2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三上学期期末数学试题及答案解析

2021-2022学年河北省石家庄市行唐县高三上学期期末数学试题

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},N={3,4,5},贝IJCU(MnN)=()

A.{5}B.{1,2}C.{3,4}D.[1,2,5}

2.设i3z=3+5i,则z=()

A.-5+3iB.-5-3iC.5-3iD.5+3t

3.等比数列{an}的前？I项和为%,S3=3,S6=9,则公比q=()

A.√3B.√2C.V3D.V2

4.某高校甲、乙两位同学大学四年选修课程的考试成绩等级(选修课的成绩等级分为1,2,3,

4,5,共五个等级)的条形图如图所示,则甲成绩等级的中位数与乙成绩等级的众数分别是()

A.3,5B.3,3C.3.5,5D.3.5,4

5.己知一个圆锥的体积为3兀，任取该圆锥的两条母线α,b,若a,b所成角的最大值为小

则该圆锥的侧面积为()

A.3√3πB.6πC.6√3πD.9π

6.已知椭圆E：'+A=l(α>b>0)的左顶点和上顶点分别为4,B,若ZB的垂直平分线

过E的下顶点C,则E的离心率为()

A.乎B.咚CYD.ɪ

7.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：10OmL血液中酒精含量达到

20〜79mg即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，

其血液中的酒精含量上升到了L2mg∕m3且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每

小时20%的速度减少，若他想要在不违规的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数为(参考

数据：lg2≈0.3,仞3z048)()

A.6B.7C.8D.9

8.已知实数α,b满足+ecι=e^^α+1,b3+eb=e~b—1,则α+b=()

A.-2B.OC.1D.2

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列式子等于CoSQY)的是()

A.COS(X-%B.sin(x—y)

C.Kcosj+s收D2COS2危-≡)-l

10.设α>0,b>0,且ακb,则“a+b>2”的一个必要不充分条件可以是()

A.a3+b3>2B.a2+b2>2C.ab>1D.」>2

ab

11.若函数y=/(X)的图象上存在两点，使得/(X)的图象在这两点处的切线互相垂直，则称

y=∕(χ)具有T性质.下列函数中具有7性质的是()

A.y=sin2xB.y=tanx

C.y=I|,%∈(―2,+∞)D.y=ex-Inx

12.已知定义在［0,勺上的函数/(x)=sin(s-今(3>0),()

A.若/(x)恰有两个零点，则3的取值范围是［5,9)

B.若f(X)恰有两个零点，则3的取值范围是(5,9］

C.若/(x)的最大值为则3的取值个数最多为2

D.若/Q)的最大值为则3的取值个数最多为3

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知平面向量五，方满足I五I=IBl=驾皿，则五与B夹角的大小为.

14.将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率

为.

15.根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平

行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从A(5,τ∏ι)

沿直线y=n⅛发出的光线经抛物线y2=4x两次反射后，回到光源接收器。(5,G2)，则该光线

16.已知P为正方体ABCD-IGDl表面上的一个动点，AB=2,M是棱48延长线上的一

点，且而=前，若PM=2√Σ,则动点P运动轨迹的长为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知数列｛α7l｝满足多■+号+詈+…+招=”•

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设勾=(-ɪr(^-ʌ),求数列｛匕｝的前Ti项和S71.

18.(本小题12.0分)

△ABC的内角4,B,C的对边分别为α,b,c.已知c2+=2bccos4

⑴求B.

(2)—,若问题中的三角形存在，试求出COSC；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

在①ɑ=^b+等，(2)b=1a+^c,③C=孝匕―乎a,这三个条件中任选一个，补充在

横线上.

19.(本小题12.0分)

为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了100个苹果.经整理分析后发现,

苹果的重量双单位：kg)近似服从正态分布N(0.4Q2),如图所示，已知P(X<0.1)=0.1,

P(X<0.3)=0.3.

(1)若从苹果园中随机采摘1个苹果，求该苹果的重量在(050.7］内的概率;

(2)从这100个苹果中随机挑出8个，这8个苹果的重量情况如下.

