高中数学选择性必修一：1-4 空间向量的应用（教案）

空间向量的应用

【要点梳理】

要点一、直线的方向向量和平面的法向量

1.直线的方向向量：

若A、B是直线/上的任意两点，则AB为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是

直线/的方向向量。

要点诠释：

(1)在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的

方向向量。

(2)在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量

的坐标运算。

2.平面的法向量定义：

已知平面α,直线取/的方向向量”,有a_La,则称为@为平面ɑ的法向量。

要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量。已知一平面内

两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量。

3.平面的法向量确定通常有两种方法：

(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量;

(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下:

(i)设出平面的法向量为n=(x,y,z)；

(ii)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(aɪ,b∣,c∣)>b=(a2,b2,C2)；

,n∙a=O

(hi)根据法向量的定义建立关于x、y、Z的方程；

[n-b^Q

(iv)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方

程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

要点二、用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行。

(1)线线平行

设直线4，4的方向向量分别是人则要证明4〃4,只需证明。〃b,即“=幼(AeR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线/的方向向量是。，平面a的法向量是“，则要证明〃∕α,只需证明。_1“，即α∙"=00

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与已知直线

的方向向量是共线向量。

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平

面内两个不共线向量线性表示即可。

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可。

②若能求出平面ɑ,4的法向量”，V,则要证明。〃£,只需证明〃〃y。

要点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直。

(ɪ)线线垂直

设直线4，4的方向向量分别为b,则要证明4^/2，只需证明αD,即“1=0。

(2)线面垂直

①设直线/的方向向量是α,平面α的法向量是“，则要证明∕∙La,只需证明

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直。

(3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直。

②证明两个平面的法向量互相垂直。

要点四、用向量方法求空间角

(1)求异面直线所成的角

已知a,b为两异面直线，A,C与B,D分别是a,b上的任意两点，a,b所成的角为

∖ACBD∖

则COSθ=

∖AC∖-∖BD∖

(2)求直线和平面所成的角

设直线/的方向向量为平面ɑ的法向量为〃，直线与平面所成的角为。，。与〃的角为",

则有sinθ=|cosφ∣=-----------

∣Λ∣∙∣M∣

(3)求二面角

如图，若于A,PBLQ于B,平面PAB交/于E,

则/AEB为二面角，的平面角，/AEB+/APB=I80。。

若丹•%分别为面a，β的法向量，<n,n>=arccos∣；：∣

l2

则二面角的平面角NAEB=〈外,%〉或万-〈四,吗〉，即二面角6等于它的两个面的法向量的夹角或夹

角的补角。

①当法向量外与叫的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角。的大小等于〃I，%的夹角

(n1,n2)的大小。

②当法向量小,%的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角。的大小等于阳，%的夹角的

补角万一〈〃1，%〉的大小。

要点五、用向量方法求空间距离

1.求点面距的一般步骤:

①求出该平面的一个法向量;

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

∖AB∙n∖

即：点A到平面α的距离d=J-----L其中Bea,”是平面α的法向量。

∖n∖

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

∖AB∙n∖

直线a与平面α之间的距离：d=』------l,其中A∈α,5∈a,〃是平面α的法向量。

∖n∖

∖AB-n∖

两平行平面％尸之间的距离：d=j-----L其中Aea,Be£,方是平面α的法向量。

∖n∖

【典型例题】

类型一、求平面的法向量

例1.已知正方体ABCD-AIBlCIDl的棱长为1,在BC、DDl上是否存在点E、F,使B∣E成为平面ABF

的法向量？若存在，请证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在，请说明理由.

【解析】如图所示的空间直角坐标系，

则A(1,0,1),B(1,1,1),Bl(1,1,0).

设F(0,0,h),E(m,1,1),

则A3=((),l,0),B1E=(m-l,0,l),FA=(1,(),1-A).

若用石是平面的法向量，则

•：AB-BiE^O,ΛAB±B1E.ABF

B}EFA-m—\+l—h=m—h=O>Λh=m.

