第5章 机械波教材

空间某处发生的振动，通过介质或真空向四周传播，这种振动在空间的传播——波波的表现形式不同，但有共性！——机械振动在连续介质中的传播。

机械波如：声波、地震波、水波等——电磁振动在真空或介质中的传播。

电磁波如：无线电波、可见光、x射线等如：波传播的周期性

引力波；

物质波波的类型：信息的传播：能量的传播：波的应用：如太阳能、激光、冲击波等如无线电与光纤通信、雷达系统等引言、叠加性、干涉与衍射现象等。1第

5章机械波1.机械波的产生、传播与类型；2.波的能量、能量密度、平均能流、强度等概念；3.惠更斯原理：波的衍射、折射与反射；4.波的叠加原理与干涉、驻波的特点、半波损失现象；5.多普勒效应及其简单应用。1.平面简谐波的波动方程；2.波的相干条件：相长与相消干涉的条件；3.驻波方程，形成驻波波腹、波节的条件。掌握：了解：2§5-1机械波的形成和传播一、机械波的产生1.物体的形变与相应的力平衡位置弹性回复力

正应变——应力在弹性限度内，应力与应变遵从胡克定律：——正应力——应变——单位长度的形变量杨氏弹性模量

弹性介质3

切应变——切应力在弹性限度内，切应力与切应变遵从胡克定律：切变弹性模量

容应变

在弹性限度内，压强的变化量与容变成正比关系：容变弹性模量

♦正应变与容变都能出现在固体、液体与气体中。♦切应变只能出现在固体中。注意：——容变——切变4相邻质元的接触面•连续介质2.机械波的产生•波源相对位移有波峰和波谷：质点的振动方向和波动的传播方向垂直。相对位移看成是存在相互作用连续质元的集合：质点的振动方向和波动的传播方向平行。切应变正应变固体、液体或气体都能传播纵波!横波只能在固体中传播!有波疏和波密处♦横波♦纵波5

机械波只是振动的传播，并没有物质的传输。注意：

质元间相互作用的速度有限→机械波以有限的速度传播。

波传播时介质中各质元受弹性回复力而振动。

机械波还传输能量。——弹性波固体、液体或气体中都能传播弹性波。

机械波不一定是弹性波。如：水面波重力和表面张力之合力“上游”质元的振动依次带动“下游”质元的振动“下游”质元重现“上游”质元的振动状态63.波线与波面周期性波波场：波传播到达的空间。•一维波三种类型：•二维波•三维波如绳波如水面波如声波平面波波线波面波前波面波前波线波面在光学检测中，观测波前形状可以获得光学材料均匀性的信息。偏振面传播方向振动方向脉冲波球面波柱面波7在2

时间内波传播距离中包含的完整波形数目。

4.波长、周期、频率与波速波长

：角波数（k）：周期T频率：角频率：在2长度内包含的完整波的数量。沿波的传播方向振动状态相同的相邻两点之间的距离。：波前进一个波长的距离所需的时间。

=1/T

=2

单位时间内波传播距离中包含的完整波形数目。波速波速也就反映了位相传播的速度——相速：振动状态在单位时间内传播的距离。8波线波面§5-2平面简谐波的波动方程如果简谐波的波面为平面——简谐波波源和介质中各质元的振动都是简谐振动——平面简谐波简谐波是最简单最基本的波动形式！——真实的波可以看成是简谐波的叠加而成。一、平面简谐波的波动方程问题：求y

=

y(x,t)yo=

y(0,t)及u给定,介质：无限大、各向同性、无吸收任一根波线代表平面简谐波的传播规律!

