高中数学一轮复习-指数函数讲义

指数函数专题讲义

【课前小测】

1、求函数/(x)=X71-2X的最值

答案：函数的定义域是,8,；]

设♦n.玉＜乙＜1-,

那么/(当)-j\x2)=xx-Jl-2X1-(x2-y]l-2x2)=(x,-x2)+(Jl-2%-Jl-2xj)

由于西＜%＜3，所以/(西)-/(々)＜0

所以函数是单调递增函数

因此函数/(x)=X-J1_2x在x=；取到最大值,最小值是负无穷大

2、设/(x)为奇函数，g(x)为偶函数，/(x)+g(x)=x2+2x,试求/(X)和g(x)的表达式。

答案：依据题意/(X)为奇函数，g(x)为偶函数

所以/(X)=-f(-x),g(x)=g(-v)

由于f(x)+g(x)=x2+2x,

所以/(-x)+g(-x)=(-X)2+(-X)+1

得到-/(X)+g(x)=x2-x+1(1)

又/(x)+g(x)-x2+2x(2)

由(1)⑵可以计算出/(x)=x,g(x)=x2-1

【学问要点】

指数与指数塞的运算

'定义，女叫做根式.刈做根做

且

根式’计戌a>0

助奇数

2出=<

!11。助偶数

指数与指数幕的运算•卜

W=C(a>0.a/w0

2,，=/(a>Qa»M。)

有理指械禀运算法则•3Xabr=C*(a>0.b>0.aW0

4u。=£<>_*=—(a，(1且aw。*)

【考点分类】

考点一:指数函数的化简

_55

【例1】化简/沅3/的结果是()

2

(A)a1(B)后(C)a2(D)a3

答案:C

117।

【例2】(0.027尸_(—一)-2+(2-)2-(VI-1)"；

答案:45

【例3]，|)+2,•(2：[一(0.01)°'=

答案：-

15

⑴(8尸2+(0.0।1户<一।gA5,________

小、"Y((从丫

(2)―-+・--x——

(1)=乎

答案：:心

⑵上

16

考点二:求定义域和值域

[例4]泮<2*-3,那么X的取值范，围为.

答案：(-0,4)

/]、一”+2，

【例5】函数y=一的值域为()

(A)R(B)(0,-KO)(C)/产)(D)(0,；

答案：C

x+3(x<0)

【例6】函数/(幻=彳2，(x>0)，那么/(/(-2))为；不等式

/(x)>2的解集是

答案：2,(-l,0]U(l,+«))

【例7】函数=+1的定义域是[3,2],那么该函数的值域为

答案：-,5

4

考点三：指数大小比拟

【例8】(血尸>(亚)J那么a,b的大小关系

是()

(A)l>a>b>0(B)a<b(C)a>b(D)a<b<0

答案：C

【例9】以下大小关系正确的选项是()

(A)0.43<304<^0(B)0.43<^°<30-4

(C)3g<0.43</(D)^°<3°-4<0.43

答案：B

考点四：奇偶性

【例10］假如函数f(x)=(|)|x|(8<X<+00),

那么函数/(》)是()

(A)奇函数，且在(—8,0)上是增函数(B)偶函数，且在(—8,0)上是减函数

(C)奇函数，且在(0,+8)上是增函数(D)偶函数，且在(0,+8)上是减函数

答案：D

【例12］定义域为R的偶函数/(x)在(一oo,0］上是减函数，且=那么不等式

f(2x)>2的解集为.

答案：(-l,+oo)

2.指数函数的定义与图像

指数函数的定义：一般地，函数夕=/(。>0且。*1)叫做指数函数。

指数函数的图象：定义域为R,值域为(0,+8)，恒过定点(0,1)

当。>1时，函数y="单调递增；当0<。<1时，函数夕="单调递减。

考点五：指数函数图像

【例1】假设a>0且awl,那么函数y=a"2—1的图像必过定点

答案：(2,0)

【例2】★假设直线y=2a与函数y=\ax-l|(a>0且aH1)的图像有两个公共点，那么a的

取值范围是

答案：

考点六：指数函数性质

2X

【例1】★/(%)=

1+2、

(I)求/(一1),/(1)的值;

(II)求/(。)+/(-。)的值;

(III)判别并证明函数/(x)的单调性。

12

答案：(i)〃—i)=3，/(x)=3

2a2~aT+1

(II)/(〃)+/(-〃)=----+------=-----=1

1+2“1+2-“1+2”