即E、F满足DF=CE时，BIB是平面ABF的法向量.

故存在，且E、F满足DIF=CE.

举一反三：

【变式1】如图，在长方体ABCD—ABCD中，AD=AA1=LAB=2,点E为AB的中点，求平面CDIE

的一个法向量。n,八

【答案】如图，建立空间直角坐标系D-xyz,

则A(1,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),D∣(0,0,1),

所以E(1,1,0)

所以CE=(1,-1,0),CDl=(0,-2,1)o/D-

设平面CDIE的法向量”=(x,y,z),贝∣J:

n-CE=Q,n-CDi=0

X=y

所以

-2y+z=0z=2y

令y=l,则x=l,z=2o

所以平面CD正的一个法向量为(1,1,2)

【变式2】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD。

求证：MN是平面PDC的法向量。

【答案】如图，建立空间直角坐标系A-型，\

设正方形ABCD的边长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0)./；\/

C(1,1,O),D(O,1,O),P(O,O,1)

∙,∙M(—,0,0),N(5,5Q)

.∙.MN=(04」),PC=(-1,-1,1),DC=(-1,0,0)

22

.∙.MN∙PC=0X(-l)+Lχ(-l)+kl=O,

22

MNoC=OX(τ"xθ+kθ=θ

22

MN1PC,MNIDC

即MNJ_平面PCD,所以MN为平面PCD的法向量。

类型二、利用向量研究平行问题

例2.如图，在正方体ABCD-AIBlGDl中，M、N分别是CiC、BlG的中点.求证：MN〃平面AiBD.

【解析】解法一：建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为1,则M[0,1,；)、

(\1

D(0,0,0)、Ai(1,0,1)、B(1,1,0),于是AlN=I-,0,-

(22

设平面AIBD的法向量是n=(X,y,z),

-----X+z=0

则〃∙ZMl=O,且〃∙BO=0,得4

x+y=0

取x=l,得y=-l,Z=—I.n=(1,—1,—1)

又MN∙n∙(l,-l,-l)=0,.∖MNA-n,MN〃平面A∣BD.

.1∙1I1

解法二：•：MN=CxN-ClM=-C1B1--C1C=-(DlAi-DiD)=-DAi,

M/V〃ZMI,,MN〃平面A∣BD.

举一反三:

【变式】如图，在四棱锥0—4BC。中，底面ABC。为矩形，OA，底面ABC。，Q4=2,

AD=2AB^2,M为。4的中点，N为BC的中点，求证：直线MN〃平面OC。。

【解析】建立空间直角坐标系A-DZ,

则A(0,0,0),β(l,0,0),C(l,2,0),Z)(0,2,0),

M(0,0,1),N(l,l,0),0(0,0,2),

.,.MN=(1,1,一1),OC=(1,0,0),DO=(0,-2,2)

1r—•一

法一：：MN=DC一一DO,：.MN、DC、DO共面

2

又MNU平面OCD,DCU平面OC0,

平面平面

Z)OUOCO,DCOO=JD,.∙.ΛfiV/OCo

法二：设平面OCf)的法向量为"=(x,y,z),则

/"00=0-Iy+2z=0

J,取z=l,得〃=((),1,1)

n∙DC=0x=0

,∙.MΛ^.n=(l,1,-1).((),1,1)=(),

又MNC平面OCD,MNH平面OCD

例正方体的边长为、、、分别是棱卜卜的中点.

3.ABCD-AlBlClDl4,MNEFAIDA∣Bl.DICBlCl

求证：平面AMN〃平面EFBD.

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则A(4,0,0),M(2,0,4),

N(4,2,4),D(0,0,0),B(4,4,0),E(0,2,4),F(2,4,4)

.∙.MN=(2,2,0),EF=(2,2,0),AN=(0,2,4),DE=(0,2,4).

