第3章电路的暂态分析教材

第3章电路的暂态分析3.3

RC电路的响应3.6RL电路的响应3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法3.2储能元件和换路定则3.5

微分电路和积分电路3.1电阻元件、电感元件和电容元件稳定状态指电路中的电压和电流在给定的条件下已到达某一稳定值（对交流量是指它的幅值到达稳定值）。稳定状态简称稳态。暂态电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态往往不能跃变，而是需要一定过程（时间）的，这个物理过程就称为过渡过程。电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态常称为暂态，因而过渡过程又称为暂态过程。第3章概述本章主要分析RC和RL一阶线性电路的暂态过程，着重讨论下面两个问题：(1)暂态过程中电压和电流(响应)随时间的变化规律;(2)影响暂态过程快慢的电路的时间常数。3.1电阻元件、电感元件与电容元件电阻元件、电感元件与电容元件都是组成电路模型的理想元件。电阻元件：消耗电能电感元件：通过电流要产生磁场而储存磁场能量电容元件：加上电压要产生电场而储存电场能量耗能元件储能元件本节讨论不同参数的元件中电压与电流的一般关系及能量的转换问题。3.1.1电阻元件iR+–uRi2dt=uidti=uRu=iR或∫0T∫0T3.1.2电感元件e

d

dt|e|=若感应电动势的参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则，则d

dte=当通过线圈的磁通发生变化时，线圈中要产生感应电动势，其大小等于磁通的变化率，即：单位：e—伏(V)

t—秒(S)

—韦伯(Wb)当

的正值增加，即d

dt>0，e为负值，即其实际方向与参考方向相反。当

的正值减小，即d

dt<0，e为正值，即其实际方向与参考方向相同。i

=N=L

iL=i

（安）A韦伯（Wb）亨利（H）若电路的某一部分只具有储存磁场能量的性质称它为理想电感元件。若L为大于零的常数则称为线性电感N电感磁链3.1.2电感元件+–u

线圈的电感与线圈的尺寸匝数及介质的导磁性能等有关。一密绕的长线圈L=SN2lS—横截面积(m2)l—长度(m)N—匝数(Wb)

—磁导率(H/m)符号Lp=ui=LidtdiWL=12Li2e=dtd

u=Ldtdi=Ldtdi瞬时功率电压电流关系P>0,L把电能转换为磁场能，吸收功率。P<0，L把磁场能转换为电能，放出功率。储存的磁场能在直流稳态时，电感相当于短路。

L为储能元件

=L

iu+e=0∫–

1L

udt=

i=

t∫–

1L

udt+0∫01L

udtt=i0

+01L

udtt∫3.1.2电感元件iu+–e+–LiuCqqC=qu（伏）V库仑（C）法拉（F）若电路的某一部分只具有储存电场能量的性质时，称它为理想电容元件。若C为大于零的常数,则称为线性电容。3.1.3电容元件电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的介电常数有关。C=

SdS—极板面积(m2)d—板间距离(m)

—介电常数(F/m)符号CiC=qu=Cdtdup=ui=CudtduWc=12Cu2uCi=dtdq瞬时功率电压电流关系P>0，C把电能转换为电场能，吸收功率。P<0，C把电场能转换为电能，放出功率。储存的电场能在直流稳态时，I=0电容隔直流。

C为储能元件3.1.3电容元件∫–

1C

idt=

u=

t∫–

1C

idt+0∫01C

idtt=u0

+01C

idtt∫+–3.2储能元件和换路定则暂态过程的产生是由于物质所具有的能量不能跃变而造成的。换路指电路的接通、切断、短路、电压改变或参数改变等。由于换路，使电路中的能量发生变化，但是这种变化也是不能跃变的。电感元件的储能WL=12L

iL2不能跃变WC=12C

uC2电容元件的储能不能跃变设

t=0为换路瞬间，而以t=0–表示换路前的终了瞬间，t=0+表示换路后的初始瞬间。

iL(0–)=

iL(0+)

uC(0–)=

uC(0+)从t=0–到t=0+瞬间，电感元件中的电流iL和电容元件上的电压uC不能跃变。用公式表示为换路定则:换路定则仅适用于换路瞬间，可根据它来确定t=0+时电路中电压和电流之值，即暂态过程的初始值。确定各个电压和电流的初始值时,先由t=0–的电路求出iL(0–)