——用一个方程描述任意时刻各个质元的振动状态。

9o点的振动方程：p点t时刻的振动重复o点时刻的振动，即有：即：——波动方程另：p点的振动位相落后于o为，将o点的振动位相延迟即得到p点t时刻的振动：10若波沿x轴负向传播，p点t时刻的振动与o点时刻的振动相同，得p点的振动方程为：•波动方程的另外几种形式：

=2

=2

/T•质点振动的速度和加速度11二、波动方程的物理意义平面简谐波动方程还可以描绘波传播的物理图像!⑴

波动方程能表示任意时刻的波形t0时刻，y仅是位置x的函数：——给出波线上各质元在t0时刻的位移分布。t0时刻的波形方程t0时刻的波形（图）对于横波：波形描绘出某时刻各质元在空间的真实分布！对于纵波：波形仅表示某时刻各质元的位移分布！t时刻的波形方程波形图直观地反映出波传播在空间的周期性。t时刻的波形波长是波在空间上的周期性的标志。12⑵

波动方程也能反映波形运动的情况因为：→t+t时刻的波形是t时刻的波形经t

时间传播来的！行波位移量位移量t+t时刻x+x处质元的振动t时刻x处质元的振动左右横行波左右纵行波13解：⑴声波可以看成平面简谐波。以声源为原点建立ox坐标。由原点的振动方程得：忽略声波传播的衰减，求：⑴以声源为坐标原点波传播方向为正向的波动方程；⑵振动初位相为零的位置；⑶以距声源20m处p点为坐标原点的波动方程。例：一声源在狭长直地道中发声，振动方程为：声波的波速：波动方程：14⑵由波动方程得x处质元的振动初位相，令它等于零得到振动初位相为零的位置：⑶由波动方程得到p处质元振动方程：则以p点为原点的波动方程：15例：如图，平面简谐波的波速u=400m/s，沿直线从A向B方向传播。A处质元的振动周期为0.01s，振幅为0.1m。取

A处质元经过平衡位置向正向振动为计时起点。求：⑴B点和C点的振动方程；⑵以B点为坐标原点的波动方程。解：⑴由题意知：A=0.1m，T=0.01s

设A点的振动方程为：A点：t=0时，y0=0，v0>0。有：→

A在3或4象限-/216则以A为坐标原点的波动方程：将x=2m代入上方程，得B点的振动方程：⑵以B为原点的波动方程：将x=-1m分别代入上方程，得C点的振动方程：17解：⑴由图知A=0.5cm。设原点处的振动方程为：例：一平面简谐波以速度u=0.8m/s沿x轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。求：⑴原点的振动方程；⑵波动方程。t=0s时y0=A/2，且v0>0，由旋转矢量图可知初相位为：

=-/3在t=1s时间内旋转矢量转过的角度：得：

=(5/6)/1=5/6得原点的振动方程：5/6

/2＋/3=5/6-/318⑵沿轴负方向传播，波动方程：t=0s时y0=A/2，且v0>0，有：t=1s时y1=0，且v1<0，有：19例：图为某平面简谐波在t=0时刻的波形，波速u=3m/s。求：⑴波动方程；⑵a处质元t=10s时的振速与加速度。得频率:因波沿着x轴负向传播，则波动方程：t=0时刻a处质元的位移、速度：由解⑴由波形图可得：20⑵得a处质元的振动方程：a处质元t=10s时的振动速度与加速度:得波动方程：21固体中质元的动力学方程——波动微分方程*三、波动微分方程以纵波为例，介质密度为。

质元运动：有位移平衡位置质元所受应力与应变关系：质元y处所受的弹性力：y＋dy处的弹性力：

质元截面积S，质量

22质元所受合力：——纵波波动微分方程——解表示弹性介质中可能出现的波横波波动微分方程流体中纵波23将代入波动微分方程：——固体纵波波速——固体横波波速波动微分方程的通用表达式：——流体纵波波速24——T为张力，为线密度绳索中的波速：∵固体中G<Y

u横波<u纵波地震时纵波先到达震中*解：设悬挂有0.5kg和2kg物体的两绳波速分别为u1、u2。轻质绳对张力的影响可忽略，两波速比：例：两根完全相同的轻质绳，分别悬挂质量为0.5kg和2kg