重量范围(单位：kg)[0.1,0.3)[0.3,0.5)[0.5,0.7]

个数242

为进一步了解苹果的甜度，从这8个苹果中随机选出3个，记随机选出的3个苹果中重量在

［0.3,0.7］内的个数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

20.(本小题12.0分)

如图，在多面体ABCEF中，△ABC和AACE均为等边三角形，D是AC的中点，EF//BD.

(1)证明：AC1BF-,

(2)若平面48C_L平面4CE,求二面角4-BC-E的余弦值.

21.(本小题12.0分)

已知函数/(X)=ax2+cosx,

(1)当a=；时，讨论f(x)的单调性;

(2)当x≥0时，f(x)≥l,求α的取值范围.

22.(本小题12.0分)

如图，已知双曲线C：y-y2=1.过P(Ll)向双曲线C作两条切线，切点分别为4(%ι,yι),

8(%2，、2)，且XlVO,%2>°∙

(1)证明：直线PA的方程为竽-y。=1∙

(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∆AFP+∆BFP=π.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查集合的运算，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

利用交集定义求出MCN=[3.4}.再由补集定义能求出CU(M∩N).

【解答】

解：全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,2,3,4},N={3,4,5},

MCN={3,4},

则CU(MnN)={1,2,5}.

故选：D.

2.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查复数的除法运算，是基础题.

直接根据复数的四则运算即可求出Z=-5+3i.

【解答】

解：由题意可得：Z=巴2=生孚=殍=-5+31.

T一一1

故选：A

3.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题.

由已知结合等比数列的求和公式即可求解.

【解答】

解：因为等比数列｛α7l｝中，S3=3,S6=9,

所以q≠1.

卜ι(l-q3)=3

贝09

则公比q=V2.

故本题选D.

4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查中位数、众数，条形图，是基础题.

将甲的所有选修课等级从低到高排列可得甲的中位数，由图可知乙的选修课等级的众数.

【解答】

解：由条形图可得，甲同学共有10门选修课，将这10门选修课的成绩等级从低到高排序后，第5,

6门的成绩等级分别为3,4,故中位数为半=3.5,乙成绩等级的众数为5.

故选C.

5.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥的结构特征、圆锥的性质等基础知识，考查运算求解能

力，属于中档题.

设圆锥的母线长为R,底面半径长为r,由题可知圆锥的轴截面是等边三角形，从而R=2r,由圆

锥的体积解得r=√3,由此能求出该圆锥的侧面积.

【解答】

解：如图，设圆锥的母线长为R,底面半径长为r,

由题可知圆锥的轴截面是等边三角形.

所以R=2r,圆锥的体积V=gτ∏∙2*^r=3兀，解得r=√5,

所以该圆锥的侧面积为7∏∙R=6π.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题.

求出椭圆的顶点坐标，结合4B的垂直平分线过E的下顶点C,列出关系式，求解离心率即可.

【解答】

解：由题可知4(-α,0),B(O,b),C(O,-b),所以MCl=IBC则√H亏京=2b，

解得a=同，所以E的离心率e=∏=M

故选：A.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题.

设他想要在不违规的情况下驾驶汽车，至少需经过的小时数为3则1.2X(1-0.2)，<0.2,即

1

O<

8t6-再结合对数函数的公式，即可求解.

解：设他想要在不违规的情况下驾驶汽车，至少需经过的小时数为£,

1,,,▲、？1⅛6Ig2+lg3

则1.2x(l-0∙2)t<0.2,即0.8t<i,两边同时取对数可得，t>=ɪ=⅛∑⅛=

Ig2+lg30.78

7.8,

l-3lg2=1-0.9

故若他想要在不违规的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数为8.

故本题选C.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的奇偶性、单调性，属于拔高题.

构造函数/(%)=X3+ex-e-x由已知条件及函数的单调性、奇偶性即可得到.

【解答】

构建函数f(x)=X3+ex-e~x,

贝!!/(—%)=(―%)3+e~x—ex=—/(x))

∙∙∙f(x)是定义域为R的奇函数，且单调递增，

由a3+e。=e~a+1.b3+eb=e~b—1,

得/(α)=1,f(b)=-1=/(α)=-f(by)=/(—h)=>α=-b,所以α+b=0.

故选：B.

9.【答案】CD

【解析】

【分析】

本题考查了余弦的差角公式以及倍角公式，考查了学生的运算能力，属于基础题.

