四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高二上学期期末数学试题

兴文二中2023年秋期高二期末考试数学试题本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】算出，借助准线定义即可得.【详解】，即，有，故，则准线方程为.故选：B.2.若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件（）A.既互斥又对立 B.互斥但不对立 C.对立但不互斥 D.既不互斥也不对立【答案】B【解析】【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，判断事件M，N的关系，即得答案.【详解】由题意知事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件不会同时发生，故二者互斥，当M不发生时，N也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2或4，故二者不对立，故选：B4.已知直线，若，则实数（）A.1 B.3 C.1或3 D.0【答案】A【解析】【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合.【详解】因为，所以，解得：或，当时，，，两直线平行，满足题意，当时，，，两直线重合，舍，所以.故选：A.5.若方程表示一个圆，则m可取的值为（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.【详解】由方程分别对进行配方得：，依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.故选：D.6.在棱长为2的正方体中，（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量数量积定义计算即可.【详解】在棱长为2的正方体中,易知，因为，与的夹角为，所以与的夹角为，.故选：D7.记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.【详解】设等差数列的公差为．由条件可知解得所以，．由，得，即，解得（舍去）．故选：B．8.已知为椭圆：上一点，，是的两个焦点，椭圆的离心率为，且的周长为16，若为等腰三角形，则的取值不可能为（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】由椭圆的离心率为，可得，由的周长为16可得：，联立即得，的值，，分类讨论，，即可得解.【详解】由椭圆的离心率为，即，由的周长为16，即，可得：，若，，若，，若，，只有不可能，故选：D【点睛】本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过点 B.圆与圆有两条公切线C.直线被圆截得的最短弦长为 D.当时，圆存在无数对点关于直线对称【答案】ABD【解析】【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D．【详解】对A，直线，即，恒过点，所以A正确；对B，圆的圆心坐标为，半径为，而圆的圆心为，半径为1，则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确；对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2．直线，恒过点，代入圆方程得，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，设圆心到直线的距离为，则弦长，若要弦长最短，则最大，而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为：，所以直线被圆截得最短弦长为，所以C不正确；对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标，得，则该直线经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．故选：ABD．10.已知数列满足，，则（）A B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】当时，，此时，由此即可判断B；由题意通过递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，即可判断剩余选项.【详解】数列满足，，所以时，，此时，故B错误；

，，

，化为：．当时，．．，，故可知．故选：AD．11.如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（）A.设向量旋转后的向量为，则B.点的轨迹是以为半径的圆C.设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是D.直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是【答案】ABC【解析】【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断A、B，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D.【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确；设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确；由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，则，故C正确；设直线在平面内的投影与直线所成的角为，则，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算.12.已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.点F到C的一条渐近线的距离为2B.双曲线C的离心率为C.则P到C的两条渐近线的距离之积大于4D.当最小时，则的周长为【答案】BCD【解析】【分析】由点到直线的距离公式，可判断A项；根据离心率，可判断B项；设点，根据点到直线的距离公式，可判断C项；设双曲线的右焦点，由双曲线定义可知最小时，则只需最小即可，过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，再由距离公式即可判断D项.【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；设点，则，即，点到两渐近线距离分别为和，则，所以C正确；设双曲线的右焦点，则，所以，若最小，则只需最小即可，过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，，由勾股定理得，所以，所以，所以的周长为，所以D正确.故选：BCD.第II卷非选择题（90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________.【答案】0.8##【解析】【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.【详解】由.故答案为：0.814.已知为等差数列，，则的值为________．【答案】【解析】【分析】法一：根据等差数列的通项公式，将条件和待求式都以表示，由此可求结果；法二：根据等差数列的下标和性质求解出的值，然后分析待求式与的关系可得结果.【详解】法一根据等差数列通项公式得:,∴,∴，故答案为：.法二∵，由等差数列性质知：，∴，∴，∴，故答案为：.15.在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于__________.【答案】【解析】【分析】首先利用等体积法求出内切球半径，再利用球的表面积公式求答案即可.【详解】如图，由已知，得的面积为，因为三棱锥的高为，所以，等腰三角形底边上的高为，所以三棱锥的表面积为，体积.又三棱锥的体积（其中为三棱锥内切球的半径），所以，所以三棱锥的内切球的表面积为.故答案为：.16.已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与圆交于两点在第一象限，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值.【详解】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，则直线过抛物线的焦点F，当时，联立与可得，所以，则；当时，如图，过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，则，得，则，同理可得，所以，化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.甲、乙两人组成“坚毅队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语的概率.（2）求“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用相互独立事件的概率公式计算即可.（2）运用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即可.【小问1详解】因为“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语，即：甲乙在两轮活动中都猜对，所以“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语的概率为.【小问2详解】由题意知，甲每轮猜错的概率为，乙每轮猜错的概率为，因为“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的对立事件为：“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语，又因“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语，即：甲乙在两轮活动中都猜错，所以“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语的概率为，所以“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的概率为.18.已知圆经过点、，并且直线：平分圆．（1）求圆的方程；（2）过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值．【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得解；（2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解.【小问1详解】设圆C的标准方程为，因为直线m：平分圆C的面积，所以直线过圆心，即，则，解得，圆的方程为；【小问2详解】由题意直线的方程为，联立，消去得，设，则，得，故，而，所以，故有，解得，满足，所以.19.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程.【小问1详解】因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，所以，双曲线的渐近线方程为，即，因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，解得，所以，所以双曲线的方程为.【小问2详解】若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，设、，设直线的斜率为，则，则，所以，化简得.因为线段的中点为，所以，，所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.20.如图1，在中，，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.（1）求证：平面；（2）设为的中点，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及勾股逆定理证得，再结合面面垂直的性质定理证得结果；（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量法求平面的法向量、平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值得出结果.【小问1详解】在中，，为中点，，又，.二面角为直二面角，平面平面，又平面平面平面，平面【小问2详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.可求得，由得，因为为的中点，，所以，设平面的法向量为，平面的法向量为，则得取，得取，设二面角为，，所以二面角的余弦值为21.为数列的前项和.已知，.（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和.【答案】21.证明见解析；22..【解析】【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.（2）利用错位相减法，即可求解.【小问1详解】证明：依题意，由两边同时加上，可得，因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，则当时，，当时，也满足上式，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，则，，两式相减，可得所以.22.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与该抛物线交于A，B两点，过焦点F且垂直于直线l的直线与抛物线C的准线交于点P．当直线l的斜率为1时，的面积为．（1）求抛物线C的方程；（2）求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设直线的方程并联立抛物线方程，进而可表示出弦长，再求得，即可根据的面积求得p的值，即得答案.（2）讨论直线斜率是否存在，存在时设直线方程，联立抛物线方程，可得根与与系数关系式，可表示出弦长，再求得的表达式，即可得的表达式，结合不等式