的物体。试求沿这两根绳子传播的横波的波速比。25§5-3波的能量*声强波的能量=振动动能+形变势能一、波的能量以纵波为例，介质密度为。

有位移平衡位置质元体积dV=Sdxt时刻质元的振动速度：t时刻质元动能：将质元看作弹簧（k）!弹簧势能：26而:→弹簧的势能：由波动方程有：得弹簧即质元的势能：劲度系数k可由质元的应变与应力关系确定：27单位体积介质所具有的能量质元动能、势能、机械能：能量密度的平均值——波的能量密度（w）——平均能量密度（）以纵波得到的结论，对横波也成立！28♦波传播过程中，质元的动能和势能大小相等、同步变化。→同时达到最大或最小。→质元处于平衡位置：动能、势能和总能具有最大值

→质元位置处于极值：动能、势能和总能具有最小值零。或♦波传播过程中，质元的机械能随时间作周期性变化

→质元的能量不守恒→能量在质元之间有传递

→波传输能量。

——不同于振动！结论：——不同于振动！单位体积的质元29波动方程即质元的振动方程：质元处于平衡位置动能最大，有：而此时质元的形变为：——此时质元势能也具有最大值类似分析有：质元处于最大位移处动能为零，这时质元的形变为零，其势能具有最小值零。最大

质元的动能和势能同步变化的解释30：单位时间内通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量。二、波的强度：单位时间内通过垂直于波传播方向面积S的平均能量。如何描述能量在介质中传输？平均能流——波的强度（波强）以I表示单位（SI）：对平面简谐波：波强是矢量与波速同向，反映能量传播的方向：——表明波强与振幅的平方成正比平均能流密度能流：单位时间内通过垂直于波传播方向面积S的能量。31而：S1=S2=S

A1=A2——振幅相等——振幅与距离成反比。证明：在均匀不吸收能量的介质中平面波在行进方向上振幅不变，球面波的振幅与离波源的距离成反比。证明：对平面波和球面波，单位时间内通过S1和S2面的能量应该相等。⑴对平面波：∵I1S1=I2S2，即：⑵对球面波：

——球面简谐波的波动方程32三、波的吸收

波在介质中传播时，由于介质吸收波的能量，因此波的机械能不断减少、波强不断减弱的现象。实验显示：波通过厚度为dx的介质，其波强衰减量-dI与入射波强I、介质厚度dx两者均成正比例关系。式中I0、I分别是x=0

和x=x

处的波强。积分可得波强的衰减规律：介质的吸收系数33*三、声强介质中有声波时的压强与无声波时的静压强之差在弹性介质中传播的机械纵波——声波：声压声压也在作周期性变化，对平面简谐波，声压：振幅为：

声强即是声波的强度：34——闻阈——痛阈人耳承受声强：

I下

<I<I上人耳分辨频率：20<

<20000Hz；敏感的频率：1kHz能引起人耳对声波听觉的声强与频率有关！单位:分贝(dB)I0=10-12W/m2作为基准声强，取1ｋHz声波频率。

——人耳听觉与声强级成正比！正常谈话:60dB；繁忙街道:70dB；聚焦超声波:210dB

对声强I进行分级为——声强级：35——惠更斯原理：当水面波前进通过有小孔的障碍物时，开孔后面出现的波，就好像是以开孔为波源发出的新水面波。§5-4惠更斯原理、波的叠加和干涉波传播过程中，波阵面（波前）上的每一质元都充当了新的波源发出子波，其后任意时刻这些子波的前方包迹就是新的波阵面。子波源发出的波与原波同频率！认识到：波的传播是波源的振动带动下游质元振动引起的。提出：一、惠更斯原理现象36只要已知某时刻的波面和波速，就可以由惠更斯原理通过作几何图，确定下一时刻的波面和波的传播方向。惠更斯原理适用于：机械波、电磁波；非均匀的、各向异性的介质。局限性：没有说明子波的振幅（强度）分布；也没有说明子波只向前不向后传播的问题。波前子波源子波371.波的衍射——波在传播的过程中遇到障碍物或小孔后，能够绕过障碍物的边缘继续传播的现象。♦衍射是波的主要特征之一。隔墙有耳!声音波长～1m；问题：对于同一个障碍物声波与光波谁更容易发生衍射？可见光波长：二、波的衍射、反射与折射♦障碍物或开孔的尺寸越小，衍射现象越显著！38介质1介质22.波的反射和折射——反射定律有：AF=ED=ut有：——折射定律介质1介质239在波的相遇区域中，质元的振动是各列波单独传播至该点引起此质元振动的合成。三、波的叠加原理多个波同时在介质中传播，波的传播如何进行？介质中质元又是怎样振动？各个波在传播过程中仍保持原有的特性（频率、波长、振动方向等）不变，按照原来的方向继续前进，就像没有遇到其它的波一样。——波传播的独立性原理——波传播的叠加原理注意：波的相遇不同于实物粒子相遇，因为波的传播不涉及到物质的交换。如：水面波；声波；空中无线电波现象40四、波的干涉两列波相遇引起不同位置的质元的振动叠加，有的质元的合振动始终加强，有的质元的合振动始终减弱，结果形成了一幅稳定的叠加“图样”。——能产生干涉的波源称为相干波源——波的干涉——能产生干涉的波称为相干波1.