根据余弦的差角公式以及倍角公式化简即可求解.

【解答】

解：因为

COS(X-B6)=COSXCOS7O÷Sinxsiny6

√31

=ɪCosx+2sinx

=^≡÷≡,故C正确，

根据余弦的倍角公式可得C。S(XY)=2cos2(≡-ɪ)-1=2cos2给-∣)-1,故。正确,

其余两项均不正确，

故选：CD.

10.【答案】AB

【解析】

【分析】

本题考查必要不充分条件的判断，考查不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

对于4a+b>2,'=⅛α3+h3=(ɑ+ð)(ɑ2+b2—ah')>2,a3+b3>2,推不出α+b>2;

2

对于B,α>O,b>0,且α力b,"a+b>2”，作差法推导出+b2>的学>2>a2+b2>2,

推不出a+b>2;举反例判断C和。.

【解答】

解：设a>0,ð>0,且QHb,"a+b>2",

对于4,“a+b>2"=>a3+⅛3=(a+h)(a2+h2—að)>2,

a3+h3>2,推不出Q+h>2,例如Q=1.6,b=0.1,

・・.“a+b>2”的一个必要不充分条件可以是苏+川>2,故4正确；

对于B,a>0,b>0,且aHb,aa+b>2”,

212(a+b)22>2。2+2。匕+匕2々2—2ab+b2(a—b)?

zz2zz

Va+h-r~-=a÷h---------=--------=—2->0，

ʌa2+b2>S,3>2>

a2+b2>2,推不出a+b>2,例如a=1.6,6=0.1,

.∙∙lta+b>2n的一个必要不充分条件可以是a2+>>2,故3正确；

对于C,"a+b>2”不能推出ab>2,例如a=1.6,b=0.5,故C错误；

对于D,"a+b>2”不能推出工+:>2,例如a=2,b=3,故。错误.

ab

故选：AB.

11.【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查了利用导数研究函数的切线方程和导数的几何意义，属中档题.

函数y=f(χ)的图象上存在两点，使得/0)的图象在这两点处的切线互相垂直，则判断y=((无)存

在两个函数值的乘积为-1即可.

【解答】

解：当L；s2x时,y_^2

y=SiMx=snχE[-IΛ1],

当区=牌2=与时，满足条件；

当y=tcmx时，丫'=»白>0恒成立，不满足条件；

(-zJxe(-2,1)

当y=∣g∣∣,Xe(—2,+8)时，y'=Γx+f，

x+2τ⅛^∈(i-+∞)

l(x+2)

当=-[,%2=2，满足条件；

当y=e*-，nx时，y'=ex—ɪ.函数y'=e'—g单调递增,

,

且y'l=JL=eɜ-ɜ<-1,y∣χ=1=e-1>1,

所以存在Vlmz=一1，/Ix=X2=1，满足条件.

故本题选ACD

12.【答案】AC

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的图象与性质、函数图象的交点个数问题，还涉及分类讨论的思想，属于中档

题.

若/(x)恰有两个零点，贝忱≤93-:<27r,解得3的取值范围，进行分类讨论，借助正弦函数的

性质及图象可得结果.

【解答】

解：令O=3X-：∈-?，

若/(X)恰有两个零点，则兀≤-・<2兀，

解得3的取值范围是[5,9).

若/(X)的最大值为5,分两种情况讨论：

①当今3-3≥],即3≥3时，

根据正弦函数的单调性可知，/(X)max=1=5,解得3=5;

②当彳3--<,即O<3<3时,

根据正弦函数的单调性可知，y=SinX在［-权刍上单调递增,

则/(x)maχ=Sine3一力=5>°,

函数y=SinGX—和与y=之在(0,3)上的图象如下图所示：

可知存在唯一的3∈(0,3),使得SinG3-$=?•

综上可知，若/(x)的最大值为最，则3的取值个数最多为2.

故选：AC.

13.【答案】ɪ

【解析】

【分析】

本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题.

设I引=IEI=驾至I=t，由数量积的计算公式可得I日+B∣2=2t2,可得五.石=0,由向量垂直

的性质可得答案.

