福建省厦门市某中学高三理科数学阶段训练

福建省厦门市厦门三中高三阶段训练

理科数学

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第n卷3至4

页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（共60分）.

注意事项：

1.答第I卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号填写在答题卡

规定的位置。一

2.第I卷共2页。答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。在试卷上作答无效。

参考公式：

球的表面积公式：S=47tR2,其中R是球的半径；

圆锥的侧面积公式：S=nrl,其中,为圆锥底面半径，/为圆锥母线长。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的。

2

（D在复平面内，复数「对应的点所在象限是

1+z

（A）-（B）二（C）三（D）四

⑵若集合4={1,加},8{2,4},则"加=2"是"4。8={4}"的

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件

⑶设尸是双曲线£逐心"右支上一点'其一条渐近线方程是31y分

别是双曲线的左、右焦点,若坐1=8,则IP里等于

(A)4(B)12(C)4或12(D)2或14

(4)a=J2xdx,2e.vf/x,c=f2sinxdx,piija>b、c大小关系是

ooo

(A)a<c<h(B)a<b<c(c)c<b<a(Q)c<a<b

（5）某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花

可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种

同一种颜色，则不同的种植方法共有

（A）48种（B）36种©30种（D）24种

（6）某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结

果，企业统计员制伍了如下的统计表格。由于不小心，表格中A、C产

品的有关数据己被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C

第-1-页共10页

产品的样本容量多10件，根据以上信息，可得C产品的数量是

产品类别ABC

产品数量(件)1300

样本容量(件)1300

(A)900件(B)800件(C)90件(D)80件

⑺已知直线/，〃?,平面a、B,且/，。，机匚瓦给出下列四个命题：

①若a〃P，则/_Lm;②若/1m,则。〃0；③若a10,则〃/如④若〃/〃?，则aJ.J3;

其中真命题是

(A)①②⑻①③(C)①④(D)②④

(8)设。为函数y=sinx+JTcosx(xeR)的最大值，则二项式(。石一十乃的展开式中含

(11)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-/(x)J(x-2)=/(x+2),且xe(-1,0)时,

小)=2々,则川叫20)=

4,4

(A)l(B)j(0-1(D)-j

(12)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其而积的取值范围是

[3从,4仇],则这一椭圆离心率e的取值范围是

第n卷(共90分)

注意事项:

第-2-页共10页

第I【卷共2页。考生必须使用0.5毫米黑色签字笔在指定答题区域内作答，填空题请直

接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

(13)按如图所示的程序框图运行程序后，输出的结果是63,则判断框中的整数H的值是

卜+y—320,

(14)若满耳》一丁+120,设〉=H,则无的取值范围是

(3x-y-5<0,

(15)在AA8C中，三个内角A,所对的边分别是a1,c,已知

c=2,C=g,A4BC的面积等于JI则a+b=

(16)给出下列四个命题：

①命题"VxeR,无2>0"的否定是"lveR,x2<0"；

②线性相关系数，的绝对值越接近于1,表明两个随机变量线性相关性越强;

1兀

③若€[0,1],则不等式42+从<z成立的概率是彳；

④函数IIX—11-1X+1IK。恒成立，则实数。的取值范围是[2,+8)。

其中真命题的序号是。(填上所有真命题的序号)

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

(17)(本小题满分12分)

若函数/(x)=sin2ax-"sinaxcosax(a>())的图象与直线>=机相切，相邻切点之

71

间的距离为了。

(I)求机的值；

n

(II)若点A(x,y)是y=/(x)图象的对称中心，且x求点A的坐标。

ooo2

(18)(本小题满分12分)

第-3-页共10页

亚冠联赛，山东鲁能、广岛三箭、阿德莱德联、浦项制铁分在同一组进行循环赛，已知规

则为每轮胜得3分，平得1分，负得0分。第一轮在2月24日的比赛中，山东鲁能客场1:0

战胜广岛三箭；第二轮主场对阵阿德莱德联；第三轮客场对阵浦项制铁。若山东鲁能主场胜的

21

概率为负的概率为五，客场胜、平、负是等可能的。假定各场比赛相

互之间不受影响。在前三轮中求：也

(I)山东鲁能两胜一平的概率；

(H)山东鲁能积分的数学期望。

(19)(本小题满分12分):/\、、\

直四棱柱ABCD-ABCD^中，底面ABCD为菱形，且幺二二二二

,D=60，M=gE为叩延长线上的一点，。一面。产。"

