高一数学新教材同步教学讲义 用二分法求方程的近似解（解析版）

用二分法求方程的近似解

【知识点梳理】

知识点一：二分法

1、二分法

对于区间,,可上图象连续不断且∕g)∙∕e)<o的函数/(X),通过不断把它的零点所在区间一分为

二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法.

2、用二分法求函数零点的一般步骤：

已知函数y=∕(x)定义在区间。上，求它在。上的一个零点XO的近似值X，使它满足给定的精确度.

第一步：在。内取一个闭区间［旬也］三。，使f((⅞)与/(4)异号，即/(4)∙f(4)<o，零点位于区

间［%闻中•

第二步：取区间［%,%］的中点，则此中点对应的坐标为

Xo=4+万(为一%)=5(g+⅛)•

计算/(/)和/(%),并判断：

①如果f(%)=0,则/就是的零点，计算终止；

②如果/(4))∙∕(x())<0,则零点位于区间［<⅞,x<J中，令q=%,4=%：

③如果/(4)∙∕(ΛO)>0,则零点位于区间区也］中，令

第三步：取区间［巧,4］的中点，则此中点对应的坐标为

百=q+g(4-aJ=；(q+4)-

计算f(χ)和〃q)，并判断：

①如果/(xJ=O,则Λ1就是/(x)的零点，计算终止；

②如果)<0,则零点位于区间［α∣,x∣］中，令α2=4也=X1;

③如果/(0l)∙y(x∣)>O,则零点位于区间［x∣,b∣］中,令%=为也=4；

继续实施上述步骤，直到区间［%,勿］,函数的零点总位于区间［4,上，当凡和"按照给定的精确

度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y="x)的近似零点，计算终止.这时函数)，=〃x)

的近似零点满足给定的精确度.

知识点诠释：

(1)第一步中要使：①区间长度尽量小；②/⑷、/S)的值比较容易计算且/(α)√∙S)<0∙

(2)根据函数的零点与相应方程的根的关系，求函数的零点和求相应方程的根式等价的.对于求方

程/(x)=g(x)的根，可以构造函数尸(X)=/(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程/(x)=g(x)的根.

3、关于精确度

（1）“精确度'’与"精确至∣J''不是一回事，

这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值£，即;“精确到”是指某讴歌数的数位

达到某个规定的数位.

（2）精确度£表示当区间的长度小于£时停止二分；此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用

该区间内的任意一个数值作零点近似值.

【题型归纳目录】

题型一：用二分法求近似解的条件

题型二：用二分法求方程近似解的过程

题型三：用二分法求函数零点的过程

【典型例题】

题型一：用二分法求近似解的条件

例1.（2022•全国•高一课时练习）下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）

【答案】C

【解析】四个图像中，与X轴垂直的直线和图像只有个交点，所以四个图像都表示函数的图像，

对于A,函数图像和X轴无交点，所以无零点，故错误；

对于8,D,函数图像和X轴有交点，函数均有零点，但它们均是不变号零点，因此都不能用二分法求零

点;

对于C,函数图像是连续不断的，且函数图像与X轴有交点，并且其零点为变号零点.

故选：C.

例2.（2022・湖南•高一课时练习）观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（）

【答案】A

【解析】由图象可知，8。选项中函数无零点，AC选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号

相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故4选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能

用二分法求零点.

故选：A

例3.(2022•四川省南充高级中学高一阶段练习)用二分法求函数/(x)=x+lgx-2的零点，可以取的初始

区间是()

A.(0,1)B,(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】B

【解析】因为y=χ,y=igχ是单调增函数，故/(X)是单调增函数，其零点至多有一个；

X∕(l)=-lJ'(2)=lg2>0,故用二分法求其零点，可以取得初始区间是(1,2).

故选:B.

变式L(2022•全国•高一课时练习)下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()

A.f(Λ)=3x—1B.f(x)=Λ3

C.f(ɪ)=IXlD.f(x)=Inx

【答案】C

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于4,∕Q)=3x—1在R上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于B,/(ɪ)=V在R上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

对于C,/(x)=IX虽然也有唯一的零点，但函数值在零点两侧都是正号，

故不能用二分法求零点：

对于C,f(x)=InX在(0,+oo)上是单调函数，有唯一零点，

且函数值在零点两侧异号，可用二分法求零点；

故选：C.

