=___.

[log2x,X〉0

【答案】2

【解析】

【分析】由解析式先求/(一2),再求/(/(一2))即得.

【详解】因为/(一2)=(-2)2=4,所以/(/(—2))=∕(4)=log24=2.

故答案为：2

L，兀'

14.已知7gsin6=l+7cos夕则sin2。+:=________.

V6J

97

【答案】77

98

【解析】

【分析】根据辅助角公式可得sin(e-g]=],再根据二倍角与诱导公式求解即可.

I6J14

【详解】7百Sine=I+7CoSe即14gsinl-]cos6=1,故sin("1]=1.

I22JV6；14

故COs(26-&]=1-2si∏2一工]=巴.

IɜjIβj98

则sin[lθ+工]=sin(26—生+工]=cos[lθ--'j=—.

161132ylI3)98

97

故答案为：•—

15.已知函数/(x)=e*—g(x)=x-lnx-m,若函数g(x)存在零点2023,则函数/(x)一定存在零

点七,且Xo=.(只写一个即可)

【答案】ln2023

【解析】

【分析】由函数g(x)存在零点2023求得m值，代入函数/(x)=e'-x-根，再求解方程e'-x—m=0

得答案.

【详解】∙g(x)=xTnX一m存在零点2023,

.∙.x=2023是方程X-InX—∕%=0的根，即2023—In2023—/%=0,

所以机=2023-In2023.

由/(x)=e∙v-x-m=0,得e*-x-2023+ln2023=0,

得ev-x=2023-In2023=e'n2023-ln2023，

即X=In2023一定是方程e*—x-〃2=0的一个根，

也就是函数/5)一定存在零点马，且Xo=In2023.

故答案为：In2023.

16.一个球被平面截下的部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，球缺的曲面部分叫做球冠，垂直于截面的直

径被截后的线段叫做球缺的高.球缺的体积公式为丫=§兀(3/?-”)"2,其中A为球的半径，”为球缺的

高.2022北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”(如图1)深受广大市民的喜爱，它寓意着创造非凡、探索未来，体现

了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能•它的外形可近似抽象成一个球缺与一个圆台构成的组合

体(如图2),已知该圆台的底面半径分别4和2,高为6,球缺所在球的半径为5,则该组合体的体积为

【解

【分析】求出球缺的高，根据球缺的体积公式以及圆台的体积公式，即可求得答案.

【详解】由题意知圆台的体积为％=g(16π+4兀+8π)x6=567i,

如图可知5AB=4,则球心到圆台上底面的距离为√52-42=3，

故球缺的高为5+3=8,

1C448

故球缺的体积为％缺=-π(15-8)×82=-y-π,

448616

所以组合体的体积为V=匕撷+嘘=亍兀+56兀=F-兀,

一…》616

故答案为：---71.

3

四、解答题

17.已知等差数列｛4｝是递增数列，记5.为数列｛q,｝的前〃项和，q=l,且生，S3,64成等比数歹∣J∙

(1)求数列｛q｝的通项公式;

,1,、1

(2)若么=^—,数列｛"｝的前〃项和为北，求证

anan+t2

【答案】(1)a,,=2n-l

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)由等差数列基本量的计算直接求得;

(2)由裂项相消法求出｛2｝的前"项和η,即可.

【小问1详解】

设等差数列伍“｝的公差为d,且d>0,

Q¾,S3,64成等比数列，

**S3=。2,。|4，

.∙.(301+3d)?=©+4)(4+13d),

.q=1,且α>0,.∙.d=2,

.∙.dfj=q+(〃—l)d—1+2(〃—1)—2〃-1；

【小问2详解】

证明.^ɪ=—1—=1(_,___L)

zι

"∙"anan^(2π-l)(2n+l)22n-∖2n+∖'

T"1、1/1、1,11、

n2323522n-l2〃+1

=；叫)+《［)+•••+Gr舟］

—„<L

22n+↑24n+l2

18.已知锐角一ASC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,m-(2c,acosB+bcosA).

n-(ʌ/ɜ,sinA),且〃/〃〃，且满足α=G∙

(1)求角A的大小；

(2)求一ABC周长的取值范围.

【答案】(1)A=I

(2)(3+√3,3√3］

【解析】

【分析】(1)由向量平行得2csinA=√J(αcosB+bcosA),利用正弦定理化边为角整理得

2sinCsinA=WsinC,即可得出答案；

(2)由正弦定理得6=2sinB,c=2sinC,可得α+8+c=G+2氐抽18+J利用三角函数的性质,

即可得出答案.

【小问1详解】

由m〃n可得2csinA-百(αcosB+Z2cosA)=0，

即2csinA=拒(acosB+bcosA),

由正弦定理得2sinCsinA=G(SinAcosB+sinBcosA).

故2sinCsinA=bSin(A+B),整理得至∣J2sinCSinA=GSinC，

因为。是_ABC的内角，所以SinC*0,sinΛ=-

2

TrJr

因为0<4<2，所以A=Z.

23

【小问2详解】

ab

因为且α=ʌ/ɜ，A=5

sinAsinBsinC

所以人=2sin3,c=2sinC.

所以。+〃+C=6+2(sin3+sinC)=6+2sinB+sin

=√3+3sinB+√3cosB=√3+2√3sinlB+,

τt2τrπ

因为_ABC为锐角三角形，所以0<8<一且0<——B<-,

232

则武匿)所以呜《落｝si"吒1鸟1

y∣3+2∖∕3sinfB+-^J∈(3+√3,3√3],即α+0+c∈(3+ΛΛ,3ΛΛ],

故_ABC周长的取值范围为(3+百,3月］.