(I)求二面角E-AC一2的大小；

(II)在一上是否存在一点P,使竹/面4C?若存在,求。户PE的值，不存在,

说明理由。

(20)(本小题满分12分)

已知数列数｝的前〃项和为S,且(。-1)5=a(a-l)(a>0)(neN»)o

nnnn

(I)求证数列仅｝是等比数列，并求。；

nn

(H)已知集合4=*|x2+a<(a+l)x｝,问是否存在实数a,使得对于任意的〃eN*,都

有SeA?若存在，求出。的取值范围；若不存在，说明理由。

n

(21)(本小题满分12分)

已知抛物线C的方程是y=«x2(a〉0),圆C的方程是

I2

G+()，+1)2=5,直线/:y=2久+皿"<0)是C,C的公切

12

线，F是C的焦点.

1

(I)求机与a的值；

(H)设A是抛物线C上的一动点，以A为切点作C的

1I

第-4-页共10页

切线交y轴于点6,若而=,则点”在一定直线上，试证明之。

(22)(本小题满分14分)

己知/(x)-Inx-ax2-hx。

(1)若。=-1,函数/(X)在其定义域内是增函数，求匕的取值范围；

(H)当。=1力=-1时，证明函数/(x)只有一个零点；

(HI)/。)的图象与％轴交于A(x,O),8(x,0)(x<x)两点A8中点为C(x,0),求证:

12120

r(x)<o0

0

高三阶段训练

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共60分)

DAADABCCCBCD

二、填空题(每小题4分，共16分)

I〜

(13)5；(14)[-,2];.(15)4；(16)②④

三、(17)解：(I)f(-^)-sin^ax-sinaxcosax

1-coslaxJT.八.小九、1

=--------------———sin2ax=-sm(2ax+—)+—,.....................................................3分

2262

13

由题意知，机为/(x)的最大值或最小值，所以机=一]或m=].................................6分

7T

(II)由题设知，函数/(X)的周期为,，・・・。=2............................................................8

分

/./(x)=-sin(4x+±)+—令sin(4x+2)=0,得41+三=无冗/eZ)

6266

=—A(keZ),由0W?—(v］伏eZ),得左=1或攵=2

第-5-页共10页

“,5K1Jin1

因此点A的坐标为(2^-,—)或12

分

(18)解：(I)记山东鲁能两胜一平的事件为A,由于第一轮已经取胜，则事件A包含第二轮

主场胜，第三轮客场平：或第二轮主场平，第三轮客场胜，

21112111

从而P(A)=X十—•X—―+_,5分

334391236

II

所以山东鲁能两胜一平的概率为后,6分

(H)(法一)记山东鲁能在第二轮得分为随机变量X,

X310

则X的取值为3、1、0

由已知得X的分布列为：P211

21193412

EX=3x—+lx_+0x——=—..........Q分

34124”

14

.第三轮得分为随机变量丫，因胜、负、平概率相等，故Ey=(3+i+o)xm=§....11分

19479

所以前二三轮山东鲁能积分的数学期望为3+1+]=五..........................12分

(法二)记山东鲁能在第二轮和第三轮得分为随饥变量X,则X的取值为

6、4、3、2、1、0

212121111I11

P(X=6)=_x_=_,P(X=4)=—,P(X=3)=_x_+_x_=_，尸(X=2)=_x_=_

339363312344312

所以前三轮山东鲁能积分的数学期望为五+3=—

(19)解：(I)设AC与BO交于°,如图所示建立空间直角坐标系0-X”,设月AB=2,

第-6-页共10页

则A(3,0,0),8(0,1,0),C(—4,0,0),r>(0,-l,0),D(0-1,2),设E(o,l,2+/O,

则DE=(0,2,h),CA=(273,0,0),£>/=(5/3,1,-2),

OE_L平面OAC,:.DEA.AC,DE1DA,

11111

/.2-2/i=0,/z=1,gpE(0,1,3)...............3分

?=(0,2,1),通=(-/1,3)