可见MN=EF,AN=DE,ΛMN√EF,AN/7DE,MN〃平面EFBD,AN〃平面EFBD.

XMN∩AG=G,平面AMN〃平面EFBD.

举一反三:

【变式】如图，在直三棱柱中，o工，点在线段上，且

ABC-A1B1C,ZABC=90,BC=2,CClEBB∣EB1=I,

D、F、G分别为CG、CIB|、GAl的中点。求证：平面EGF〃平面ABD。

【答案】如图，由条件，知BA,BC,BBl两两互相垂直，建立直角坐标:

由条件知、设

B(0,0,0)D(0,2,2),B1(0,0,4),BA=a,

则A(a,0,0)。

所以

BA=(a,(),()),80=(0,2,2),B1D=(0,2,-2)«

BpBA=O,BQBD=O+4-4=0

所以BiDJ_BA,BιD±BD.,因此BID_L平面ABD(1)

由E、F、G的定义，知E(0,0,3)、G(-,l,4)`F(0,1,4)

2

所以EG=(*1,1),EF=(0,1,1),

BQ∙E<j=0+2—2=0,B1D-EF=0+2-2=0

所以B|D_LEG,B∣D±EF

所以BiD_L平面EFG

结合(1),可知平面EGF〃平面ABD

类型三、利用向量研究垂直问题

例4.在正方体ABCD—AlBIClDl中，P为DDl的中点，O为底面ABCD的中心,

求证：BQ_L平面PAC。

【答案】如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2,

则A(2,O,O),P(0,0,1),C(0,2,O),B,(2,2,2),O(1,

则04=(1,1,2),AC=(-2,2,0),ΛP=(-2,0,1)

VOiS1-AC=-2+2=0,OB1∙AP=-2+2=0

所以OB」AC,OB∣±AP,

所以OBl_L平面PACo

举一反三：

【变式】如图，M、N、P分别是正方体ABCD—A∣B∣C∣D∣中的棱CG、BC、CD的中点。

求证：A|P_L平面DMN。

【解析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2,则D(0,0,0),

Ai(2,0,2),P(0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0)

法一：∙.∙AP=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),DM=(0,2,1)-(0,0,0)=(0,2,1),Z)∕V=(1,2,0)

.∙.AiP-DM=(-2,1,-2)-(0,2,1)ɪ(-2)X0+1X2+(-2)×1=0

4P∙r>TV=(-2,l,-2)∙(l,2,0)=(-2)×l+l×2+(-2)×0=0

..AiPA.DM,AiPLDN

ΛA∣P±DM,A∣P±DN,又YDMDDN=D

A∣PJ"平面DMN

法二：设平面DMN的法向量为〃=(1,X,y)

ULDMnn∙DM=(l,x,y)∙(0,2,l)=2x+y=0(1)

nLDNnn-DN=(l,ɪ,y)∙(1,2,0)=1+2x=0(2)

,1-i

由(1),(2)解得X=—,y=1,/.n=(1,—,1)

22

又AP=(-2,1,—2),.∙∙n=-2Λ1P

nAP二AP∙h≡iDMN

即直线AIPJ_面DMN

例5.在正三棱锥P-ABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是APAB的重心，E、F分别为BC、PB

上的点，且BE:EC=PF：FB=I:2,求证：平面GEFL平面PBC.

【答案】如图建立空间直角坐标系.

令PA=PB=PC=3,则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、

E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0).

于是PA=(3,(),()),FG=(1,0,0),故PA=3bG,ΛPAFG.

而PAj_平面PBC,；.FGJ_平面PBC.

又FGU平面EFG,平面EFG_L平面PBC.

举一反三:

【变式】在正方体ABCD-AIBlClDl中，E是棱BC的中点，试在棱Cel上求一点P,

使得平面AIBIP，平面C∣DE.

【解析】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为1,则Al(1,0,1),B1(1,1,1),E(ɪ,1,0),

2

Cl(0,1,1),设P的坐标为(0,1,a).