19.如图所示，在三棱锥尸—ABC中，已知/%_!_平面ABC，平面A4BJ_平面PBC.

(1)证明：BCl平面B4B：

(2)若Q4=AB=6,BC=3,在线段PC上(不含端点)，是否存在点。，使得二面角5—C的

余弦值为姬，若存在，确定点。的位置；若不存在，说明理由.

5

【答案】(1)证明见解析

(2)存在；。是PC上靠近。的三等分点

【解析】

【分析】(I)过点A作A£_L依于点E，由面面垂直性质定理可得AEL平面PBC,由此证明AE_L3C,

再证明P4"L6C,根据线面垂直判定定理证明结论：

(2)建立空间直角坐标系，求平面AQD,平面4h的法向量，利用向量夹角公式求法向量夹角，由条件

列方程确定点。的位置；

【小问1详解】

过点A作AE_LPB于点E，

因为平面PA3_L平面PBC,且平面PABC平面PBC=P8,AEU平面Q45，

所以AEL平面尸BC,

又BCU平面P6C,所以ΛEL3C,

又Q4，平面ABC,BCU平面PBC,

所以R4"LBC,

又因为AEPA^A,AE,PAU平面∕¾B,

所以BCl平面B4B∙

【小问2详解】

假设在线段PC上(不含端点)，存在点。，使得二面角5—AD—C的余弦值为典,

5

以B为原点，分别以8C、84为X轴，V轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系,

则A(0,6,0),B(0,0,0),C(3,0,0),P(0,6,6),

Ae=(3,-6,0),AP=(0,0,6),PC=(3,-6,-6),BA=(0,6,0),

设平面ACD的一个法向量为m=(x,¾z),

m∙AC=0,[3x-6γ=0,

即《取X=2,y=l,z=0,

m∙AP-0,[6z=0,

所以机=(2JO)为平面ACo的一个法向量，

因为。在线段尸C上(不含端点)，所以可设PO=ZlPC=(3%-64-6/1),0<Λ<l,

所以Ar)=AP+PO=(34-6Λ,6—64),

设平面ABZ)的一个法向量为〃=(x,y,z),

n∙BA-0,[6>,=0,

‹即4./人\

n.Az)=0,[32X-6λy+(6-6λ)z=0,

取1=24—2,y=。，z=4,

所以〃=(22—2,0")为平面ASD的一个法向量，

/∖2×(2Λ—2)+l×0+0×Λ

CGSmn)=、，，，又0<a<1，

√5×√(22-2)^+Λ2

2×(2Λ-2)√iθ

由已知可得亍一I,、，，=一一丁

√5×√(2∕l-2)^+Λ25

2

解得/1=—或2=2(舍去)，

3

所以，存在点。，使得二面角3-AD—C的余弦值为巫,

5

此时。是PC上靠近C三等分点.

20.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、

女同学各100名进行调查，部分数据如表所示:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

（I）根据所给数据完成上表，依据α=0.001的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？

（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的

概率均为I,这名女生进球的概率射，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X

的分布列和数学期望.

附：_______Mad-知____

(4+0)(c+d)(α+c)(b+d)

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关;

（2）分布列见解析，数学期望为ɪɪ.

6

【解析】

【分析】（1）完善列联表，计算的观测值，再与临界值表比对作答.

（2）求出X的可能值，求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望作答.

【小问1详解】

依题意，2x2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

零假设”0：该校学生喜欢足球与性别无关,

200(60×70-30×40)2

Z2的观测值为Z2=

«18.182>10.828=x0001,

IOOXlOOX90x110

根据小概率值α=0.001的独立性检验，推断Ho不成立,

所以有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

【小问2详解】

依题意，X的可能值为0,1,2,3,

911221215

P(X=O)=(I))2χ(i)=P(X=l)=C^×-(l--)×(l--)+(l--)2×-=-.

JZ1oJJZɔZ1o

,2212ɔ1842912

P(X=2)=C2×-(1--)X-+(-)X(1--)=-=-,P(X=3)=(-)X-=-.

所以X的分布列为:

XO123

1542

P

Ts99

I54211

数学期望E(X)=OX—+lx-+2x—+3x—=—.

1818996

21.已知椭圆C：W+W=l(a>b>0)离心率为立，点(丝］在椭圆。上.

ab-3133J

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点N(2,0)的直线与椭圆。交于AB两点，求SAa的最大值.

2

【答案】(OLυ+χ2=1

3

(2)在

2

【解析】

【分析】(1)由离心率为逅，求得"=3〃，设椭圆方程c：E+£=l,代入求得〃的值，即可求

33b1b2

解；

ɪɔnO

(2)设&√X="y+2,联立方程组，得到%+%=——ɔ—，%μ=力—,利用点到直线的距离

3〃+13n~+1

∣36(n2-1)

δ

公式和弦长公式，求得Saob=λ-—-T,结合基本不等式，即可求解.

^(3n2+l)^

【小问1详解】

解：由椭圆C的离心率为手，可得£=Ji上=旦,可得/=3〃，

a23

22

vx(2√2、

设椭圆方程C:工∙+2=ι,将点ɪ,--代入方程，可得从，

272=1

3bbI33>

、,2

故方程为匕+V=1.

3

【小问2详解】

解：设/"：=町+且

X2A(Λ1,γl),B(x2,y2),

X=ny+2/ɔɔ

联立方程jy2+J_3'整理得0"+1x)y+⑵)'+9=O，

ɪ•八―ɔ12n9

由△>()，可得〃2_1>0，且πy+%=一丁2「Xy2=°,I，

3n+13n~+1