2023年初升高数学暑假衔接-指数函数（教师版）

第2.5章根本初等函数

2.5.3指数函数

度］溪理要求了iw求心中有修

1了解指数函数模型的实际背景，体会引入有理指数幕的必要性：

2理解有理指数基的含义，了解实数指数事的意义，掌握塞的运算；

高中要求3理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图

象，探究并理解指数函数的单调性与特别点；

4在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.

LJJ基础知识SSSfl,■立完.知识体系

1指数函数概念

一般地，函数丫=谈（。>0且a#l）叫做指数函数，其中％是自变量，函数的定义域为R.

注

（1）指数函数3/=谈9>0且。彳1）中系数为1,底数是不为1的正实数的常数，指数是变量％.注意与塞函

数的区别，如y=2,是指数函数，y=x3是幕函数.

（2）指数函数中为什么要限制a>0且a片1呢？

①假设a<0,则对于x的某些值或无意义，如（-2尸，此时x取;、：…等没意义；其函数图象没明显特点；

②假设a=0或a=1时，函数没研究价值.

2指数函数的图像与性质

函数名称指数函数

定义函数y=a'（a>0且awl）叫做指数函数

a>10<a<1

1

图象

|2.(0,1)

定义域R

值域(0,+8)

过定点图象过定点(0,1),即当x=0时，y=l.

奇偶性非奇非偶

单调性在R上是增函数在R上是减函数

a变化对图

在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低.

象的影响

(例)画出函数、=2'和丫=(小2)X的图象，说下他们的函数性质.

解

y=2Z在R上递增，非奇非偶函数，值域是(0,+8);

y=(1)\在R上递减，非奇非偶函数，值域是(0,+8).

y=2/y=(/12\)x关于y轴对称.

3指数型函数模型

形如y="aX(keR,且kXO；a>0,且a41)的函数称为指数型函数.

量［经典例题从典例中见.能力

(题型1)指数函数的概念

(典题1)已知指数函数/(%)的图象经过点(-2，孤试求f(-l)和/⑶.

解析设f(x)=a"(Q>0,且a工1),

•••函数/(X)的图象经过点(-2,/,••.a-2=)解得a=±4.

又a>0,则a=4,•••/(x)=4X,

.•./(_1)=4-1=：,/(3)=43=64.

变式练习

1.以下函数中是指数函数的是（填序号）.

x11

①y=2.C\/2）X；②y=2X-l；③y=（g）；④、=必：⑤y=3、；©y=X3.

答案③

解析①y=2•（衣尸的系数不是1,不是指数函数；

②y=2，T的指数不是自变量X,不是指数函数：

③y=（T是指数函数；

④y=炉的底数是X不是常数，不是指数函数；

⑤y=3二的指数不是自变量X,不是指数函数；

1

⑥y=%3是幕函数.

故答案：③

2.函数y=（a-2）2a，是指数函数，则（）

A.。=1或（1=3B.a=1C.a=3D.a>0且aK1

答案c

解析由指数函数定义知Q蓝七;，所以解得a=3.应选C.

（题型2）指数函数的图象与性质

（典题1）1.如图是指数函数①y=a*②丫="③丫=/=#的图象，贝ija力,c,d与1的大小关系是

（）

A.c<d<l<a<bB.d<c<l<b<a

C.c<d<l<b<aD.l<c<d<a<b

答案B

解析•.当底数大于1时指数函数是定义域内的增函数，

当底数大于0小于1时是定义域内的减函数，可知a，b大于1,c,d大于0小于L

又由图可知a】>/,即a>b.di<c\即d<c.

a,b,c,d与1的大小关系是d<c<l<b<a.

应选：B.

变式练习

解析f(x)是分段函数，依据》的正负写出分段函数的解析式，

y-[谟。>°)

f(xx)

^-[-a\x<oy

••.x>0时，图象与y=a'在第一象限的图象一样，

x<0时，图象与y=a*的图象关于x轴对称，

应选：C.

2.二次函数y=-x2-4x(x>-2)与指数函数y=台厂的交点个数有()

A.3个B.2个C.1个D.0个

答案C

解析因为二次函数y=-%2-4x=-(x+2尸+4(x>-2),

且#=一1时，y=-x2-4x=3,y=(1)x=2,

则在坐标系中画出y=-x2-4x(x>—2)与y=&尸的图象：

由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，应选C.