.∙.44=(0,1,0),AP=(-l,l,α-l),DE=∣pl,0LOG=(0,1,1)。

设平面AlBlP的一个法向量为m=(x,y,z),

则<H…1AB1=0[y=Q

H1A,P=O[τ+y+(αT)Z=O

令Z=1,则得x=a—1,所以平面AIBIP的一个法向量为nι=(a—1,0,1).

设平面CIDE的一个法向量为m=(x,y,z),

〃,∙DE=0』x+y=O

贝叫-n<2,令y=l,则得χ=-2,z=-l,

R,DG=。y+z=0

所以平面CIDE的一个法向量为m=(-2,1,-1).

要使平面AlBIP，平面CQE,则nrm=0=-2(a—1)—1=0,解得a=',

2

所以当P为CG的中点时，平面AlBIPj"平面CQE.

类型四、利用向量求空间角

例6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点片,6分别是A1B1,CQ的一个四等分点，求BEl与DFt

所成的角的余弦值.

【解析】设正方体的棱长为1,分别以D4,OC,为单位正交基底建立空间直角坐标系OXyz,

31

则3(1,1,0),1),D(0,0,0),4(0,71).

,∙,^=(1,∣,1)-(1,1,0)=(0,-151).

S=*I)TO,0,0)=*1),

M=乎J%=乎,明㈤片=OXo+(—%；)+IX

15

16_15

cos<BET,DFi>=/A」勺√Γ7√Γ7^17-

El

㈣伊44

因此，与。片所成的角的余弦值是

1117

举一反三:

【变式】如图，长方体ABCD-AIBICIDl中,AB=16,BC=10,AA∣=8,点E,F分别在A∣B∣,CIDl上,

AiE=DF=4.过点E,F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

lDI

(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；

(II)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

【解析】(I)交线围成的正方形EHGF如图:

(II)作EMJ_AB,则AM=AIE=4,EM=AAl=8,

∙.∙EH=EF=BC=10,.∙.MH=^EH1-EM2=6,/.AH=Io

建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(10,0,0),H(10,10,0),

E(10,4,8),F(0,4,8),FE=(10,0,0),H£=(0,-6,8).

,n-FE=Q,10%=0,一

设〃=(X,y,z)是平面EHGF的法向量,则/即《所以可取〃=(0,4,3)

n-HE=0,[-6y+8z=0,

II∖n-AF∖4J54J5

又AP=(—10,4,8),故Los<",Ab>=3π-⅛=上，所成角的正弦值为、一

11∣n∣∙∣AF∣1515

例7.四棱锥S-ABC。中，底面ABC。为平行四边形，ZABC=45,A3=2,BC=2√2,侧面

SBCL底面ABcD.SA=SB=B

(1)证明S4"LBC;

(II)求直线SO与平面S钻所成角的正弦值.

【答案】(1)作S0L8C,垂足为。，连结A。，

由侧面SBC_L底面ABC。，得SoJ_平面ABCr>.

因为S4=S3,所以AO=80.

又NABC=45,AAQB为等腰直角三角形，AOLOB.

如图，以。为坐标原点，为X轴正向，建立直角坐标系O-孙z,

A(√2,0,0),B(O,厄0),C(O,-0,0),5(0,0,1),

；SA=(√2,0,-l),CB=(0,2√2,0),

ΛSA-Cfi=O,所以曲，BC.

(2)取AB中点E,SE中点G,连结SE,OG,

mpr√2√2Nr,.√2√21.

则E(W，空-，°)，6(7,7-,3).

OGSE=(-,-Λ),AB=(-√2,√2,0).

44222

SEOG=Q,ABOG=O,：.OG±SE,OGlAB

所以OGL平面5AB,

OG与。S的夹角记为α,SQ与平面5ΛB所成的角记为夕，则α与夕互余.

D(√2,-2√2,0),DS=(-√2,2√2,1).