变式2.(2022•江苏•高一单元测试)下列函数一定能用“二分法”求其零点的是()

A.y=kx+b(k,6为常数，JL⅛≠O)

B.y=ax1+bx+c(a,b,C为常数，JLa≠O)

C.y=2x

k

D.y=-（k≠0,我为常数）

X

【答案】A

【解析】由指数函数与反比例函数的性质可知其没有函数零点，故C，。不能用"二分法''求其零点，故Cz）

错误；

对于二次函数y=0χ2+6x+cCa,h,C为常数，Jla≠O）,当A=∕-4"c≤0时，不能用二分法，故8错

误；

由于一次函数一定是单调函数，且存在函数零点，故可以用“二分法''求其零点，故A选项正确.

故选：A

变式3.（2022.江苏.高一专题练习）用二分法求函数零点的近似值适合于（）

A.变号零点B.不变号零点

C.都适合D.都不适合

【答案】A

【解析】由零点存在定理可知，二分法求函数零点的近似值适合于在零点两边的函数值异号，即适用于变

号零点.

故选：A.

【方法技巧与总结】

判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零

点.因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.

题型二：用二分法求方程近似解的过程

例4.（2022,甘肃•高台县第一中学高一期中）已知函数/（x）=In（X+2）+2x-〃z的一个零点附近的函数值的

参考数据如下表：

X00.50.531250.56250.6250.751

“X)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法，方程n(x+2)+2x-机=0的近似解(精确度为0.05)可能是()

A.0.625B.-0.009C.0.5625D.0.066

【答案】C

［解析】由题意得/O)=In(X+2)+2x-加在区间(0,+∞)上单调递增，

设方程In(X+2)+2X-W=O的解的近似值为x0,

由表格得/(0.53125)∙/(0.5625)<0,

所以XOe(0.53125,0.5625),

因为10.53125-0.56251=0.03125<0.05,

所以方程的近似解可取为0.5625.

故选：C.

例5.(2022.全国•高一课时练习)若函数/(x)=d+V-2x-2的部分函数值如下，那么方程

V+W—2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)可以是()

川广2"1.5)=0.625/(1.25)≈-0.984

/(1.375)≈-0.260/(1.4375)≈0.162

A.1.2-B.1.3C.1.4

【答案】C

【解析】因为〃1∙375)<O,/(1.4375)>0,且1.375与1.4375精确到().1的近似值都为1.4,

所以原方程的一个近似根为1.4.

故选：C.

例6.(2022•四川•广安二中高一期中)函数F(X)的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数

据如下：

A')=-2/(1.5)=0.625./(1.25)≈-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程的一个近似解(精确度为0∙1)为()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

【答案】C

【解析】由所给数据可知，函数f(χ)在区间(LL5)内有一个根,

因为/(1.5)=0.625>0,/(1.25)=-0.984<0,

所以根在(1.25,1.5)内，

因为|1.5-1.25|=0.25>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点1.375,

因为/(1.375)=-0.260<0,/(1.5)=0.625>0,

所以根在区间(1375,1.5),

因为∣1.5-1.375∣=0.125>0.1,所以不满足精确度，

继续取区间中点1.438,

因为/(1.438)=0.165>0,/(1.375)=-0.260<0,

所以根在区间(1.375,1.438)内，

因为|1.438—1.375∣=0.063<0.1满足精确度，

因为/(1.4065)=-0.052<0,所以根在(1.4065,1.438)内，

所以方程的•个近似解为1.41,

故选：C

变式4.(2022・全国•高一课时练习)用二分法研究函数/(x)=χ5+8x3-1的零点时，第一次经过计算得

/(O)<0,/(0.5)>0,则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为()

A.(0,0.5),/(0.125)B.(0,0.5),/(0.375)

C.(0.5,1),/(0.75)D.(0,0.5),/(0.25)

【答案】。

【解析】因为F(O)/(0∙5)<0,

由零点存在性知：零点不«0,。5),

根据二分法，第二次应计算等”)即/(0∙25),

故选：D.