或uC(0–),

而后由t=0+的电路在已求得的iL(0+)

或uC(0+)的条件下求其他电压和电流的初始值。在直流激励下,换路前如果电路已处于稳态，则在t=0–的电路中,电容元件可视为开路,电感元件可视为短路。换路前，如果储能元件没有储能,iL(0+)=

iL(0–

)=0,或uC(0+)=

uC(0–

)=0，则在

t=0+的电路中，可将电容元件视为短路，将电感元件视为开路。例1:已知下图中iL(0–)=0,uC(0–)=0,试求S闭合瞬间,电路中各电压、电流的初始值。SUCLR2R1+-t=0uC(0+)+-R2R1UiL(0+)uL(0+)iC(0+)+

–u2(0+)u1(0+)i1(0+)+-t=0+的电路解：画出t=0+的电路uC(0+)=uC(0–)=0，iL(0+)=iL(0–)=0，i1(0+)=iC(0+)=UR1u1(0+)=U，u2(0+)=0，uL(0+)=U稳态值电路换路后，经过暂态过程又达到新的稳定状态，这时电路中的电压、电流值称为稳态值(稳态分量)。用u()、i()表示。求直流激励下的稳态值,可画出t=

的电路，即在换路后的电路中将电容元件开路,电感元件短路。例2：下图所示电路中，已知：R1=3，R2=6，R3=3，C1=5

µF，C2=10

µF，E=20V,S闭合时电路已处于稳态。试求：C1、C2

和R1上电压的初始值和稳态值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，画出t=0–的电路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3•EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2•E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的电路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0+)R1+-20V画出t=0+的电路,用结点电压法求结点电压uab

(0+)uab

(0+)=__________________________E/R1+uC1(0+)/R2+uC2(0+)/R31/R1+1/R2+

1/R3=13VuR1(0+)=E–uab

(0+)=7V可见uR1(0+)

uR1(0–)因此，求初始值时,只需计算t=0–时的iL(0–)和uC(0–)，因为它们不能跃变，即为初始值，而t=0–时的其余电压和电流都与初始值无关，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的电路C2C1abR1+–20VuC2(0+)(2)

求稳态值,画出t=

的电路uC1(

)=uC2(

)=E=20VR2+-R3Et=

的电路uC1(

)+-+-R1+–20VuC2(

)uR1(

)uR1(

)=0例3：下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。试求：初始值iL(0+),

uL(0+)。SLR2t=03A20

15

30

R3R1IS+–iLuLba解：(1)画出t=0–的电路,L视为短路iL(0-)uL(0-)S3A20

30

R3R1ISat=0–的电路uL(0-)=0=1.2AiL(0-)=IS——R1+R3R1(2)

画出t=0+的电路uL(0+)iL(0+)+–30

R3R215

Lt=0+的电路iL(0+)=iL(0-)=1.2AuL(0+)=

–

iL(0+)(R2+R3)=

–54V可见uL(0+)

uL(0–)换路瞬间仅iL不能跃变,电感两端的电压uL是可以跃变的，所以不必求uL(0-)。3.3

RC电路的响应3.3.1RC电路的零输入响应RCuRt=0ba+-UiSuC零输入响应是指无电源激励，输入信号为零，由电容元件的初始状态uC(0+)