COSa=°G∙DS=吏,SinP=叵,

IOGHOSl11H

所以，直线SO与平面SM所成的角的正弦值为叵.

11

例8.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,且BE_LAE。

求二面角3—AC-E的余弦值；

【解析】(I)分别作AB、Co的中点0、O1,

则OE=O3=1,Oa=2,建立空间直角坐标系,

则。(0,0,0),A(0,-l,0),B(0,l,0),C(0,l,2),£)(0,-1,2),E(l,0,0)

ΛAE=(1,1,0),AC=((),2,2),OE=(1,0,0),DA=(0,0,2),

平面ABC的法向量OE=(1,0,0)

设平面ACE的法向量〃=(x,y,z),则〃_LAE,nlAC,

n-AE=0[x+y=O

即<',令y=1,则X=Z=—1,，〃=(-1,1,-1),

〃・AC=012y+2z=()

OE∙n_-1

.,.cos<OE,n>=

∣0E∣∣nΓ√3-√l^τ

故二面角3—Ae-E的余弦值为迫

举一反三:

【变式】如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCO是正方形，侧棱Po_L底面ABCr>,PD=DC,

点七是PC的中点，作Eb交PB于点F.

(1)求证：PB工平面EFD；

(2)求二面角。一PB-O的大小.

【答案】如图所示，建立空间直角坐标系，点。为坐标原点，设。C=L

则有A(1,O,O),P(O,O,1),E(O,13.

22

(1)依题意得3(1,1,()),P3=(1,1,-1).又。E=(O,L,L),

22

11

故PBDE=O+-------=0,：.PBlDE.

22

由已知EELP3,且EFDE=E.

:.PBJ_平面EFD.

（2）已知尸尸，由（1）可知PBLDF,故NEED是二面角。一心一。的平面角.

设点尸的坐标为（苍y,z）,则点尸=（x,y,z—1）.

∙/PF—kPB,.∙.(x,Xz—1)=后(LL-I)=(NN-A),即X=Ny=Z,z=l—左

,.∙PB∙DF=Oy.,.(l,l,-1)∙(k,k,l-k)=k+k-l+k=3k-l=0.

1112

Z=',点尸的坐标为

F£=(-lɪ-ɪ).

366

因为COSNEFD=~_I

I怛EπHJRDl

,11I、,I12、1

=<3%‘”3'3'=i=l

√6√6-1-2

6'Tɜ

所以NEED=60°,即二面角C—~B—O的大小为60°.

例9.长方体ABCD—AIBlCIDl中，AB=4,AD=6,AA1=4,M是AlCl的中点，P在线段BC上,

且ICPl=2,Q是DDl的中点，求：（1）M到直线PQ的距离；（2）M到平面ABIP的距离。

【解析】如图，建立空间直角坐标系B—xyz,

则A(4,0,0),M(2,3,4),P(0,4,0),Q(4,6,2),

(1)VQM=(-2-3,2),QP=(-4-2-2),

__=(-2)XL+(-3)X(-2)+20(-2)

IQM∙Qp∣J(-4)2+(-2)2+(-2)2

OKi在0?上的射影的模

IQPI105√6

---------------

√246

故M到PQ的距离为JlQMI2-平=J17玛=暮

(2)设n=(x,y,z)是平面ABlP的某一法向量，则n，AB∣,n_LAP,

：-A----B>+'。,©—A*P=T4,0)；.工_4x++44z%=0

因此可取n=(1,1,1),由于苏=(2,-3,-4),那么点M到平面ABlP的距离为：

IMA∙πII2x1+(—3)X1+(-4)x11...-.--√A□rr-r⅛-∆i5\/3

d=-----------=---------———L=-Y-,故M到4平血γABrljP的距离为ɪjo

∣n∣√33'3

举一反三：

【变式1】已知直线1的方向向量ɑ=(-1,0,1),点A(1,2,—1)在1上，

则点P(2,—1,2)至IJl的距离为()

A.√L5B.4C.√∏D.3√2

【答案】C【解析】连接AP,做P垂直直线1交于B,则IABI=变回=2=0,

Ial√2

所以∣PB∣=,∣APF-∣AB∣2=JI9—2=717.