变式5.(2022・全国•高一课前预习)方程Y-2√+3x-6=0在区间［-2,4］上的根必定在()

「51Γ7~1「75"

A.［-2,1］±B.?4上C.1,-上D.上

ljL2」L4」|_42_

【答案】D

【解析】解析：设/(X)=V-2∕+3x-6,

则/(-2)=-8-8-6-6=-28<0,/(4)=64-32+12-6=38>0,

_?+4r1

因为"二=1且/(I)=I-2+3-6=-4<0,所以函数/(X)在［1,4］上必有零点.

又因为==：且/4)=学Y+［-6=*>0,所以函数/(X)在后］上必有零点.

222X22o［_2

5——

又因为1+建7且“3Y"2X(少+3χ］-6=T<0,所以函数Fa)在ɪj上必有零点.

444464」

~~lr142

^75^

即方程的根必在—上.

故选：D

变式6.(2022.全国•高一单元测试)若函数/(x)=d-x-l在区间［1,I.5］内的一个零点附近函数值用二分

法逐次计算，列表如下：

X11.51.251.3751.3125

∕∞-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程V—xT=。的一个近似根(精确度为0.1)可以为()

A.I.3B.1.32C.1.4375D.1.25

【答案】B

【解析】由)(l∙3125)<0,/(1.375)>0,且f(x)为连续函数，由零点存在性定理知：区间(1.3125,1.375)

内存在零点，故方程V-X-I=O的一个近似根可以为L32,B选项正确，其他选项均不可.

故选：B

变式7.(2022.内蒙古・呼和浩特市教育教学研究中心高一期末)用二分法求方程的近似解，求得函数

"x)=V+2x-9的部分函数值数据如下：/(l)=-6,/(2)=3,/(1.5)=-2.625,/(1.75)=-0.6406,

则方程V+2x-9=0的一个近似根X所在区间为()

A.(-0.6406,0)B.(1.75,2)C.(1.5,1.75)D.(1,1.5)

【答案】B

【解析】由题意，知/⑴∙"2)<0J(1.5)∙/⑵<OJ(1∙75)∙A2)<O,

所以函数的零点在区间(1∙75,2)内，即方程χ3+2x-9=0的一个近似根X所在区间为(1∙75,2)∙

故选：B.

变式8.(2022•全国•高一专题练习)用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x-l在区间［0,1］上的零点，要求精确

度为0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

经过〃此操作后，区间长度变为，，

用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x7在区间(0,1)上近似解，

要求精确度为OOl，

—≤0.01,解得zι≥7,

故选：C.

变式9.(2022.全国.高一专题练习)函数/(x)的图象是连续不断的曲线,在用二分法求方程"x)=0在(1,2)

内近似解的过程可得/(l)<0,/(l∙5)>0,/(1.25)<0,则方程的解所在区间为()

Λ.(1.25,1.5)B.(1,1.25)

C.(1.5,2)D.不能确定

【答案】Λ

【解析】因为/(125)"(1.5)<0,故方程/(x)=0的解所在区间为(1.25,1.5).

故选：A.

变式10.(2022・广东•珠海市斗门区第一中学高一阶段练习)若函数〃力=/+丁-2%-2的一个零点(正

数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程％3+/一2》-2=0的一个近似解(精确

度0.04)为()

川)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)≈-<).9847(1.375卜-0.260

/(1.4375)≈0.162/(1.40625)≈-0.054

Λ.1.5B.1.25C.1.375D.1.4375

【答案】D

【解析】由表格结合零点存在定理知零点在(140625,1.4375)上，区间长度为0.03125,满足精度要求，观

察各选项，只有。中值L4375是该区间的一个端点，可以作为近似解，

故选：D.

变式11.(2022・全国•高一课时练习)在用二分法求方程3"+2x-10=0在(1,2)上的近似解时，构造函数

/(x)=3v+2x-10,依次计算得/(1)=—5<0,/(2)=3>0,/(1.5)<0,/(1.75)>0,/(1.625)<0,则

该近似解所在的区间是()

A.(1,1.5)B.(1.5,1.625)C.(1.625,1.75)D.(1.75,2)

【答案】C

【解析】根据已知f(l)=-5<0,/(1.5)<0,/(1.625)<0,/(1.75)>0,/(2)=3>0,

根据二分法可知该近似解所在的区间是(L625,1.75).