所产生的响应。分析RC电路的零输入响应，实际上就是分析它的放电过程。上图中，若开关S合于a，电容上电压充电到U0时，将S由a合向b，

即uC(0–)=U0，根据KVL

uR

+

uC=0RCd

uC

dt+uC

=0——RCt=0ba+-UiSucuRuC

=

Ae

pt上式的通解为指数函数，即由特征方程RCp+1=0得p=–1/RC

通解uC

=

Ae

–t/RC

确定积分常数，由换路定则uC(0+)=uC(0–)=U0

，得A=U0所以uC

=

U0e–t/RC

uR

=–uC

=–U0e–t/RC

e

–t/RCU0Ri=––—otU0–U0U0RuCuRi变化曲线RCd

uC

dt+uC

=0——在零输入响应电路中，各部分电压和电流都是由初始值按同一指数规律衰减到零。时间常数

=RC

称为RC电路的时间常数

FS单位时间常数

等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。t

U0e

-t/

uC

2

3

4

5

6

e

–1

e

–2

e

–3

e

–4

e

–5

e

–60.3680.1350.050.0180.0070.002uC(

)=0.368U0=

U0

e–t/

uCucotU00.368U0

1

2

3

3>

2>

1从理论上讲,电路只有经过t=

的时间才能达到稳定。由上表可以看出t=5

时，uC已衰减到

0.7%U0，所以，工程上通常认为在t≥(4~5)

以后，暂态过程已经结束。电压uC衰减的快慢决定于电路的时间常数

,时间常数越大，uC衰减(电容器放电)越慢。例1:下图所示电路中,开关S合在a点时,电路已处于稳态，

t=0时开关S由a点合向b点，试求:t≥0时uc、i1、

i2和

i3

随时间的变化规律,画出变化曲线。Ct=0ba+-SuC

4

2

4

8

10µF+-10Vi1i2i3解:uC(0+)=

uC(0-)=10

4/(2+4+4)=4V,U0=4VR0=(4//4+8)=10

=R0

C=10

10

10–6=10–4s=

U0

e–t/

uC=4e–10000tVCd

ucdti2=i1=

i3

=i2/2

Cb4

4

8

i1i2i3=–0.4e

–10000tA=–0.2e

–10000tAotuc4Viui2–0.4Ai1

i3–0.2A3.3.2RC电路的零状态响应零状态响应是指换路前电容元件未储有能量,uC(0–)=0,由电源激励在电路中所产生的响应。分析RC电路的零状态响应，实际上就是分析它的充电过程。RCuRt=0ba+-UiSuCu下图中，t=0时开关S由b点合向a点，相当于输入一阶跃电压u，其表示式为u=0t<0Ut>0oUut阶跃电压RCuRt≥

0ba+-UiSuCu根据KVL，列出t≥

0时电路的微分方程uR+uC

=URCduC

dt+uC

=U设特解uC´=K

代入上式

RCdKdt+K

=U得K=U，

即uC´=U

uC″=Ae

pt=

Ae

–t/RC

补函数uC″是齐次微分方程RCduC

dt+uC

=0的解通解为uC

=

uC´+

uC″=U+

Ae

–t/RC

uC

=

uC´+

uC″=U+

Ae

–t/RC

根据uC(0+)=

uC(0–)=0，可确定积分常数A=–UuC

=U–Ue

–t/RC

=U(1–e–t/

)时间常数

=RC当t=

时，uC

=63.2%UtuCuOUuC´–UuC″暂态过程中uC可视为由两个分量相加而得:

uC´是到达稳定状态时的电压,称为稳态分量;uC″仅存于暂态过程中,称为暂态分量,它总是按指数规律衰减。63.2%U

uC的变化曲线e

-t/RCUR=uR

=U–uC

=Ue

-t/RCotUuCuRui

iURi

=CduC

dtuC

=U(1–e–t/

)uC

、

uR及i的变化曲线t

U

1–

e–t/

uC

2

3

4

5

1–e–1

1–e–2

1–e–3

1–e–4

1–e–5

0.6320.8650.950.9820.993

由上表可以看出，同样可认为t≥(4~5)