设平面EAC的法向量为而=(x,y,z)..............5分

m±CA,(x=0

则由_得《L

,m±AE,-x/Jx+y+3z=0

•，•平面E4C的一■个法向量为加=(0,3,—1)

m-DE_yjl

又平面DAC的法向量为力后=(0,2,1),cos<m,DE>^

\11\m\\DE\~~

1

二面角E-AC-R大小为45.............................................7分

(H)设。庵以(平一?),得？户=占。产=(。,备，占),

••¥=W+7=(-V3,-i,o)+(o,2L,2_)=3W,金)

10分

一LX-lX、3

♦,APH面EAC,.'.API.in,.".—y/3x0+3x——+(―1)x----=0,;.A,=—,

111+X1+X2

存在点P使APH面EAC,此时DP:PE^3:2..............................12分

11

(20)解：(1)当〃=1时，v(a-l)5=a(a=a(a>0)..................1分

111

2时，由(。-1)S=a(a-l)(a>0),得(〃-1)S=a(a-1)

nnn-1n-\

(a-l)o=a(a-a),变形得：—»-=a(«>2)............................4分

nnn-1Q

n-1

故伍}是以。=。为首项，公比为。的等比数列，=*......................6分

n1n

(H)(1)当a=l时，A={1},S=〃，只有"=1时SeA,

nn

第-7-页共10页

，。=1不适合题意.........................................7分

(2)。〉1时,A={xl1V尤<a},S=a+a2>a,.\SeA,

22

即当a>1时，不存在满足条件的实数a..............................................................................9分

(3)当0<。<1时，A={x\a<x<l}

ca八、r〃、

而S=Q+Q2+・・・+〃”=---------(l—an)G[a,-------)

〃1—al-a

ro<a<i,1

因此对任意的〃wN*,要使SEA,只神a解得彳..................11分

"[41,2

i\-a

综上得实数。的范围是(0，；]............................................................................12分

(21)解：(I)由己知，圆C的圆心为C(0,1),半径r=

22

.个/八、_,|1+加1

由题设圆心到直/：y=2x+m(m<0)的距离d=、，一

g+J1)2

\\+tn\层v

即,==J5,解得“=-6(m=4A舍去).................................3分

-2+(-1)2

设/与抛物线相切的切点为A(x,y),又y'=2ax,得2ax=2,:.x=-,y=一

000oOQOQ

121

代入直线方程，得一=一=—6,.二a二2.............................6分

aao

，1

所以加二—6,tz=<-

o

(n)由(I)知抛物线c的方程为y=!冗2,焦点F(0,m

i62

设4(x，!心)，由.(i)知以A为切点的切线方程为y=(%-x)+1x2......................8分

1o1311bl

令x=0,得点B的坐标为(0,-!心)

6।

所以F/4=(X光2—力，户=(0,——彳)...................................10分

1612612

第-8-页共10页

____3_3

，FM-FA+FB-(x^,-3),因F(0,—),设M(x,y),:.FM=(x,y--)=(x,-3)

33

.••>=一］,即加点在定直线y=-］上.........................................12分

(22)解：(I)依题意:f(x)=lnx+x2-bx

1/f(x)在(0,+8)上递增，：./'")='+2x-人20对xe(0,+Q0)恒成立

X

即bd+2x对xe(0,+oo)恒成立，，只需〃<(』+2幻......................2分

XXmin

X>Q,：.L+2X>2JI当且仅当x=4时取"=b<272,

x2

•.2的取值范围为(-00,26...........................................4分

(II)当。=16=T时，fM=\nx-x2+x,其定义域是(0,+℃),

12x2—x—1(X—1)(2x+1)

r(x)=一一2x+1=---------=--——------,...........................6分

XXX

：.•x>0,r.0<x<1时，/'(X)>0;当x>l时，f'(x)<0

函数/(x)在区间(0/)上单调递增，在区间(L+S)上单调递减

・•・当X=1时，函数/(X)取得最大值，其值为/(1)=1111-12+1=0

当XH1时,/(》)</(1),即/(幻<0

•••函数/(X)只有一个零点................................