故选：C.

【方法技巧与总结】

(1)依据图象估计零点所在的初始区间［孙(这个区间既要包含所求的根，又要使其长度尽可能的

小，区间的端点尽量为整数).

(2)取区间端点的平均数c,计算f(c),确定有解区间是(见C)还是(c,〃)，逐步缩小区间的“长度”，

直到区间的长度符合精确度要求(这个过程中应及时检验所得区间端点差的绝对值是否达到给定的精确

度)，才终止计算，得到函数零点的近似值(为了比较清晰地表达计算过程与函数零点所在的区间往往采

用列表法).

题型三：用二分法求函数零点的过程

例7.(2022•江苏・南京师范大学附属中学江宁分校高一期中)用二分法研究函数/(x)=V+2x-l的零点时，

第一次计算，得/(0)<0,/(0.5)>0,第二次应计算/(%),则演等于()

A.1B.-1C.0.25D.0.75

【答案】C

【解析】因为/(0)<0,/(0∙5)>0,所以/(x)在(0,0∙5)内存在零点,

根据二分法第二次应该计算/(%),其中占=归F=O.25；

故选：C

例8.(2022•山西・怀仁市大地学校高中部高一阶段练习)已知定义在［“回上的增函数/(x),在用二分法

寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为忸,闿，a，审,α+g,g，又//a+：-5卜0,则

函数/(x)的零点为()

A.—B.—C.—D.—

3399

【答案】C

【解析】由"X)在[a,々上单调递增得：/(«)<(),/(⅛)>0,又α+g>α恒成立，

a+brc

a+------2

?1a=——

-----------=aτ—.3

：.\22,解得J”,

a+bbb=-

I24'

4

.∙./(x)的零点为一J+5_7,

39

故选：C.

例9.(2022.新疆昌吉.高一期末)在用“二分法”求函数〃x)零点近似值时，若第一次所取区间为[-2,6],

则第三次所取区间可能是()

A.[-2,-l]B.[-1,1]C.[2,4]D.[5,6]

【答案】C

【解析】第一次所取区间为[-2,6],则第二次所取区间可能是[-2,2],[2,6]；

第二:次所取的区间可能是[-2,OnO,2],[2,叫4,6].

故选：C.

变式12.(2022.江苏.高一)已知函数/(x)=x3+2x-9在(1,2)内有一个零点，且求得/(x)的部分函数值

数据如下表所示：

X121.51.751.76561.75781.7617

/(x)—63-2.625-0.140630.035181-0.05304-0.0088

要使/(x)零点的近似值精确度为0。1，则对区间(L2)的最少等分次数和近似解分别为()

A.6次1.75B.6次1.76C.7次1.75D.7次1.76

【答案】D

【解析】由表格数据,零点区间变化如下：(1,2)→(1.5,2)→(1.75,2)→(1.75,1.875)→(1.75,1.8125)→

(1.75,1.78125)→(1.75,1.7656)→(1.7578,1.7656),此时区间长度小于0.01,在此区间内取近似值,等分了

7次，近似解取1.76.

故选：D.

变式13.(2022・全国•高一单元测试)用二分法求方程1。&X-上=0近似解时，所取的第一个区间可以是

3x

()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(2,4)

【答案】B

【解析】令/(x)=IoggX-*，

因为函数＞=1088匕丫=-*在(0,y)上都是增函数，

所以函数/(x)=log8x-=在(0,+∞)上是增函数,

所以函数=在区间(1,2)上有唯一零点，

所以用二分法求方程logs%-4=0近似解时,所取的第一个区间可以是(L2).

3x

故选：B.

变式14.(2022•辽宁•沈阳市第一二。中学高一阶段练习)已知函数/(x)=x3-d+5在xe[-2,T]上有零

点，用二分法求零点的近似值(精确度小于0.1)时，至少需要进行次函数值的计算.