【解答】

解：根据题意，设I引=I至I=驾现=t，

则I五+6I=√2t(则有I五+方/=a2+b2+2a∙b=2t2>

可得有∙E=O,即五则五与石夹角的大小为宏

故答案为最

14.【答案】I

O

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件4恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题.

利用Ti次独立重复试验中事件A恰好发生k次概率计算公式能求出正面向上的硬币枚数为2或者3的

概率.

【解答】

解：将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，

则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为：

P=⅛⅛2φ3+c⅛)3⅛)2=I∙

故答案为：

O

15.【答案】12

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的几何性质，考查逻辑推理能力，是基础题.

由抛物线的定义即可求解光线经过的路程.

【解答】

解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程为x=-1,

由题可知，线段BC经过焦点F,

设B(XI,恤)，C(x2,m2),

所以IABl=5-勺,∖BC∖=X1+X2+2,∖CD∖=5-X2,

•••该光线经过的路程为MBl+∖BC∖+∖CD∖=12.

故答案为：12.

16.【答案】(¢+1)兀

【解析】

【分析】

本题考查简单组合体的结构特征，是中档题.

由题意可知，BM=2,且点P的轨迹是以M为球心，2夜为半径的球与正方体表面的交线，作出

草图，根据弧长公式即可求出结果.

【解答】

解：因为AB=2,M是棱48延长线上的一点，且而=丽，所以=2,

由勾股定理，可知MC=BlM=2√∑,

因为PM=2√Σ,所以点P的轨迹是以M为球心，2鱼为半径的球与正方体表面的交线，如下图所

示：

所以动点P的运动轨迹在平面ABCD上的部分是以M为圆心，MC=2√Σ为半径的圆弧，该圆弧所

对圆心角为a动点P的运动轨迹在平面4通BBl上的部分是以M为圆心，MBI=2遮为半径的圆弧,

该圆弧所对圆心角为会动点P的运动轨迹在平面BBlClC上的部分是以B为圆心，BC=2为半径的

圆弧，该圆弧所对圆心角为奈

所以动点P运动轨迹的长为2×≡×2√2+^×2=(√2+l)π.

故答案为：(V∑+l)ττ.

17.【答案】解：⑴因为1+与+詈+…+3=η，

所以n≥2时，y+y+H-----Ξ=n—1,

z46FZ⅛n-⅛Z

两式作差得，⅛=1,所以般≥2时，an=2n,

又九=I时，y=1,得α⅛=2,符合上式，

所以｛αn｝的通项公式为αn=2n.

(2)由(1)知b"=(-l)n(ɪɪil-ɪ)=

所以Sn=瓦÷62+力3+…+b∏

Illll11

=一(1+2)+(2+3)-q+N+…+(T)%+E)

即数列出“｝的前n项和S71=-1+(-irɪ.

【解析】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

(1)利用已知条件写出n≥2时，⅛+τ+⅞+-+S⅛=n-l.推出黑=1，求解5｝的通项公

式.

(2)化简勾的表达式，利用裂项消项法求解数列的和即可.

18.【答案】解：(I)由C?+(bcos4)2—2CbCoSyl=0,可得(C—AosA)?=0,则c=bcosA；

・•.由正弦定理可得SiTIC=CosAsinB,

在△4BC中，SinC=Sin(A+B)=SinAcosB+CosAsinB,

则SirL4cos8=0,

VsinA≠0,・•・cosB=0,

Tr

,・,0<8<兀，・,•B=2

(2)选择条件①Q=乎b+4c，在448C中，=ɪ-=ɪz,可得Si九4=rsiziB+孚SinC，

''Jy33StnAsιnBStnC33

∙∙∙B=ʌsinA=CoSC,

・•・cosC=ɪ+^∙sinC,由cosC—SinC=1，

根据辅助角公式，可得CoS(C+≡)=∣,

•••0<C<

∙∙∙c+i=l>即C建，

故cosC=ɪ-

选择条件②

由b=ɪɑ+vc,得炉—ɪɑ2+∣c2+vac,

22442

222

VB=≡,Λh=α+C,因止匕Q2+C2="2+,C2+^3

，442

整理得3α'2—2√3αc+C2=0>即(bα—c)2=0,则=c;

在RtAABC中，≡=tanC=√3,

“π

∙'∙c=3∙

故COSC=ɪ.

