2第八章立体几何初步二（知识归纳题型突破）（原卷版）

第八章立体几何初步（二）（知识归纳+题型突破）1．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个基本事实的地位与作用。2．理解直线和平面平行的判定定理并能运用其解决相关问题.3．通过对判定定理的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．4．掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题．5．平面与平面平行的判定定理的应用．6.理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；7.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．8.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．9.能利用直线与平面垂直的判定定理进行证明．10.掌握直线与平面平行的性质定理；11.能用直线与平面平行的性质定理解决相关问题；12.理解直线到平面的距离，两平行平面的距离定义.13.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．14.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．15.熟悉线线垂直、线面垂直的转化.16.掌握平面与平面垂直的性质定理；17.运用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的问题；18.了解平面与平面垂直的判定定理与性质定理之间的关系.知识点1：异面直线（1）异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（2）异面直线的画法画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托（3）异面直线的判定①定义法②两直线既不平行也不相交知识点2：直线与平面平行(1)直线与平面平行的判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号表述：图形语言直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题)即线线平行线面平行(2)直线与平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号表述：，，简记：线线平行线面平行注意：①定理中三个条件缺一不可②简记：线面平行，则线线平行③定理的作用：判断直线与直线平行的重要依据④定理的关键：寻找平面与平面的交线知识点3：平面与平面平行的判定定理（1）两个平面平行的判定定理如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.（定理简述：线面平行，则面面平行。）（2）符号语言（3）图形语言（4）定理应用线线平行面面平行知识点4：平面与平面平行的性质定理（1）平面与平面平行的性质定理两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.（2）符号语言（3）图形语言（4）定理应用面面平行线线平行知识点5：异面直线所成角的概念已知两条异面直线，，经过空间任一点分别作直线，，我们把直线QUOTEa'与QUOTEb'所成的角叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）知识点6：异面直线所成角的范围由异面直线所成角的定义得，异面直线所成的角是锐角或直角，即.注意：①异面直线所成角的大小不能是，若两条直线所成角是，则这两条直线平行，不可能异面.②空间两直线所成的角的范围是.知识点7：直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足.（2）符号语言：对于任意，都有.（3）图形语言：（4）应用：①若直线与平面垂直，则这条直线与这个平面内的所有直线都垂直，从而可判断直线与平面内的直线互相垂直，即“若,,则”,简述为“若线面垂直，则线线垂直”因此直线与平面垂直的定义不仅是直线与平面垂直的判定方法，也是证明直线与直线垂直的重要且常用的方法.②重要结论：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直；过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.知识点8：直线与平面垂直的判定定理（1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.简记：线线垂直线面垂直（2）符号语言：，，，，（3）图形语言：如图知识点9：直线与平面所成角（1）直线与平面所成角的定义如图，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.（2）说明：①为斜线②与的交点为斜足③直线为在平面上的射影④直线与射影所成角(角)为直线与平面上所成角⑤当直线与平面垂直时：；当直线与平面平行或在平面内时：⑥直线与平面所成角取值范围：.（3）直线与平面所成角的求解步骤①作：在斜线上选取恰当的点向平而引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；②证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；③算：一般借助三角形的相关知识计算.知识点10：二面角（1）二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．（2）符号语言：①二面角.②在,内分别取两点，(,),可记作二面角;③当棱记作时，可记作二面角或者二面角.知识点11：二面角的平面角（1）定义：在二面角的棱上任取一点,以点为垂足,在半平面和内分别作垂直与直线的射线,,则射线和构成的叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）说明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度；②二面角的大小与垂足在上的位置无关一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的；③构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可，前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，后一个要素表明平面角所在的平面与棱垂直；④二面角的平面角的范围是，当两个半平面重合时，；当两个半平面合成一个平面时，⑤当两个半平面垂直时，，此时的二面角称为直二面角.知识点12：二面角的平面角求法（1）定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（一般取特殊点），过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法，要注意用二面角的平面角定义的三要素来找出平面角.（2）三垂线定理及其逆定理①定理：平面内的一条直线如果和经过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线的射影与二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也与二面角的棱垂直.从而确定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角.(4)转化法：化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角（或其补角）.(5)向量法：用空间向量求平面间夹角的方法（该方法我们将在选择性必修第一册中学到).知识点13：平面与平面垂直（1）定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.（2）符号语言:（3）图形语言知识点14：平面与平面垂直的判定定理（1）定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直)（2）符号（图形）语言:，（3）应用：线面垂直面面垂直.知识点15：平面与平面垂直的性质定理（1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．(2)符号（图形）语言：，，.(3)应用：①面面垂直线面垂直②作平面的垂线.题型一：三点共线问题例题1．（2024·全国·高二专题练习）如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．例题2．（2023·全国·高一专题练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.例题3．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．(1)求证：三线交于点P；(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．巩固训练1．（2024·全国·高一假期作业）空间中五点不共面，已知在同一平面内，在同一平面内，那么三点（