【答案】3

【解析】至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：

_9_1O

取区间的中点X1=,

/(-2)=-8-4+5=-7<0,∕(-l)=-l-l+5=3>0

"3"

所以∕∈-ɪ,-l.

、3_r-i

取区间-j,T的中点Y_2_5,

L2J—二

+5>0,

^35_|_5._2

取区间一彳，一τ的中点y4211，

24A=---------=------

328

因为一>(-∣)<0∙2,

^311-∣23

所以区间一彳,一丁的中点丫_-12-118_23即为零点的近似值，即玉产-孑，

L28J玉=口-=丁16

所以至少需进行3次函数值的计算.

故答案为：3

变式15.(2022•全国•高一专题练习)根据下表，用二分法求函数/(x)=χ3-3x+l在区间(1,2)上的零点的

近似值(精确度0.1)是.

/(I)=-1/(2)=3/(1.5)=-0.125

/(1.75)=1.109375/(1.625)=0.41601562/(1.5625)≈0.12719726

【答案】1.5(答案不唯一)

【解析】由二分法定义：由函数∕∙(x)=d-3x+l,由图表知/(l∙5)=-0.125<0;/(1.75)=1.109375>0；

/(1.625)=0.41601562>0；/(1.5625)=0.12719726>0.由于/(1.5)∙/(1.5625)<0,故零点的近似值是1.5

或1.5625或区间［1.5,1.5625］上的任何一个值.

故答案为：1.5.(答案不唯一)

1_γ

变式16.(2022•全国•高一专题练习)已知函数/(x)=Nf

(1)探究/(x)在(-1,一)上的单调性，并用单调性的定义证明；

(2)判断方程［l+∕(x)小ogz∕(x)=2是否存在实根？若存在，设此根为％,请求出一个长度为:的区间(4,b),

O

使x°e(a,b);若不存在，请说明理由.(注：区间(。力)的长度为6-4)

/3」_.=2_(彳+1)_2__ɪ

［解析］(1)1+x1+x一χ+ι,则函数/U)在(T'K°)上.为减函数，证明如下：

任取4、Λ⅛∈(-l,+∞)H,X∣>X2,

则“χjτ(χj=［∖ι］j∖ι］=r¾⅛,

IXl+1JIz+1)(百+1乂々+1)

因为x1>W>T,则/(』)-/(?)=((R)<0，即)</伍)，

故函数/(χ)在(-1,伊)上为减函数.

1-xx-∖

⑵由0+〃必唯/(X)=2,可知即77T<°,解得

即备喝W=2,I—Y

可得bg2*rX+l,

1—Y

构造函数g(x)=χ+l-log2；~~-，

1—X

由（1）可知，函数〃在（TI）上为减函数，

1+x

1—γ

而函数y=Iog2"为定义域上的增函数，则函数y=-log,（-1,1）上为增函数,

又因为函数y=χ+ι在（-1,1）上也为增函数，

故函数g(χ)=χ+l-log2三在(Ti)上为增函数,

因为g(0)=l>0,=JTOg23<；-1<0,

由零点存在定理可知，函数g（x）在区间[g,θ）上存在零点，且零点记为X。,

.丫-闺=8-殷=648-625＞0,»

⑴8183

R）

g；-g21=∣°g?24-log2∣＞0,故XO

^H）4^ι°g2⅛^^ι^＞故为{-＞{l'且区间1一一）的长度为4+l=∖

故满足条件的一个区间为卜：,-.

变式17.（2022・全国•高一课时练习）用二分法求下列函数在给定区间内的零点：

⑴/（x）=3/-5x+1在区间（0,1）内的零点（精确到0.1）；

⑵/（6=2/一3/一5》+3在区间（-2,-1）内的零点（精确到0.1）.

【解析】⑴因为"°）＞°,f⑴＜°，贝Il在（（U）内存在零点，

又Ju）则在（°，;）内存在零点，

又O＜o,/（0）＞0,则在（0，；）内存在零点，

x∕[∣]＞θ,/（；）＜°，则在（：，；）内存在零点，

又据）＞。，也卜。，则在岛内存在零点，

a1

因为启“0.19,；=0.25,则/（x）=3χ2-5x+l在区间（0,1）内的零点近似为0.2.