2X1+2x-1,1

-------1-----

(I,IW)=TTF1+2、1+2V

设王<工2£R，

112X,-2Xj

那么f(x.)-f(x,)=1--------(1-------)=-------------

J'-1+2"l+2IJ(1+2")(1+2-)

那么有，(不)-/(%)<0,因此函数为单调增函数

【例3】函数/(X)=22X—5-2'—6,其xe[0,3],

(I)求/(x)的最大值和最小值；

(II)假设实数。满意：f(x)-a>0恒成立，求a的取值范围。

答案：(I)/(X)=(2A)2-5.2V-6

令t=2"，那么有te[1,8]

549

/(0=/2_5/_6=(^__)2__

549

依据二次函数图象对称性知道函数的最大值是/(8)=18,最小值是/(7)=-一

24

(II)/(x)>a所以，a</(x)min

因此a的取值范围是18,一?)

考点七：指数函数图象变换

【例1】把函数》=2、的图像向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y=/(x)的图像,

那么()

(A)/(X)=2X+2+2(B)/(x)=2'r-2-2

(C)/(X)=2'V-2+2(D)/(X)=2'V+2-2

答案：D

【例4】要得到函数/(x)=2日的图象，可以将

(A)函数y=2,的图象向左平移1个单位长度

(B)函数y=2、的图象向右平移1个单位长度

(C)函数歹=2一、的图象向左平移1个单位长度

(D)函数丁=2一、的图象向右平移1个单位长度

答案：D

【易错题】

1.函数歹=(；)的单调递增区间是()

(A)口，2]⑻[1,3]©(-*2](D)[2,+oo)

答案：D

2.a+(71=5，那么a2+a2—

答案：23

(iv-2x

怎样由y=4'.的图像，得到函数歹=--2的图像？

答案首先，化简函数得到〃x)=2i-2从而依据左加右减的原那么，

得到右移2个单位，下移2个单位

b-V

3.定义在R上的函数/(X)=一是奇函数

2+a

(1)求a,6的值；

(2)推断/(x)的单调性，并用单调性定义证明；

⑶假设对任意的xeR,不等式/(X-2X2)+/(M)>0恒成立，求实数人的取值范

B.

答案(1)由于函数是奇函数且定义域在R上，因此有/(0)=()

b-\

带入式子得到/(0)=—=0,因此6=1

1+Q

1-2~x2X-12r-1

又/(-x)=--=-f(x)=---

2一'+。a2x+i-2t+。

因此a=b=\

(2)证明：设e凡为

22=4(%二0

/&)一/(%2)=

1+2xt1+2%(1+2xJ(l+2须)

因此函数式单调减函数

⑶由函数为奇函数可知/(x—2x?)>—〃—左)=//),

由(2)可知函数单调递减因此x-2x?<人

4>-2(x—‘)2+，因此k的取值范围是(；,+8

22\2

4、,那么函数y=(g)的值域

答案：2?+x<W=23+4

依据指数函数的变换，

得至ljx2+x<-2x+4

解得WxWl

因此y=的值域为(；46

【课后检测】

1.函数/(x)=l—e®的图象大致是

(A)(B)(C)(D)

答案：A

2.函数y=j2*-l的定义域是()

(A)(-8,0]B、(-oo,0)C,[0,+oo)D、(0,+oo)

答案：c

3.[(—5)4，—15°的值是.

答案：4

4.假设10'=3,10'=4,那么10"'=.

3

答案：-

4

5.函数/(x)=3*-1,xe[-1,2]的值域是

-2-

答案：--,8

【课后作业】

1,函数y（x）=a*T（a>0且4/1）,假设函数y=/（x）的图像经过点尸（3,4）,求a的值,

答案：依据函数经过点尸（3,4）,得到产=*即a=2

B为函数/(x)=-^=的定义域.

2.集合A={x\\<2x<4},

y/x-a

(1)假设。=1,求/A8,(Q5)U”;

(2)假设ZU8=8,求实数。的取值范围.

答案：⑴/集合求解得[0,2],8集合求解得X>a

当a=1时，x>I

/n5=(l,2],C*U/=(-8,2]

(2)由于ZU8=8，8集合比/集合大，因此8集合要包含月结合，所以a<0

3.函数/(x)是定义在火上的偶函数，且X20时，/(x)=

(I)/(—1)的值；

(II)求函数f