1x2-2x+6

3.函数f(x)=G)的单调递增区间是.

答案(-8,1)

解析设”(久)=/-2x+6=(x-1)2+5,对称轴为x=l,

则”(无)在(-8,1)单调递减，在(1,+8)单调递增，

而/(X)=(；)"(")，

所以u(x)的单调性与/(%)的单调性相反,

即/'(乃在(-8,1)单调递增，在(1,+8)单调递减,

故填：(-00,1)

4.方程|2X-1|=a有唯—实数解，则a的取值范围是

答案a或a=0

解析作出y=|2'-l|的图象，要使直线y=a与图象的交点只有一个，a＞Inga=0.

2X-1

5.已知函数f(x)亍斤则此函数的值域为

答案(-14).

…,2,+1-22

解析,•"(X)=2旺］=1-沅♦

222

又0V2。/.1<2X4-1,A0<^—<2,2—<0,A-1<1--^―<1,

2*+12*+12*+1

BP-l</(x)<l.

•・•此函数的值域为(-1,1).

(题型3)指数函数的应用

(典题1)设yi=4°9山=8°482=Q),贝1()

儿丫3>月〉y2B.y2>yi>y3C.yx>y2>y3D.yr>y3>y2

解析利用'幕的运算性质可得，

/I\1.5

y\=40,9=218,yi=80,48=2144,y3=©=21,5,

再由y=2*是增函数,知丫1＞为＞、2・

应选：D.

(典题2)已知集合％=口#<2，+1<4,》62},M=则MCN=.

解析••彳<2"+1<4,<2X+1<22,.・.-1<X+1<2=-2<X<1,

•••集合N={x|-2<x<l,xez}={-1,0],

又•.•"={-1,1},AMClAf={-1}.

(典题3)如果函数y=a2x+2ax-i(a>o,且a力1)在区间[-1,1]上有最大值14,试求a的值.

解析设1=标，则t>0,原函数可化为y=(t+l)2-2,其图象的对称轴为t=-l.

(1)假设a>l,VXG[-1,1],tG[^,a],

则函数y=(t+I)2-2在区间R,a]上单调递增，

二当t=a时，函数y取得最大值(a+1)2-2,

即(a+1)2-2=14,解得a=3或a=-5(舍去).

⑴假设0<a<L1­•x&[-1,1],te[a,^],

则函数y=(t+I)2-2在区间，a]上单调递增，

.•.当t=:时，函数y取得最大值G+1)2-2,

即(1+1)-2=14,解得a=：或a=-g(舍去).

综上可知，a的值为3或1

变式练习

1.己知a=0.721,b=0.725.C=2.1°7,则这三个数的大小关系为()

A,b<a<cB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

答案A

解析依据指数函数的性质可得：函数y=0.7x的底数小于1,是减函数，

•••2.1<2.5,•••0.721>0.725,即a>b.

又c=2.107>2.1°=1,a=0.721<0.7°=1,

c<a,所以b<a<c,应选：A.

2.已知a=1.6°，3/=1.6°,8,c=0.7°,8,则()

A.c<a<bB.a<b<cC,b>c>aD,a>b>c

答案A

解析y=1.6,是增函数，故Q=1.603Vb=1.608,

而1.6°，>1>c=0.7°3故cVQ<b,应选：A.

3.已知/(乃=2"-©)假设f(m)+/(n)>0,贝ij()

A.m4-n>0B.m4-n<0C.m-n>0D.m-n<0

答案A

解析由/'(x)=2*-(；),xeR；

所以/(-%)=2-J©=(I)-2X=-/(x),

所以/(x)是定义域R上的奇函数，且是增函数；

X/(m)+f(n)>0,所以f(m)>-f(n)=f(-n),

所以m>-n,所以m+n>0.

应选：A.

4.假设2y”2-y_5y,则有()

A.x+y>0B,%+y<0C,x-y<0D,x-y>0

答案B

解析构造函数〃x)=2X-5T,易得函数f(x)单调递增，

由2工-57=2--5丫,可得/(x)Wf(-y)

x<-y=>x+y<0,

应选：B.

5.函数y=Jl-(3、的定义域是.

答案［0,+00)

解析由1-&%0得，(|)"<1,解得：x>0,

故函数y=-(}”的定义域是［0,+0°).

6.函数7=。*-2(。>0且。。1,-14无W1)的值域是［-1,1］,则实数Q=.