⑵因为〃一2）＜0,/（-1）＞0,则在（一2,-1）内存在零点，

x∕f-∣］<o,/(τ)>o,则在卜j-1)内存在零点，

又/(-∣∙)<O,贝IJ在1∣∙L∣J内存在零点，

又，(一£)<。，则在内存在零点，

因为-装≈-1.375,~=-1.25,则/(X)=2χ3—3d—5x+3在区间(―2,—1)内的零点近似为—1.3.

变式18.(2022・湖南・益阳平高学校高一阶段练习)己知函数/(x)=2d-8x+m+3为R上的连续函数.

(1)若函数f(x)在区间［T,l］上存在零点，求实数〃?的取值范围.

(2)若机=Y,判断/(x)在(-L1)上是否存在零点？若存在，请在误差不超过0.1的条件下，用二分法求出

这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由.

【解析】⑴"x)=2Y-8x+"+3为二次函数，开口向上，对称轴为χ=2,

可知函数/(x)在区间［-1』上单调递减,

/(-ι)≥o

∙.∙∕(χ)在区间［T,l］上存在零点,

∕0)≤o

2+8+m+3≥0

,解得:-13≤∕π≤3,

2-8+m+3≤0

.∙.实数m的取值范围是［-13,3］.

(2)当m=T时，/(x)=2x2-8x7为二次函数，开口向上，对称轴为x=2,

所以/(x)在区间(Tl)上单调递减，

.∙J(T)=9,/⑴=一7,则/(T)∙/⑴<0,

.∙.函数F(X)在(TI)上存在唯一零点七,

又/(x)为R上的连续函数，

V/(O)=-KO,Λ∕(-l)√(0)<0,Λ¾∈(-l,0),

∣4⅞∈I

・">0,4)∙∕(0)<0,「阿

>0,n[

J(∣∙∕(o)<o,.`.⅞WI「川,

$>。，”|]√(0)<0.

e0

,4.∙.⅞H')

此时误差为山」<。」,即满足误差不超过°」，

.∙.零点所在的区间为Ko）

【方法技巧与总结】

利用二分法求函数近似零点的流程图:

选

定

初

始结

区束

网

【同步练习】

一、单选题

1.（2022・全国•高一课时练习）下列函数图像与X轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值

【答案】A

【解析】函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，

即图像穿过X轴时，能用二分法求函数零点近似值，据此分析选项，由图知，

A选项中，零点的左右两侧的函数值符号相同，函数不能用二分法求零点近似值；

B选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值;

C选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值;

D选项中，有零点且零点左右两侧函数值符号不同，函数能用二分法求零点近似值.

故选:A

2.（2022.湖北省武昌实验中学高一期末）已知函数/（x）=x-e-'的部分函数值如下表所示

X10.50.750.6250.5625

f(x)0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函数/（x）的一个零点的近似值（精确度为0.01）为（）A.0.55B.0.57C.0.65D.0.7

【答案】B

【解析】函数/(x)=A(目在R上单调递增，

由数表知：f(0∙5)<f(0∙5625)<0</(0.625)<A0.75)<f(l),

由零点存在性定义知，函数/(x)的零点在区间(05625,0.625)内，

所以函数/(x)的一个零点的近似值为0.57.

故选：B

3.(2022•全国•高一课时练习)下列选项中不能用二分法求图中函数零点近似值的是()

【答案】B

【解析】由图象可知B中零点是不变号零点，其他图象中零点都是变号零点，故B不能用二分法求零点近

似值.

故选：B

4.(2022・浙江,高一期末)若"x)=V+/—2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据

如下表：

ʃ(1)=-2/(1.5)=0.625

/(1.25)=-0.984/(1.375)=-0.260

“1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程x3+χ2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5

【答案】C

【解析】根据二分法，结合表中数据，

由于/(1.438)=0,165>0,/(1.4065)=-0.052<0

所以方程Λ3+V一2x-2=0的一个近似根所在区间为(L4065,1.438)

所以符合条件的解为1.4

故选：c.

