湖南省长沙市雅礼教育集团2022-2023学年高二年级上册期末数学试题（含解析）

雅礼教育集团2022年下学期期末考试试卷

局一数学

一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.已知直线/过点且不过第四象限，则直线/的斜率左的最大值是（）

A.2B.1

C.1D.0

【答案】A

【解析】

【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得.

如图，kOA=2,勺=0,只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故左e[0,2].

故直线/的斜率左的最大值为2.

故选：A.

2.函数y=sin1+:!tanx的一条对称轴方程是（）

7in37r

A.%=0B.x——C.x=—D.x=—

424

【答案】C

【解析】

【分析】先化简，再根据正弦函数的对称轴求解

sinx（7i\7C

【详解】y=cosx------=sinx,xw左"+一,左eZ|,对称轴方程是x=左"+—,左eZ

cosxV2）2

取左=0,知是一条对称轴

2

故选:C

3.若集合AMMeNkZnAFbBnWeNlcZnCU},则AB=()

A.0B.{4}C.{0,4}D.{0,1,2,3,4)

【答案】B

【解析】

【分析】根据排列数的计算公式可得A={4},根据组合数的性质可得3={0,L2,3,4},即可由交集的定义求

解.

4»4»

【详解】由A：=A7可得『二叶旬1n5-〃=ln〃=4,

由(3；=(：丁"得7=0,1,2,3,4,故4={4},5={0,1,2,3,4},AB={4}.

故选：B

4.如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边A5AD为斜边向外作等腰直角ABE,Z\ADF,若

兀

AB=2,AD=1,ABAD=一，则AC.所=()

4…

E

A3R33&N3A/2

2222

【答案】B

【解析】

【分析】通过题意可得到AC•跖=(AB+AO>(A尸-AE),然后通过数量积的运算律即可求解.

【详解】根据题意可知AB1AF,AD，AE,所以A3•AR=0,AD•AE=0,

由等腰直角ABE,可得AF=DF=也，AE=BE=6,

2

AD-AF=|AD|-|AF|cos450=lx^x^=1,A5-AE=|AB|-|AE|cos450=2xV2x^=2

3

ACEF=(AB+AD)(AF-AE)=ABAF+ADAF-ABAE-ADAE=ADAF-ABAE=--

故选：B

5.6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者

且人数各不相同，不同的分配方案共有()

A.540种B.360种C.180种D.120种

【答案】B

【解析】

【分析】根据分组分配即可由排列组合进行求解.

【详解】每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，故三个社区分配到志愿者的人数为L2,3,故共有

C1cC：A；=360种.

故选：B

22

6.双曲线[-[=1(“>0力>0)的右焦点F与抛物线V=8x的焦点重合,两曲线有一个公共点为P,若

ab

IPE1=4,则该双曲线的离心率为()

A.72+1B.73+1C.G—1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】根据焦半径公式计算出P点坐标，再根据定义计算离心率即可

【详解】由题知，抛物线焦准距P=4

设P(m,ri)，由|PE|=4,得根+3=+2=4,所以〃z=2

2

不妨设点P在第一象限，则尸(2,4)

双曲线焦半距c=2,焦点是F(2,0),4(-2,0)

根据双曲线的定义2a=|/岑卜|PE|=4行一4,所以。=2夜—2

所以离心率e=£=—2—=0+1

a2V2-2

故选:A

7.函数=”+/+…+x—l(x>0)的零点属于区间()

'MB.品O

【答案】c

【解析】

【分析】找到两个端点异号的区间,再说明函数的单调性，利用零点存在定理即可

Ui」］

【详解】/白』+吩++--1=^-3--「-揖<0

2

因为二11二l—i=o

I2J2

所以，K->。

flJ5-C

又因为/(x)是增函数，所以/(x)有唯一的零点Xoe“

(22J

故选：C

8.已知x,y,0eR,若e*"<(x-y-l)ey,则x2+y2-2xcos8--2ysin。的最小值等于（）

A.3-272B.2-20C.2+2点D.3+2」

【答案】B

【解析】

［分析］先变形为eAy-2_(x_y_2)_l=0,证明x—y_2=0,再把问题转化为求直线上的动点到圆上

动点距离的最小值.