）A．一定构成三角形 B．一定共线 C．不一定共线D．与共面2．（2023下·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.(1)证明：四点共面；(2)设，证明：A，O，D三点共线.3．（2023·高一课时练习）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1C与截面DBC1交于O点，AC，BD交于M点，求证：C1，O，M三点共线．题型二：三线共点问题例题1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且．求证：直线，，相交于一点．例题2．（2023下·安徽·高一安徽师范大学附属中学校考阶段练习）空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别在AB，BC，CD，AD上，且满足，.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：EH，FG，BD三线共点.例题3．（2023下·高一单元测试）空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.(1)求；(2)求证：EH，FG，BD三线共点．巩固训练1．（2023下·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.2．（2023下·陕西·高一校联考期中）已知分别是正方体中和的中点.(1)证明：四点共面.(2)证明：三条直线交于一点.3．（2023·高一课时练习）如图，正四棱柱'．(1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）；(2)若Q、R分别为'中点，证明：AQ、CR、三线共点．题型三：由平面基本性质做截面图例题1．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·广东珠海·高三珠海市第一中学校考期末）如图，正方体的棱长为2，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面记为，则截面的面积为（

）A． B． C． D．例题3．（2024上·北京石景山·高三统考期末）在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（

）A． B．C．平面 D．平面平面例题4．（2024·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，为，的中点，在上，且.过，，三点的平面与长方体的六个面相交得到六边形，则点到直线的距离为.巩固训练1．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC的中点，用过点，E，的平面截正方体，则截面周长为（

）A． B．9 C． D．2．（多选）（2024上·贵州黔东南·高三天柱民族中学校考阶段练习）如图，正方体棱上一动点F，点E为棱BC的中点，则平面AEF截得正方体的几何图形可以是（

）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．六边形3．（2024·全国·高三专题练习）正方体的棱长是，其中是中点，是中点，则过点的截面面积是．4．（2024·全国·高二专题练习）已知正三棱柱的底面边长为3cm，高为3cm，M、N、P分别是、、的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）；(2)在（1）中作出过M、N、P三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）.题型四：求异面直线所成角例题1．（2024上·辽宁沈阳·高二校联考期末）如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·模拟预测）如图,在圆锥中,,为圆上的点,且,,若为的中点,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．例题3．（2024上·上海徐汇·高二统考期末）如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为.例题4．（2024·全国·模拟预测）如图，在圆锥中，是底面圆的直径，，点为上靠近点的三等分点，点为上靠近点A的四等分点，则异面直线与所成角的余弦值为．巩固训练1．（2024上·内蒙古呼和浩特·高二统考期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．2．（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体中，，，点在矩形内运动（包括边界），M，N分别为，的中点，若平面，当取得最小值时，异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2024上·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知棱长均相等的正三棱柱，则异面直线与所成角的余弦值为．4．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知在矩形和矩形中，，，且二面角为，则异面直线与所成角的正弦值为．题型五：由异面直线所成角求参数例题1．（2024上·河北邯郸·高三磁县第一中学校考阶段练习）如图，已知圆柱的底面半径和母线长均为1，分别为上、下底面圆周上的点，若异面直线所成的角为，则（

）A．1 B． C．1或2 D．2或例题2．（2024·全国·高一假期作业）如图，在四面体中，、分别为、的中点，若、所成的角为，且，则的长为（

）A． B． C． D．或例题3．（2023上·广西南宁·高二南宁三中校联考期中）如图，由矩形与矩形构成的二面角为直二面角，为中点，若与所成角为，且，则（

）A．1 B．2 C． D．巩固训练1．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，异面直线与所成的角为60°，，分别为棱，的中点，若，，则（

）A． B．2 C．或 D．2或2．（2023上·上海青浦·高二上海市青浦高级中学校考期末）在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国·高三专题练习）在空间四边形中，是的中点，是的中点，对角线，异面直线与所成角大小为60°，则的长度是．题型六：线面平行的判定与性质定理例题1．（2023上·上海浦东新·高三校考期中）如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则．例题2．（2023上·河北秦皇岛·高二统考期中）如图所示，在正四棱锥中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO于点F，．证明：平面PBC.例题3．（2023上·四川南充·高二四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积大小．例题4．（2023下·全国·高一期中）如图所示，已知是平行四边形所在平面外一点，分别是的中点.(1)求证：平面；(2)设平面平面，求证：.巩固训练1．（2023上·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为棱上的点，，且平面，则.2．（2023上·陕西·高二校联考阶段练习）在正四棱台中，，，，，，若平面，则．3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正三棱柱中，分别是，，的中点，，求证：平面；4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于HG，求证：．题型七：面面平行的判定与性质定理例题1．（2023上·安徽六安·高二校考阶段练习）已知直三棱柱中，，，，P是的中点，Q在棱上，且，M在棱上，若平面，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在多面体中，是正方形，，，，为棱的中点．求证：平面平面.例题3．（2023下·辽宁阜新·高一校考期末）已知在正方体中，M、E、F、N分别是、、、的中点.求证：(1)E、F、D、B四点共面(2)平面平面.例题4．（2023上·辽宁沈阳·高二沈阳市第一二〇中学校考开学考试）如图甲，在平面五边形ABCDE中，，，，，，，，，垂足为H，将沿AD折起（如图乙），使得平面平面ABCD．(1)求证：平面ABCD；(2)在线段BE上是否存在点M，使得平面CDE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．巩固训练1．（2023下·全国·高一随堂练习）如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，．(1)证明：；(2)证明：平面平面.2．（2023下·全国·高一随堂练习）直四棱柱中，，求证：平面.3．（2023上·江西宜春·高一江西省丰城中学校考期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点．(1)证明：平面.(2)在上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由．4．（2023·全国·高一随堂练习）如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．题型八：直线与平面垂直例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积．例题2．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，，且在中，，．(1)求证：；(2)若，求四棱锥的体积．例题3．（2024·全国·高三专题练习）如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.证明：平面平面；例题4．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，，．证明：例题4．（2024·全国·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为正三角形，点E，F分别在棱，上，且，．(1)证明：平面平面；(2)若，求三棱锥的体积．巩固训练1．（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）如图，已知正四棱柱，(1)求证：平面；(2)求证：平面平面2．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，已知，.证明：平面；3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，，，.证明：平面平面；4．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点，证明：.5．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，△是边长为的正三角形，，．(1)求证：平面平面BCD；(2)若点E在棱BC上，且，求三棱锥的体积．题型九：求线面角例题1．（2024·陕西渭南·统考一模）在正三棱柱中，，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1，点P为正方形内的动点，满足直线BP与下底面ABCD所成角为的点P的轨迹长度为（