相干条件①频率相同②有恒定的位相差③振动方向相同

S2S1r1r2

p水波干涉41

S1:

p点处两分振动为:相位差:2.相长、相消干涉S2:

S1p:S2p:

S2S1r1r2

p合振幅：p点合振动:用波强表示：42

相长干涉：(k=0,1,2,…)

相消干涉：

=2k合振幅：A=A1+A2(k=0,1,2,…)

=(2k＋1)合振幅：A=|A1-A2|其它情况的合振幅：|A1-A2|

<A<A1+A2

S2S1r1r2

p当

2=

1时：

——相长干涉——相消干涉波程差43C端每伸长5cm两路声波的波程差增加10cm，这时声波干涉加强的级次增加一级，有：解声波在处发生干涉加强，两路声波的波程差要满足干涉加强条件：例：声波干涉仪（共鸣管）的结构见示意图。声波从A端进入，分成B、C两路在管中传播，随后在D端相遇传出，可由接收器接收。弯管C可以伸缩，当它伸长时，从D

端接收到的声音有强弱周期性的变化。设C端每伸长

5cm声音增强一次。求此声波的频率。得声波频率：44在S1左侧的A点：AS1=r1，AS2=r2在S2右侧的A点：AS1=r1，AS2=r2得：A=A1+A2=2A，I=4I0例：S1与S2为相距1/4波长的两相干波源，S1比S2的位相超前

/2。若两波在S1与S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1与S2连线上在S1外侧各点的合成波的强度如何？又在S2外侧各点的强度如何？解：由题意：

1-

2=/2得：A=A1-A2=0，I=045§5-5驻波一、驻波的波动方程两列相干波为：合成波的波动方程：——各质元作同频率（

）、振幅不等（|A(x)|）的简谐振动驻波动方程不满足行波关系式：——不是行波！——驻波的波动方程相向传播的两列相干波叠加就形成了。驻波46二、驻波的特点波节处：波腹处：注意：以上波节与波腹位置仅对以上驻波方程成立!

相邻波节之间的质元振动步调同步，同相；

波节两侧质元的振动步调相反，反相。

——波节两侧的质元振动的位相相差为

。波节波腹普遍成立：相邻波节（或波腹）之间的距离为

/2；相邻的波腹与波节之间的距离为

/4。47各质元的形变量最小为零→势能为零；波腹→波节过渡，质元的动能从最大→最小；波腹→波节过渡，质元的机械能从最大→最小。三、驻波的能量各质元的动能为零；波节→波腹过渡，质元势能从最大→最小；波节→波腹过渡，质元机械能从最大→最小。总的来看：质元上的动能与势能在相互转换；机械能不断交替地集中在波腹与波节位置；平衡位置：波节波腹最大位移：平均能流密度：——平均来说没有能量传播48线上能形成驻波的条件：两端点之间的距离（L）等于相邻波节之间距离（