以后暂态过程已经结束。上述暂态过程的分析方法称为经典法。当电路比较复杂时，可以用戴维宁定理将换路后的电路化简为一个单回路电路，（将电路中除储能元件以外的部分化简为戴维宁等效电源，再将储能元件接上），然后利用经典法所得出的公式。例3.2--2：下图所示电路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

µF，C2=C3=20

µF，U=12V,开关S闭合前,电路已处于稳态，试求:

t≥

0时的电压uC

。t=0+-USR1R2C1C2C3+uC–解：C2和C3并联后再与C1串联，其等效电容为C=——————=20µF

C1(C2+C3)C1+(C2+C3)将t≥

0的电路除C以外的部分化为戴维宁等效电源,E=———=8VUR2(R1+R2)等效电源的内阻为R0=———=2k

R1R2(R1+R2)R0C+uC–+-Et≥

0+-USR2C+uC–R1等效电源的电动势为R0C+uC–+-E由等效电路可得出电路的时间常数

=R0

C=2

103

2010–6=40

10–3suC=E(1–e-t/

)=8(1–e

–25t)V输出电压为tuC

/V8O3.3.3RC电路的全响应

全响应是指电源激励和电容元件的初始状态uC(0+)均不为零时电路的响应，也就是零输入响应和零状态响应的叠加。下图中，若开关S合于b时，电路已处于稳态,则uC(0–)=U0，t=0时将S由b合向a，t≥

0时电路的微分方程为RCuRt=0ba+-UiSuC+-U0t≥

0RCduC

dt+uC

=U上式和式(3.2.1)完全相同uC

=

uC´+

uC″

=U+

Ae

–t/RC

uC(0+)=uC(0–)=U0积分常数A=U0–Ut=0+时,U0=U+A

e0

uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

全响应=稳态分量+暂态分量uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

或者写成全响应

=零输入响应+零状态响应全响应曲线otUuiU–U0RU0稳态分量UuC(全响应)uC

=

U+

(U0–U)

e

-t/

设U>U0U0–U暂态分量(U0–U)

e

-t/

otUuU0uC

=

U0

e

-t/

+U(1–e

-t/

)

uC(全响应)零状态响应零输入响应求出uC后,可用和uR=Ri得i

=CduC

dtU–

U0R

i=e

-t/

uR=(U–

U0)e

-t/

或3.4一阶线性电路暂态分析的三要素法只含有一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路,称为一阶线性电路，其微分方程都是一阶常系数线性微分方程。上述的RC电路是一阶线性电路，电路的响应是由稳态分量(包括零值)和暂态分量两部分相加而得,写成一般式子,则为f(t)=f´(t)+f″(t)

=

f

(

)

+Ae

–t/

式中f(t)是电压或电流，f

(

)是稳态分量(即稳态值),Ae

–t/

是暂态分量,若

f(0+)为初始值,则得A=f(0+)–f

(

)

于是f

(t)=

f

(

)+[f(0+)–

f(

)]

e

-t/

稳态值初始值

时间常数在一阶线性电路中,只要求出初始值

f(0+)、稳态值f

(

)

和时间常数

这三个要素，就可以根据表达式直接写出电路的响应。电路响应的变化曲线都是由初始值按指数规律增加或衰减到稳态值。例1:用三要素法,求下图中t≥0时的uC(t),画出变化曲线。+–U1+–U23V6VR2R12k

1k

C3FSt=0abuC解:(1)求uC的三要素=———=2VR1+R2R2•U1

uC(

)=———=4VR1+R2R2•U2

=(R1

R2)C=—×3=2ms23uC(0+)=

uC(0–)

uC(t)=

uC(

)+[uC(0+)

–

uC(

)]

e

-t/

(2)写出uC(t)的表达式

=4

+(2–4)

e

-t/(2×10-3)=4–2

e

-500tVtuC

/V4O2变化曲线例2：下图所示电路中，开关S闭合前,电路已处于稳态，

C=10F,t=0时，将开关S闭合，经0.4ms再将S打开，试求t≥0时的uC(t),画出变化曲线。30

Rr_+_+S60

RE=90VCuCr解:(1)uC(0+)=

uC(0–

)=

E

–

——=

60VR+rr

•

E(2)uC

(0.4ms)