）A． B． C． D．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于．例题4．（2024上·江苏扬州·高二统考学业考试）如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面，．(1)求证：；(2)已知三棱锥的体积为，求直线PC与平面PAB所成角的正切值．巩固训练1．（2024·全国·高三专题练习）在长方体中，，，，则与平面所成角的正切值为（

）A． B．2 C． D．2．（2024上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥的高的中点作平行于底面的截面，若四棱锥与四棱台的表面积之比为，则直线与底面所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．3．（2024上·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考阶段练习）正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，则与侧面所成的角的大小为.4．（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.(1)求证平面.；(2)求与平面所成角的大小．题型十：已知线面角求参数例题1．（2024上·上海长宁·高二上海市民办新虹桥中学校考期末）已知斜三棱柱的底面是正三角形，与底面中心的连线垂直于底面，侧棱，，且与底面所成角的大小是，则此三棱柱的底面边长是．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，点为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点的轨迹所围成的周长为．例题3．（2024上·上海黄浦·高二统考期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面ABCD，为的中点．(1)设平面与直线相交于点，求证：为的中点；(2)若，，直线与平面所成角的大小为，求PD的长．例题4．（2023下·黑龙江·高一黑龙江实验中学校考期末）在三棱锥中，，，．(1)求证：；(2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值．巩固训练1．（2024·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为，则动点N的轨迹的长度为．2．（2023上·陕西·高三校联考阶段练习）已知正三棱柱内接于半径为2的球，若直线与平面所成的角为30°，则.3．（2024上·上海·高二统考期末）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形．(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由.4．（2023下·安徽滁州·高一统考期末）如图，在四棱锥中，DA⊥平面ABE，，，，F是DE的中点.(1)证明：平面ABE；(2)若，直线DE与平面ABE所成角为，求直线CF与直线DB所成角的余弦值.题型十一：求二面角例题1．（2024上·上海黄浦·高二统考期末）如图，在正三棱柱中，底面的边长为1，P为棱上一点．(1)若，P为的中点，求异面直线与所成角的大小；(2)若，设二面角、的平面角分别为、，求的最值及取到最值时点P的位置．例题2．（2024·全国·高三专题练习）如图，平行六面体的底面是菱形，且．试用尽可能多的方法解决以下两问：(1)若，记面为，面为，求二面角的平面角的余弦值；(2)当的值为多少时，能使平面？例题3．（2024·全国·高三专题练习）如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．例题4．（2024·全国·模拟预测）在三棱台中，，，且平面平面．(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值．巩固训练1．（2024上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知在四棱锥中，，，，，，E为CD的中点.(1)证明：平面平面PAE；(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角的正弦值.2．（2024上·陕西西安·高三西安中学校考期末）如图所示，在四棱锥中，四边形为梯形，，，平面平面．(1)若的中点为，求证：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱中，已知平面，且.(1)求的长；(2)若为线段的中点，求二面角的余弦值.4．（2024·全国·高三专题练习）已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．①；②为二面角的平面角．题型十二：根据二面角求参数例题1．（2024上·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面为矩形，顶棱和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即（其中是刍薨的高，即顶棱到底面的距离），已知和均为等边三角形，若二面角和的大小均为，则该刍薨的体积为（

）A． B． C． D．例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知半径为4的球，被两个平面截得圆，记两圆的公共弦为，且，若二面角的大小为，则四面体的体积的最大值为（

）A． B． C． D．例题3．（多选）（2024·全国·高三专题练习）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为例题4．（2024·全国·高三专题练习）如图，正方体的棱长为1．在棱上