/2

）的整数倍。四、驻波的例子即：——只能取某些分立值用

n表示与整数n对应的波长：电动音叉带动线形成驻波当：两端点将成为驻波的节点。线的两端固定波节？49

当外界驱动一个驻波系统振动，外界驱动频率与驻波系统的某一本征频率相同或接近时，将激起驻波系统的某一简正模式，这种现象也称为共振。频率也只能取分立值：本征频率（或固有频率）n=1对应的频率最低，称为基频n=2、3…对应的频率分别称为2次谐频、3次谐频…每个本征频率对应驻波的一种振动方式——简正模式驻波系统的振动方式：一般可以是各简正模式的叠加！电磁波在有限的空间中传播也会形成驻波，如波导管中的电磁驻波。园环上的驻波二维平面上的驻波50Z小——波疏介质Z大——波密介质五、半波损失介质的波阻（即波的阻抗）：Z=u波疏媒质波密媒质相位突变

波传播到两介质的分界面会发生反射和折射。垂直于界面的入射波与反射波在入射点处形成驻波的波节，于是反射波与入射波位相相反，振动位相突变

，这等价于半个波长1.当Z1<Z2，界面处两波的振动反相。反射波有相位突变

！——半波损失512.当Z1>Z2，在界面处反射波和入射波的振动同相。

反射波无位相突变!波疏媒质波密媒质位相不变52例：如图，入射波在x0=5

处被反射（反射面固定），求驻波波动方程及0-x0区间波节与波腹的坐标。解：入射波在o点的振动方程：反射波在o点的振动较入射波在o点的振动落后：xo反射波在o点的振动方程：反射波动方程：53波节：波腹：驻波动方程：xo54得波速：解：由题知：

=80rad/s；例：如图为驻波演示装置，线左端系于音叉一臂的A点,右端挂0.5kg的物体，线密度

=4.0g/m，音叉以40Hz的频率振动使线上形成驻波。测得线上质元的最大位移为

6cm。在t=0时刻A点经过其平衡位置向上振动。A与支点B的间距为1.4m。若以A为坐标原点,向右为x轴正向,

求：入射波、反射波和驻波的波动方程。反射波在A点的振动较入射波在A点的振动落后：入射波的波动方程设为：则反射波波动方程为：55即：由驻波方程与初始条件有，A处质元t=0时刻：则驻波方程为：56例：平面简谐声波传播到A点引起此处质元振动如图。声波继续前进遇上墙壁反射，与入射波叠加形成驻波，测得相邻波节与波腹的距离为3m。以A点为坐标原点o波前进方向为正向，写出入射波的波动方程。由图知：因相邻波与节波腹间距离为

/4，即：入射波波动方程：解设原点o处质元的振动方程为：作旋转矢量得o处质元振动初位相：得o点振动方程：57例：图为形成声驻波的装置，音叉发出的声波经水面反射与入射波叠加形成驻波。⑴当管中形成了驻波，问水面距管口的高度h；⑵当h=0.5m，求该驻波系统的基频和3次谐频；⑶如音叉频率为=1000Hz，调节管中水柱使水面从管口处向下降，求第一次测到共鸣声的水面位置。解

⑴管中形成的声驻波在水面处为波节，开口为波腹。因此空气柱的高度等于波节与波腹距离

/4的奇数倍，即：⑵本征频率为：声速取u=340m/s，则基频与3次谐频分别为：58⑶要产生共鸣（共振），则驻波系统的本征频率等于音叉频率，即：则：得：即调气柱高度为8.5cm时，将测到第一次共鸣声。59§5-6多普勒效应*冲击波当波源、传波介质以及观测者之间有相对运动，则观察者接受到的波频率不同于波源振动的频率——多普勒效应多普勒效应应用广泛如：医学上的“D超”；将介质作为参考系，考察波源、观察者的运动发生在二者的连线上。波源速度：VS；

观察者速度：VR当波源和观测者相对于介质静止，观测者测得：当波源和观测者相对于介质运动，观测者测得：频率：

频率：

R波长：

波长：

R周期：T周期：TR波速：u频移）（多普勒多普勒雷达60

波源与观察者相向运动S1，发出第二个波，此时刻t=T。第二个波的波前经

t时间与观测者相遇于B1。

t即为观测者观测到的波周期。观察者接收到的波