5.(2022・江苏・高一)下列关于二分法的叙述，正确的是()

A.用二分法可求所有函数零点的近似值

B.用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C.二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D.只有求函数零点时才用二分法

【答案】B

【解析】根据二分法的概念可知，只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右两侧函数值异号，

才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；

用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位，故B正确；

二分法有规律可循，可以通过计算机来进行，故C错；

求方程的近似解也可以用二分法，故D错.

故选：B.

6.(2022・全国•高一课时练习)若函数AX)=X3+f-2x-2的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其

参考数据如下：

/(D=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程j+炉―2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为().A.1.2B.1.4C.1.3D.1.5

【答案】B

【解析】因为/⑴<0J(1.5)>0,所以AI)/(1.5)<0,所以函数在(1,1.5)内有零点，因为1.5-I=O.5>0.<

所以不满足精确度0.1；

因为/(1.25)<0,所以川.25)/(1.5)<0,所以函数在(1.25,1.5)内有零点，因为L5-1.25=0.25>0.1,所以

不满足精确度0.1；

因为/(1.375)<O,所以/(1.375)/(1.5)<0,所以函数在(1.375,1.5)内有零点，因为1.5—1.375=0.125>0.1,

所以不满足精确度0.1；

因为/(1.4375)>0,所以/(1.4375)/(1.375)<0,所以函数在(1375,1.4375)内有零点,因为

1.4375-1.375=0.0625<0.1,所以满足精确度0.1；

所以方程V+V-2x-2=0的一个近似根(精确度0.05)是区间(1375,1.4375)内的任意一个值(包括端点值)，

根据四个选项可知选B.

故选：B

7.(2022・湖北•华中师大一附中高一阶段练习)在用二分法求方程3x+3χ-8=0在(1,2)内近似根的过程

中,已经得到〃D<OJ(1∙5)>0,/(1.25)<0,则方程的根落在区间()

A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定

【答案】B

【解析】,∙7(1)<0,/(1.5)>0,

在区间(1,1.5)内函数/(x)=3x+3x-8存在一个零点

又∙.∙f(1.5)>0,/(1.25)<0,

.∙.在区间(1.25,1.5)内函数/(x)=3x+3x-8存在一个零点，

由此可得方程3*+3x-8=0的根落在区间(1.25,1.5)内，

故选：B

8.(2022•全国•高一课时练习)用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x-l在区间(0,1)内零点的近似值，要求误

差不超过0.01时，所需二分区间的次数最少为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】开区间(0,1)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过，次操作后，区间长度变为《，

∙.∙用二分法求函数/(x)=In(X+l)+x-1在区间(0,1)内零点的近似值，

要求误差不超过0.01，

—≤0.01,解得："≥7,

所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

二、多选题

9.(2022.湖北.武汉市第十四中学高一阶段练习)给出下列命题：

①已知函数/(x-l)=Y-2x+l,贝∣J"5)=26

②当α>0且ακl时，函数F(X)=ɑ'ɔ-3的图像必过定点(2,-2)

③用二分法求函数/(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1

④函数/*)=2”-V的零点有2个

以上命题错误的有().

A.①B"C.③D.@

【答案】ACD

【解析】①选项，函数/(x-l)=χ2-2x+l,所以令x=6代入得：/(5)=6?-12+1=25≠26,故选项错误；

②选项，函数/(x)="-2-3为指数函数，当％—2=0时，α°=l,此时/(2)=α°-3=-2,所以，此函数必

过定点(2,-2),该选项正确；

③选项，区间(2,3)的长度等于1,每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过"次操作后，区间长

度变为/，故有/≤0.1,.∙∙〃≥4,至少要操作4次，所以选项错误；

④选项，函数/S)=2'-V的零点有3个，一个是x<0,一个为x=2,一个为*=4,所以选项错误.