答案3%

解析当Q>1时，函数丫=。*-2（。>0且。云1,-是增函数,

值域是[a—-2,a-2],

当0<a<l时，函数y=标-2(a>0且a41,-14xWl)是减函数,

--2=1i

值域是[a-2,aT-2],a5=a=q.

h-2=-3

综上所述，可得实数a=3或

1

+

--

7.已知函数f(x)12

2X

(1)求f(x)的定义域；(2)商量f(x)的奇偶性.

答案⑴(-8,0)U(0,+8)(2)C

解析⑴由2X-1¥0,得2XH1,即XHO,

因此函数/(x)的定义域为(-8,0)u(0,+8).

(2)由(1)知，函数-x)的定义域为(-8,0)u(0,+8),关于坐标原点对称，

I112x12X-1+1111(11\

又/(一乃=广1+2=匚^+2=不歹+2=_1_0+2=_仁1+句=_/(乃，

所以f(x)为奇函数.

轻松训练通过酷习，RSttt)

1.函数y=|2*-i|的大致图象是()

解析y-m瑟:,

当x<0时，y=1—2,的图象是将y=2、图象先沿》轴对称下来，再沿y轴向上平移1个单位，此时x<0时的

图象在x轴上方，且为增函数，渐近线为y=l,

只有C项满足题意.应选C.

2.如图是指数函数①y=a',②>二〃，③y:/,@y=d，的图象，则a,b,c,d与1的大小关系是()

A.a<b<1<c<dB.b<a<l<d<c

C.1<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

答案B

解析设x=l与①②③④的图象分别交于点4B,C,D,如图，则其坐标依次为(1,a),(1力)，(l,c),(l,d),

由图象观察可得c>d>l>a>b.应选B.

3.如果a>l力<-1,那么函数/。)=砂+6的图象在()

A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限

答案B

解析•.1«>1,

.•・丫=/的图象过第—、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1),

/(x)=ax+b的图象可看成把y=/的图象向下平移一b(—b>1)个单位得到的，

故函数f(x)=ax+。的图象，

经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限，

应选：B.

4.函数y=eT%e是自然底数)的大致图象是()

111

5.已知a=4$,b=2*c=5\则a、b、c的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b

答案A

111

解析a=4妥=2,b=2^<2,c=5^>2,贝！|c>a>b,应选：A.

6.函数c<b<a,且/(c)>/(a)>f(b),则2。+2c与2的大小关系是()

A.2a+2c>2B.2a+2c>2C.2a+2c<2D.2a+2c<2

答案D

解析f3>=12,-1|

作出f(x)=|2X—1］的图象如下图，

由图可知，要使c<b<a且/(c)>/(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0,

故必有2c<1且2a>1,

又/(c)-f(a)>0,即为1-2'-(2。-1)>0,.-.2a+2c<2.

7.假设指数函数f(x)的图象经过点(2,9),则/(x)的解析式为.

答案f(x)=3"

解析设/'(x)=ax(a>0,且a*1),

因为函数f(x)的图象经过点(2,9),代入可得。2=9,解得a=3或a=-3(舍去).

故f(x)=3\

8.不等式3/+ax>32x+a-2恒成立，则a的取值范围是.

答案(-2,2)

解析不等式3，+6>32'+”2恒成立，即x2+ax>2x+a-2,

亦即x2+(a-2)x-a+2>0恒成立,

则△=((!-2)2-4(-a+2)<0,解得-2<a<2,

故a的取值范围是(-2,2).

12

9.函数y=ax-1+1图象过定点4,点A在直线ni%+ny=3(m>l,n>0)上，则右y+q最小值为

一―9

答案2

解析由'=。*-1+1,令％-1=0,求得x=l,y=2,可得它的图象过定点4(1,2),

v点4在直线+ny=3(m>l,n>0)上，:.m4-2n=3,即?n-14-2n=2.

.12/12\fm-1\5nm-15l-nm-19

则rl—+5=岛+?.(丁+q=5+—+k>2+2j—・k=5・

当且仅当五即m=I，几=:时等号成立.

10.已知函数/(%)=b^ax(a>0,aH1)的图象经过点4(1,2),8(3,8).

(1)求a力的值；

(2)设函数g(x)=f(x)+/(-x)--(x<-2),求函数g(x)的值域.

答案(l)a=2,b