［详解］由题设e£7-2_(x_y_2)_l<0,

设F(x)=e-x-1,则r(x)=e“-1,

当xe(-co,0),/(%)<0,/(x)单调递减，

当xe(0,+oo),/'(x)〉0,/(x)单调递增，

2

所以f(x)>/(0)=0,即e^--(x-j-2)-l>0,

综上，exf—(x—y—2)—1=0,即/(x—y—2)=0,所以x--y—2=0,

设P是直线%-丁一2=。上的点，Q(cos6,sin，)是圆f+y=1上的点，

而目标式为x2+y2-2xcos。—2ysin。=(X—cos行+(y—sin-1=|PQ\2-1,

由IPQL.J"全2一1=0—I,故(IPQF_1)=(0—1)2—1=2—20.

A/21NM

故选：B.

二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合

题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.若复数z=i—2,则下列结论正确的是()

A.z的虚部是一2B.z的共软复数是—i-2

C.z的模是J5D.z在复平面内对应的点为(-2,1)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由复数虚部、共软复数、模的定义和复数的几何意义对选项一一判断即可得出答案.

【详解】：z=i—2=—2+i,；.z的虚部是1,

共辗复数是—i—2,|z|=J(-2)2+]=后，

在复平面内对应的点为(-2,1).

故选:BCD

10.下列数列｛4｝中，单调递增的数列是()

2

A.an=(n-3)

C.a“=tan〃D.an=In------

n+1

【答案】BD

【解析】

【分析】结合对应函数单调性即可判断各选项.

【详解】对于A,结合对应函数y=(x-3)2在(-8,3)上单调递减，在(3,转)上单调递增，可知数列｛4｝

不为递增数列;

对于B,结合对应函数y=-在R上单调递增，可知数列｛4｝为递增数列；

(兀7C]

对于C,结合对应函数y=tan无的单调递增区间为-5+E，,+E，keZ,可知数列｛?｝不为递增数

列；

对于D,由于a,=ln*=ln[l—匕)，结合对应函数y=In[1在((),+”)上单调递增，所以

数列｛?｝为递增数列.

故选：BD.

11.法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中,

方程X3+,3=3叼所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当。=1时，笛卡尔叶形线具有的性质是()

A.经过第三象限B.关于直线y=x对称

C.与直线x+y+l=。有公共点D,与直线x+y+l=。没有公共点

【答案】BD

【解析】

【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB,联立直线x+y+l=O与笛卡尔叶形线的方程，通过方

程的根可判断CD.

【详解】当。=1时，笛卡尔叶形线为d+y3=3孙，

A：若x<0,y<0,则炉+丁3<0,3孙〉0,13+丁3彳3孙，故不经过第三象限，故A错误,

B：若点(x,y)在曲线上，则点(y,x)也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线V=x对称，故B正确，

C.D：由方程组1,得4,，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x+y+i=。没

x+y=-l,[x+y=-l

有公共点，故D正确，C错误，

故选：BD

12.过下列哪些点恰可以作函数/(》)=2]3—3x的两条切线()

A.(—2,—10)B.(—2,3)C.(—2,6)D.(—2,8)

【答案】AC

【解析】

【分析】由/(x)=2V—3x,所以/'(x)=6f—3,设切点为(%,2年—3%),则/'小)=6寸—3,结

合导数的几何意义分别求解即可.

【详解】由/(x)=2d—3x,所以/'(x)=6*—3,

设切点为(玉),2君一3玉)),则毛)=6君-3.

对于A,因为〃—2)=—10,所以(―2,—10)在函数/(力=2/—3%上，

当(—2,—10)为切点时，有一条切线；

当(-2,-10)不为切点时，由/(%)=6焉—3=-a(2%-3x0),

—2一%

即3xg+5XQ—8=0,

设g(x)=+5x2—8,贝!Jgr(%)=9%2+10x=x(9x+10),

令g'(x)>0,则％<-与或x>0；令g'(x)<0,则一与<x<0,

所以函数g(x)在和(°，+")上单调递增，在上单调递减，

又g1—T]=—署("g(0)=-8<0,

所以函数g(x)=3x3+5f—8只有一个零点，故与只有一个解，

综上所述，过(-2,-10)恰可做函数〃力=2%3—3%的两条切线，故A正确；

对于B,由广(x°)=6x：-3="(；。一3%),

-2-xo

即6XQ+10XQ-3=0,

设/?(%)=6d+10x2—3,贝!J"(%)=18d+20%=2%(9%+10),

令〃'(冗)>0,则尤<一^■或x>0；令〃(x)<0,则一^■<%<(),

所以函数人⑺在和(°，+“)上单调递增，在1—上单调递减，

又，［-胃"A(0)=-3<0,

所以函数g(x)=3x3+512—8有3个零点，故看有3个解，

所以(—2,3)恰可做函数〃力=2三—3x的三条切线，故B不正确；

对于C,由于(x°)=6x；-3=—(：广川),

-2-xo

即3Xg+5x；=0,解得毛=0或/=—g,

所以过(—2,6)恰可做函数f(x)=2x3-3x的两条切线，故C正确；

对于D,由尸(x°)=6x：—3=8-匕,3%),

—2—x0

即3XQ+5xg+1=0,

设u(x)=3x3+5x2+1,贝!Ju(%)=9d+10x=x(9x+10),

令则％<—■或光>0；令则——<x<0,

所以函数"(x)在［巩-和(°，+")上单调递增，在［T,o］上单调递减'