故选：ACD

10.(2022•全国•高一课时练习)己知函数/(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图

象是连续不断的，若y(0)>不/(l)∕(2)∕(3)<O,则下列命题正确的是()

A.函数的两个零点可以分别在区间(0,1)和(1,2)内

B.函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1,2)和(2,3)内

C.函数“力的两个零点可以分别在区间(0』)和(2,3)内

D.函数的两个零点不可能同时在区间(1,2)内

【答案】ABD

【解析】因为函数/(x)在区间(0,3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以

零点两侧函数值异号，

又/(0)>0,/(l)∕(2)∕(3)<0,所以"3)>0,/(l)∕(2)<0,

若/⑴>0J(2)<0,可得/(2)"3)<0,/(l)∕(2)<0,即此时函数/(x)的两个零点分别在区间(1,2)和

(2,3)内，故B正确；

若/⑴<0,∕(2)>0,WJ∕(O)∕(1)<O,/(l)∕(2)<0,即此时函数〃x)的两个零点分别在区间(0,1)和

(1,2)内，故A正确.

综上两种情况，可知选项C错误，D正确.

故选：ABD.

11.(2022∙全国•高一课时练习)某同学用二分法求函数/(x)=2'+3x-7的零点时，计算出如下结果：

/(1.5卜0.33,/(1.25)≈-0.87,/(1.375)≈-0.28,/(1.4375)≈0.02,/(1.40625)≈-0.13.下列说法正

确的有()

A./(x)的零点在区间(1∙375,1.40625)内B.的零点在区间(125,1.4375)内

C.精确到0.1的近似值为1.4D.精确到0.1的近似值为1.5

【答案】BC

【解析】易知是增函数，因为“1.375卜-0.28<0,/(1.4375)≈0.02>0,所以零点在(1.375,1.4375)

内，所以A错误，B正确，

乂1.4375和1.375精确至IJ0.1的近似数都是1.4,所以C正确，D错误.

故选：BC.

⑵(2022•全国•高一课时练习)如图，函数/(x)的图像与X轴交于Ma,0),N(X2,0),P(⅞,0),β(x4,0)

四点，则能用二分法求出/(x)的零点近似值的是()

【答案】ACD

【解析】由题图，可知在两侧，函数f(x)的值均大于0,故巧的近似值不能用二分法求出.其他零点

两侧函数值符号均相反，可以用二分法求解近似值.

故选:ACD.

三、填空题

13.(2022•全国•高一专题练习)用二分法研究函数F(X)=X3+2x-l的零点，第一次经计算

/(0)<0,∕(0,5)>0,则第二次计算的/(X)的值为一.

【答案】【解析】因为空地=0.25=,,所以第二次应计算

6424<4j

所以冏=Gj+2号T=号

31

故答案为：一力

64

14.(2022.全国•高一课时练习)在用二分法求函数f(x)的零点近似值时，若第一次所取区间为［-2,6］,则

第三次所取区间可能是.(写出一个符合条件的区间即可)

【答案】［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(写一个即可).

【解析】第一次所取区间为卜2,6］,则第二次所取区间可能是12,2］,［2,6］；第三次所取区间可能是［-2,0］,

［0,2］.［2,4］,［4,6］.

故答案为：［-2,0］或［0,2］或［2,4］或［4,6］(有一个即可).

15.(2022•全国♦高一专题练习)用二分法求函数/(x)=In(X+I)+x-1在区间［0,1］上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为.

【答案】7

【解析】根据题意，原来区间［0,1］的长度等于1,

每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过〃次操作后，区间的长度为《，若看<0.01,

即n≥7;故最少为7次.

故答案为：7.

16.（2022.江苏.高一专题练习）用二分法求方程/-8=0在区间（2,3）内的近似解经过________次“二分”

后精确度能达到0.01.

【答案】7

【解析】：区间（2,3）的长度为1,

当7次二分后区间长度为J=2<R=0.01,

ZIZoIUU

故要经过7次二分后精确度能达到0.01.

故答案为：7.

四、解答题

17.（2022•全国•高一专题练习）求函数F（X）=X3-3白一”+1的一个负零点（精确度0.01）.

【解析】列表如下：

端点

端点或中点函数值取区间

（中点）坐标

/(-l)>0,∕(-2)<0(-2,T)

-1-2

⅞=-ɪ-=-1∙5∕⅛)=4375>0(-2,-1.5)

—1.5—2

X,=------------=-1.75/U,)≈