选择条件③

⅛√2,√2

田C=--γa,

得b=>∕2c+a>

即Z>2=2C2+a2+2y∕2ac=a2+C2>

整理得c?+2V2αc=0,

由于a>0,c>0,则方程无解，故不存在这样的三角形.

【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算

能力和数学思维能力，属于中档题.

(1)直接利用关系式的变换和正弦定理的应用求出结果；

(2)选条件①时，直接利用正弦定理和三角函数关系式的变换的应用求出结果；

选条件②时，利用关系式的整合的应用求出结果；

选条件③时，利用边长的应用和关系式的变换的应用判断出三角形不存在.

19.【答案】解：(1)已知苹果的重量x(单位：kg)近似服从正态分布N(0.4Q2),

由正态分布的对称性可知，

P(0.5<X<0.7)=P(0.1≤x<0.3)=P(x<0.3)-P(x<0.1)=0.3-0.1=0.2,

所以从苹果园中随机采摘1个苹果，该苹果的重量在(050.7］内的概率为0.2.

(2)由题意可知，随机变量X的所有可能取值为1、2、3,

P(X=I)=⅜k■P(X=2)=警=热P(X=3)=:=2，

所以，随机变量X的分布列为:

X123

3155

P

282814

所以E(X)=Ix^+2x∣∣+3x群=；.

【解析】本题主要考查离散型随机变量的期望及其分布列，正态分布，属于中档题.

(1)利用正态曲线的对称性结合已知条件可求得P(0.5<x≤0.7)的值；

(2)分析可知，随机变量X的所有可能取值为1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，可

得出随机变量X的分布列，进一步可求得E(X)的值.

20.【答案】(1)证明:连接DE,

因为4B=BC,且。为4C的中点，所以4C1BD,

因为AE=EC,且。为4C的中点，所以4CJ.DE,

因为BDU平面BDE,DEU平面BDE,且BCnDE=D,

所以ACl平面8DE,

因为EFuBD,所以B,D,E,F四点共面，所以BFU平面BDE,

所以AC_LBF；

(2)解：由(I)可知DEL4C,

因为平面ABC1平面ACE,平面ABCn平面力CE=4C,DEU平面4CE,

所以DE1平面4BC,

所以。C,DB,DE两两垂直，

以D为坐标原点，DC,DB,DE为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

设AB=2,则B(0,√5,0),C(l,0,0),F(0,0,√3)>

从而玩=(1,-百,0),CF=(-l,0,√3).

设平面BCE的一个法向量为元=(x,y,z),

则俨屈="—7⅞=0,令X=QW=I,Z=I,

(n∙CE=—X+V3z=0

所以平面BCE的一个法向量为亢=(√3,1,1).

平面48C的一个法向量为沅=(0,0,1).

设二面角Z—BC—E为0,由图可知。为锐角，

贝!∣cosO=Icos<n,in>|=|I="≡½=g

''Iniximl1√5×15

所以二面角a-BC-E的余弦值为印

【解析】本题考查线与线垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，

转化思想以及计算能力，是中档题.

(I)由已知可证4C∙LB0,AC1DE,进而可证AC1平面BDE,从而可证AC1BF；

(2)先证DEL平面ABC,可得。C,DB,DE两两垂直，以。为坐标原点，DC,DB,DE为坐标轴建

立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面BCE,平面ABC的一个法向量，利用向量法求二面角

A-BC-E的余弦值.

21.【答案】解：(1)当a=T时，∕,(x)=x-sinx,

令g(x)=x-s讥X,则g'(x)=1-CoSX≥0,所以g(x)在R上单调递增.

又因为g(0)=0,所以当X<0时，f'(x)<0,当x>0时，/'(X)>0,

所以/(x)在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.

,

(2)∕(x)=2ax—sinxf且f(0)=1.

①当Q≥^tx≥0时，由(1)可知％-si"X≥0,

所以了(%)≥0,f(%)在(0,+8)上单调递增,则f(%)≥f(O)=l,符合题意.

②当α≤0时，∕φ=a×φ2<1,不符合题意，舍去.

③当0<a<；时，令/(X)=2ax-sinx,则F'(x)=2a—cosx,

,

K∣