【变式2】棱长为1的正方体AC∣,E、F分别是BlC|、CIDl的中点，求点Al到平面的BDEF的距离

【答案】如图，建立空间直角坐标系D—xyz,则知B（l,1,O）,E（∣,l,l）,F（0,pl）.

设％=(χ,y,z)是平面E刑法向量

由力丽，力而,丽=(1,1,0),DF=(θ,ɪ,l)

2

n∙DB=x+y=0x=~y

得_____ɪ贝叶1

n∙DF=—y+z=0Z=--y∙

22

一1

令y=1,得〃=(-1,1,--).

设点Al在平面BDFE上的射影为H,连结A∣D,知AID是平面BDFE的斜线段.

,.-•13

・・・AD=(-l,0,-l),.∙.AD-n=(-1)(-1)+0×1+(-1)(一―)=

22

222222

又---I而I=√(-l)+O+(-l)=√2,∣H∣=^(-1)+1+(-1)=|,

3

.∙.cos<而,而>=

IAMXI"I42×-2

2

_____________后

A1W∣=∣A1Z)I×cos<A1£),A1W>=√2×—=I.

即点Al到平面BDFE的距离为1.

【巩固练习】

一、选择题

1.若直线/的方向向量。=（；,0,1）,平面夕的法向量为分=（一1,0,-2）,则（）

A.IHβB.lLβC.IuβD./与夕斜交

1.【答案】B；【解析】由于b=—勿，所以/_L4

2.若平面α的法向量为〃，直线/的方向向量为V,直线/与平面ɑ的夹角为。，则下列成立的是（)

A.CoSe=qLB.CoSe=SC.sin。=**D.Sine="ɪ

l∕∕∣∣v∣IIVl|〃IM∣A∣∣v∣

2.【答案】D【解析】若直线与平面所成的角为。，直线与该平面的法向量所成的角为夕，则夕=90。-6

3.已知平面ɑ内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中，

在平面ɑ内的是().

333

A.(1,—1r1)B.(1j3,—)C.(1,—3,一)D.(—1,3,----)

222

3.【答案】B【解析】对于选项A,PA=(1,0,1),则PA∙N=(l,0,l)∙(3,l,2)=5≠0,故排除A；

对于选项B,PA=(I,—4,g,则P=一4,j∙(3,l,2)=0,故B正确，故选B。

4.P是二面角Q一AB-/7棱上的一点，分别在α、夕半平面上引射线PM、PN,如果NBPM=NBPN=45。,

ZMPN=60o,那么二面角的大小为().

A.60oB.70oC.80oD.90°

4.【答案】D【解析】不妨设PM=a,PN=b,作ME,AB于点E,NFLAB于点E如图:

oab

VZBPM=ZBPN=45,ΛPE=-j=fPF=-j=f

：.EMFN=(PM-PE)∙(PN-PF)=PMPN-PMPF-PEPN+PE-

haab

abcos60o-a∙-=cos45o——=∙bcos45°+

√i2√T2√2√2

abababab.....

=-----------------+——=0,..EM±FN

2222

：EM、FN分别是a、£内与棱AB垂直的直线,

.∙.EM与FN之间的夹角就是所求二面角，即a-AB-力的大小为90。。

5.已知ABC-AgG是棱长均等于“的正三棱柱，。是侧棱CG的中点，点G到平面的距离()

A.巨B.巨3√2D.当

C.------Ct

4842

5.【答案】4【解析】A88∣A为正方形，，A8_LA5，又平面A8Q_L平面ABgA，

.•・48_1面ABQ,，A∣B是平面ABQ的一个法向量，设点C到平面ABQ的距离为d,

o

∣AC∙A,β∣∣AC∙(AlA+Aβ)∣∖λC-AtA+AC-AB)∖∣0+a×axcos6O∣夜

贝l」:d=

∣Aβl∖∣2a4

b=(l,-2,2),且α与人的夹角的余弦值为也，则χ=()