又言M°)=i>°，

所以函数“(X)=3/+5*+1有1个零点，故％有1个解，

所以(―2,8)恰可做函数/(月=2三—3兀的一条切线，故D不正确；

故选：AC.

三、本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在［x+工)的展开式中，常数项为.

【答案】20

【解析】

【分析】根据展开式的通项公式求解即可.

【详解】在'+的展开式的通项公式为"产，

所以令6—2左=0,解得左=3,

所以常数项为窃=20

故答案为：20.

14.圆炉+V=1与圆(X—4)2+(y—4)2=25的公共弦长等于.

【答案】V2

【解析】

【分析】两圆相减得出公共弦所在直线方程，再根据勾股定理计算公共弦长

【详解】联立12，得公共弦所在直线方程为％+y-1=0.

[d)2+(1)2=25

1

圆心(0,0)到x+y—1=0距离d正

所以公共弦长为251-储=2x也=J5

2

故答案为：V2

15.如图，在正方体ABC。-A4GR中，动点/在线段AC上，异面直线和3M所成的角为。，则

。的取值范围是.(用区间表示)

兀n

【答案】

【解析】

【分析】利用BC.//AD,,得出。=NMBCi,通过线面垂直的判定定理和性质定理可得到

/CQB=NONB="NB=3通过几何关系可得到cos。=与cos/MBO，可知。的最小值为BG与

平面ABC所成的角.设CD],Z)G的交点为。，则NO5Q为BG与平面ABC所成的角.所以。的最小值为

JT-TT

2.。的最大值为点/在点A处，此时8=2.

63

【详解】连结

由正方体的性质可得AB//CR,AB=GD「所以四边形是平行四边形，

所以BCJ/AD,,所以异面直线AD,和BM所成的角即直线BCt与BM所成的角，

连接C2，Z)G的交点为。，过点。作直线3M的垂线，垂足为N,

因为1平面CDDG,DC,u平面CDRG,

显然BC1DC],CDl±DC1,

又BCcCD[=C,BC,CD[u平面BCD^，所以Z)G，平面BCD^,

因为80,BN<=平面BCDA，所以。G，3。，DCi1BN,

又因为ONLBN,。G「。N=O,DG，ONu平面。NG，所以BN,平面。NC「

又N£u平面0NC[,Ng±BN,

易知ZQOB=ZONB=ZQNB=-，所以有cosNOBCy段,cosAMBO=—

2BC]OB

NB

cosNMBC[=可得cos/MBC]=cos/OBC]cosAMBO,

~BCX

由正方体的性质可知sinNOB£=gg=(，显然NO3G为锐角，所以cosNO5G=X3，得

BC、212

cosZMBQ=^-cosAMBO>即cos0=cosZMBC1=-^-cosAMBO，

所以当NMBO=0,即点M在。B上时，此时cos。有最大值为立，此时。最小为王;

26

显然当点以在4时，此时NMBO有最大值，因为COS6=43COSNM5O,此时。有最大值，显然

2

7T7171

为正三角形，所以此时9=一；故

36,3

故答案为：—

o3

16.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，

表示曲线的弯曲程度越大,工程规划中常需要计算曲率,如高铁的弯道设计.曲线y=/(x)在点(羽)(%))曲率

的计算公式是K=其中y"是y的导函数.则曲线孙=1上点的曲率的最大值是

【答案】显

2

【解析】

【分析】根据定义直接计算，最后利用基本不等式得出结果

【详解】对于曲线冲=1,即>=1

%

.1..2

2”后

当且仅当1x1=1时等号成立

故答案为:交

2

三、本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容,

立足全体党员，面向全社会的优质平台.该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极

大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态,

紧跟时代脉搏的热门APP.某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000

人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

（1）估计该市市民每周利用“学习强国''时长在区间［6,8）内的概率;

（2）估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长；

（3）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从［4,6）和［10,12）组

中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率.