=30(1+e

-1

)

=41V

uC(

)=———=30VR+rRE–

rE

=2

(R

r

)C=0.4

msuC(t)=30(1+e

-2500t

)V(0≤t≤0.4ms)即为第二个暂态过程的初始值uC(t)=60+(41–60)e

-2000(t

-

0.410-3)

'=

(r+R

r)

C=0.5ms=60

–19e

-2000t

+

0.8

VuC(

)=60V(0.4ms≤

t≤

)3060410.4t/ms0uC

/V变化曲线30

Rr90V_+_+S60

RECuCrRCuiuOuCiotui/V10ot10-10t1t2uO/VRCuOt=0t=t1ba+-10VuCiStP

<<tPuC第3章3.4微分电路的条件(1)

<<tp

(一般

<

0.2tP

)；(2)从电阻R两端输出电压。3.5.1微分电路3.5微分电路与积分电路3.5.2积分电路otui/V10t1t2ot10uO/VtouO/VtP

>>tPCRuiuOuRi积分电路的条件(1)

>>tP

(一般

>5tP

)；(2)从电容C两端输出电压。

<<tP成为积分延迟电路3.6

RL电路的响应3.6.1RL电路的零输入响应Rt=0baUiLSuLuRS合在位置a时,电感中通有电流,t=0时,开关S由位置a合向位置b,RL电路被短路。若iL(0-)=I0，则iL(0+)=I0(若换路前电路已处于稳态,则I0=U/R)根据KVL

uL

+

uR=0+RiL=0

diL

dtL—(3.5.1)+-式(3.5.1)的特征方程是Lp

+R=0根为p=–R/L

式(3.5.1)的通解为

iL(0+)=I0,则A=I0在t=0+时,所以iL

=

I0

e–—t

RL

=

I0

e–—

t

时间常数

=L

/R单位秒亨欧姆uR=R

iL=

R

I0

e–—

t

diL

dtuL=L—=–R

I0

e–—

t

=

Ae

–—t

RLiL=

Ae

pt

RI0uR–RI0uL变化曲线iLI0toiLotu0.368I0

讨论题:下图所示电感线圈电路,如果线圈的电感L很大,开关S断开时会产生什么后果?应如何解决?t=0SRLiL+–UuRL在S断开瞬间电流变化率很大,使自感电动势

eL很大,这个感应电动势可能使开关两触点之间的空气击穿造成电弧,开关触点被烧坏。为了防止这种现象发生，在线圈从电源断开的同时可将线圈加以短路，例如用续流二极管D,使电流(或磁能)通过二极管D逐渐减小。Ut=0SRL+–DiL为了加速线圈的放电过程,可用一个低值泄放电阻R´与线圈连接,如下图。t=0SRLiL+–UuRLR´若换路前电路已处于稳态,则换路后uRL=–R´iL=–—Ue

–—

t

RR´当R´>R时,uRL(0)>U在线圈两端会出现过电压现象,所以泄放电阻R´不宜过大。t=0SRLuViLV+–2

4V例1:已知电压表的内阻RV=1000,求uV(0+)。解:iL(0+)=

iL(0-)=4/2=2AuV(0+)=

iL(0+)RV=2

1000=2000V因电压表的内阻很大，在S断开之前，应先将电压表取下!以免引起过电压而损坏电压表。3.6.2RL电路的零状态响应Rt=0UiLSuLuR在换路前电感元件未储有能量，即电路处于零稳态。+–在t=0时，将开关S合上，电路即与一恒定电压为U的电压源接通。根据KVL

uL

+

uR=U+RiL=U

diL

dtL—特解iL´就是稳态分量

iL´=—UR补函数iL″=

Ae

–—t

RL通解为iL

=iL´+

iL″=—UR+

Ae

–—t

RL在t=0时，iL(0+)=iL