6.若向量Q=(X,4,5),

6

PA=2a,

A.3B.-3C.—11D.3或—11.•一=、，,

V2

5

OPlFffiABC,OA=0CfAB=BC,0n

6：田案。84。η解舱麴七良心>=_匕2_x+2

以。为原点，射线OP为非负Z轴，建立曲杜鲁1角洲杀汨.

xyz

可求得平面PBC的法向量〃

、f√2

α,0,C«,0,0.

设姆加娜4景生阿段2

/ODn√2W

.,.CoS〈0。,〃〉二

设。P=/?,则P(0,0,/?).∣OD∣∙∣n∣^30

7.在三棱锥尸一ABC中，AB±BC,AB=BC^-PA,点。、D分另演娴平制献新力嫡用强顾ABCf

2

则sin∣cos(C>D,n)∣ɪ^ʒɑθ,

则直线。。与平面PBC所成角的正弦值()θ-

√21o8√3C√210√210

A.------D.------c.--------D.

636030

7.【答案】D；【解析】

B

y

二、填空题

8.若平面ɑ的一个法向量为n=(3,3,0),直线/的一个方向向量为b=(1,1,1),贝“与α所成角

的余弦值为.

,λ⅛c⅛∙,ʌ/ɜ_*z,∣,t--,.,.(3,3,0)∙(1,1,)ʌ/ð

8.【答案】—【解析】Ffa一一'1一''二一一

3√3777∙√i7TTi3

9.若分别与一个二面角的两个面平行的向量m=(-1,2,0),n=(3,0,—2),且m、n都与二面角

的棱垂直，则该二面角的余弦值为.

9.【答案】一主叵或豆至【解析】∙.∙cos〈丸〃〉=(T；2,0)•(：，0，一2)=不=,

6565√l+4∙√9+4√6565

.∙.该二面角的余弦值为一更画或主叵

6565

10.正方体ABCD-AIBlCIDl中，E、F分别为AB、CCI的中点，则异面直线EF与AlCl所成角的大小

是。

10.【答案】30。【解析】以A为原点建立直角坐标系(如图所示)，设B(2,0,0),

则E(1,0,0),F(2,2,1),C1(2,2,2),A1(0,0,2),

.出=(1,2,1)，AG=(2,2,0)，.∙.CoS〈前,AG〉=M•2=(联•尊°)=与,

IEF∖∙∖AiCi∖√6∙2√22

O

，COS<EF,Λ1CI)=30

11.在棱长为1的正方体ABCD-AgGA中,E、F分别是CD的中点，求点B到截面AEG尸的

距离,

【答案邛

【解析】则A(∣,0,0),F(θ,ɪ0),E(1,11)..∙.AE=(0,i∣),AF=(-l,i0)；

2222

设面AEC尸的法向量为〃=(1,ZM),则有：/ι∙AF=0√ι∙ΛF=0,

—2+4=O

4=2E

2=，Λn=(1,2,-1),又AB=(0,1,0),

A=-I

—1H—λ=0

2

所以点B到截面AEC1F的距离为半；=A=-

∣n∣√63

三、解答题

12.如图，正四棱柱ABC。—AgClq中，AA=2AB=4,点E在CG上且GE=3EC∙

求二面角A-OE-B的余弦值.

12.建立直角坐标系。一冲z,设3(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,l),Λ1(2,0,4)

DE=(0,2,1),DB=(2,2,0),AC=(-2,2,-4),DA,=(2,0,4).

设向量”=(x,y,Z)是平面D41E的法向量，则:〃_L£)E,n±DA1

故2y+z=(),2x+4Z=0,令y=l,则