【答案】（1）0.3（2）6.8小时

⑶叱

21

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图求出学习时长在［6,8）内的频率，由此估计学习时长在［6,8）内的概率；（2）

根据平均值的计算公式求解；（3）先由分层抽样的性质确定从［4,6）和［10,12）组中应抽取的人数，再列出样

本空间，并利用古典概型概率公式求出事件所选取的2人来自不同的组的概率.

【小问1详解】

由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在［6,8）内的频率为0.15x2=0.3,

所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在［6,8）内的概率为0.3.

【小问2详解】

由题意知各组的频率分别为0.05,0.1,0.25,0.3,0.15,0.1,0.05,

所以元=1x0.05+3x0.1+5x025+7x0.3+9x0.15+11x0.1+13x0.05=6.8,

所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长在6.8小时.

【小问3详解】

由（2）知,利用“学习强国”时长在［4,6）和［10,12）的频率分别为0.25,0.1,故两组人数分别为250,100,

7

采用分层抽样的方法从［4,6）组抽取人数为250x——=5,记作〃，b,c,d,e；从［1。,12）组抽取人数为

7,,

100x---=2,记作A,B；

350

从7人中抽取2人的基本事件有

ab.ac.ad.ae.aA,aB,be.bd.be.bA,bB.cd.ce.cA,cB,de.dA^dB.eA,eB,AB,共21个，来自不同组的基

本事件有反么,共10个，

故所求概率P=—.

21

S1

18.记S”为数列｛〃〃｝的前〃项和，已知〃］=1,/"的公差为一的等差数列.

+3

（1）求｛a.｝的通项公式;

111c

(2)证明：—+—+—<2.

2

【答案】（1）an=n；

（2）证明见解析.

【解析】

S,〃二1

【分析】（1）利用题意建立等式求出S“，然后利用%二°C，求出通项即可;

电—S_1，7后2

1111、，111、

(2)先将-+f+f+—F=放大为1+'^^-+-~~-H—+----——,然后裂项求和即可.

12232n21x22x3(ZZ-I)H

【小问1详解】

因为4=1,所以二上=!

1x22

S”1s11

又因为《是公差为§的等差数歹u,所以由T5+§（〃-I）'

所以S“」心+1)(2〃+1).

6

当〃22时，=S〃一S〃_i=〃2,〃=1时，卬=1也满足上式.

所以｛4｝的通项公式是4=/；

【小问2详解】

1,c

当”=1时，一=1<2,不等式成立;

当时，—+—+•--+—=-+—+—+—<1+----+----+•••+------

12232n21x22x3(n-l)n

+•••+=2——<2.

n-1n

19.如图，，ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,(b+c+d)(b+c-d)^3bc.

(1)求A大小；

(2)若,ABC内点P满足ZPAB=ZPBC=ZPCA=/PAC,求ZBPC的大小.

【答案】(1)A=1Jr

(2)ZBPC=—

【解析】

【分析】(1)对3+c+a)S+c—a)=3〃c变形,运用余弦定理求解.

7T

(2)设NPCB=a,/P8A=〃，则a+夕=§,再在.PBC与A上钻中运用正弦定理得出名月的另外一个

关系即可求解.

【小问1详解】

因为(Z?+c+a)(人+c—a)=3bc.

所以Z?2+。2—4=/c

由余弦定理得,cosA=--

2bc

TT

所以A

【小问2详解】

A

jrTT

因为A=土，所以—

设/PCB=a,/PBA=0

PBPC

在,PBC中,由正弦定理得，嬴£=.兀

sin

6

PBPA

在，MB中，由正弦定理得，.%一sin0

sin—产

6

.71

sin—.n,

两式相除得一6="，所以sinssin尸=一

sma疝工4

6

7TTT

又因为。+P=7T-4X—=—

63

13

所以cos(a+/?)=cosacos/?-sinar-sin/?=—,BPcosacosP~~

31

所以cos(a-B)=cosacos+sinor-sin=—+—=1

即a—1=0所以&=夕=工，所以/6。。=乃一工—工=也

6663

20.如图所示，在直三棱柱ABC-4与G中，AB±BC,AB=BC=2BB,=2,E为8片的中点.

(1)直线与平面AEG的交点记为/,直线4片与平面AEC的交点记为N.证明：直线〃平面

ACGA.

(2)求二面角E—AG—C的大小;

【答案】(1)证明见解析

(2)90°

【解析】

【分析】(1)由题意可知，8。,5男,四两两垂直，分别以3C,53”痴为无轴，y轴，z轴建立如图所示

的空间直角坐标系3-孙z,可得=(2,1,—2),AC=(2,0,—2),进而得到“7丫〃4£,从而得证；

(2)求得平面平面ACC】A和平面AEG的法向量，进而求解.

【小问1详解】

根据题意知，5。,5片,瓦1两两垂直，

分别以3C,5用,54为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系5-孙z.

因为43=30=23g=2,E为8月的中点.

所以A(0,0,2),3(0,0,0),C(2,0,0),£[0,3,0：C,(2,1,0),

所以AG=(2,1,-2),AC=(2,0,-2).

直线BC与GE的交点即为直线BC与平面AEG的交点M,

直线AE与4月的交点即为直线4片与平面AEC的交点N,

所以M(—2,0,0),N(0,l,—2).

所以;W=(2』,—2),MTV=AG,

所以MN//AC-又AGu平面ACC〕A，MN<Z平面ACC】A,

所以直线MN〃平面ACGA.

【小问2详解】

设G为AC的中点，则5GJ_AC,G(l,0,l),

因为平面ABC1平面ACGA,平面ABCc平面ACGA=AC,且BGu平面ABC,

所以5GJ_平面AC£4,

所以平面ACGA的一个法向量BG=(1,0,1).

由AE=畤―2)EG=卜川,

设〃=。;。,九/。)是平面AEQ的法向量,

n-AE=O；%—220=0

则，4,，

[〃曰=0|2%o+lyo=o

令为=2,得〃=]—g，2,g),即BG-"=O,

所以二面角E-A£-C大小是90°.

21.设FE分别是椭圆三+上=l(a〉6〉0,aeN*)的左，右焦点，椭圆上存在点N,满足NEA/=90°

且△石7\下的面积为20.

(1)求b值；

(2)设点尸的坐标为(1,1),直线过点P,与椭圆交于点A,8,线段A3的中点记为设若1月0|是|FA|与

IFBI的等比中项，求。的最小值，并求出此时直线/的方程.

【答案】(1)275

(2)a的最小值是7,3x—7y+4=0或3%+7丁-10=。

【解析】

【分析】(1)根据余弦定理以及椭圆定义得到焦点三角形中满足的边角关系，即可联立求解，

(2)根据点点距离可求解|冏,|EB|,由向量的模长可得FM2=^FA+^FB—AB,结合等比中项即可得

求解.

【小问1详解】

m+n-2a.

设|NE|=帆,|NF|=〃，根据题意得病+，2=4°2=4（/—/），解得〃=20,

mn—40

【小问2详解】

由于/是线段A3的中点，所以引0=3(，么+用)=府2=；(，么2+必2+2用.用

・22-21/222\

又AB=FB-FA=AB=FB+FA-2FB-FA^FB-FA=-\^FB+FA-AB),

因此

212121121.21/-2-2-2\1-21-212

FM=-FA+-FB+-FAFB=-FA+-FB+-IFB+FA-AB\=-FA+-FB——AB

442444\/224

故|EMF=g(|阳2+陷’—J明2,

又因为是|FA|与|FS|的等比中项，所以

\FM^\FA\-\FB\,所以|A5|2=2(|B1|-|FB|)2,—①

设人(药,%),5(%2，％)，记0=力2_20,

|FA|=+eV+=Jxj+2cX]+0?+Z?-1—.——x^~+2cXj+tz"=tzH-x1，

YVa)\aa

同理|FB|=—x+a,

a2

所以|E4|—|m|=一（为一工2），代入①，得（菁―龙2）2+（%一女）2=今（再一龙2）二

。CI

整理,得（/_%）2=。^（七一々）2,一②

由②得°2一40之0，因为aeN*，

所以。的最小值为7,

Qy—y3

此时(％_%)9'=启(/_々)9，即直线/的斜率为士

3

又点尸(1,1)在椭圆内，于是两条直线y-l=±-(x-l)均满足要求.

综上，a的最小值是7,此时直线/的方程为3x—7y+4=0或3x+7y—10=0.

【点睛】圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系;

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用己知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

22.设函数/(x)=ln(x+l)-依,aeR,曲线y=/(无)在原点处的切线为x轴，

(1)求。的值;

V2

(2)求方程/(%)=--—解;

x+2

(2024V023-5

(3)证明:<6<I2023J

2022

【答案】(1)a=l

(2)x=Q

(3)证明见解析

【解析】

【分析】(1)根据题意可知/(可在x=0处的导数值为0,解方程即可；

2x

(2)构造函数g(x)=ln(x+l)———,利用导数证明其单调性，再通过观察法得x=0是g(x)的零点,

x+2

从而得解；

202411(11

(3)利用(2)中结论证明In——>---------,再构造函数〃(x)=lnx-」x——,利用导数证得

20232023.52(x

20231

，从而赋值证得In<------