类比与探究（解析版）-八年级数学复习三角形全等、轴对称及几何动态问题思维训练

专题09类比与探究

❶定义型

❷全等类

类比与探究

◎材料类

❹定理类

【典例解析】

【例1】（2020•江苏南京月考）阅读理解

如图①，XNBC中，沿NBAC的平分线ABl折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿NBIAlC的平分线A1B2

折叠，剪掉重复部分；….；将余下部分沿/BAe的平分线AnBnA折叠，点B11与点C重合.无论折叠

多少次，只要最后一次恰好重合，NBAC是aABC的好角.小丽展示了确定NBAC是AABC的好角的两

种情形.

情形一：如图②，沿等腰三角形A8C顶角/3AC的平分线ABl折叠，点B与点C重合；

情形二：如图③，沿NBAC的平分线ABl折叠，剪掉重复部分；将余下的部分沿NBlAlC的平分线AlB2

折叠，此时点B∖与点C重合.

探究发现

（1）ΔABC中，ZB=2ZC,ZBAC是不是AABC的好角？____（填“是”或“不是”）

（2）猜想：若经过n次折叠后发现NBAC是AABC的好角，则NB与/C（不妨设/B>NC）之间的等

量关系为_______________

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15。、60。、/05。，发现60"和/05。的两个角都是此三角形的好角.

请你完成，如果一个三角形的最小角是12。，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此

三角形的好角.

图①图②图③

【答案】(1)是；(2)ZΛ=nZC:(3)见解析.

【解析】解：(1)ZVlBC中，NB=2NC,经过两次折叠，NBAC是AABC的好角；

理由如下：

小丽展示的情形二中，如图③，

由折叠知：ZB=ZAA1B1,ZA1BiC=ZC;

,/ZA41B∣=ZC+ZAIBIG

ΛZB=2ZC,NB4C是△?!BC的好角.

故答案为：是；

(2)∕B=∏NC;

理由如下：

由折叠的性质知，ZB=ZAAiBl,ZC=ZA2B2C,ZAtBlC=ZA1A2B2,

：.ZAiA2B2=ZC+ZA2B2C=2ZC;

,o

.∙ZBAC+ZB+ZAA1B1-ZAlBiC=ZBAC+2ZB-2ZC180,

/.ZBAC+ZB+ZC=∖SO°,

.∙.NB=3NC;

由小丽展示的情形一知，当/B=NC时，NBAC是448C的好角；

由小丽展示的情形二知，当NB=2NC时，NHAC是448C的好角；

由小丽展示的情形三知，当∕B=3NC时，NBAC是aABC的好角；

故若经过〃次折叠/BAC是AABC的好角，则/5与/C(不妨设∕B>NC)之间的等量系为/8=”/C；

故答案为：ZB=nZC;

(3)由(2)知设/A=12。，

是好角，

二NB=⑵。；

VZA是好角，

ZC-mZB=∖2mn°,其中加、〃为正整数,

而12+12n+12mn—180

Λ∖+n+nm=↑5

ΛH(1+ʌn)=14,即〃?=1,n=7或m=6,〃=2或∕n=l3,H=I

.∙.如果一个三角形的最小角是12。,三角形另外两个角的度数是24。、144。；12。、156。；84。、84°.

【变式1-1](202。重庆市月考)阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一

个内角度数的3倍,那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”例如:一个三角形三个内角的度数分别是120。,

40°,20°,这个三角形就是一个“梦想三角形反之，若一个三角形是“梦想三角形"，那么这个三角形的三

个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍.

(1)如果一个“梦想三角形”有一个角为108。，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为

(2)如图1,已知∕MON=6(Γ,在射线OM上取一点4,过点A作48_LOM交CW于点8,以A为端点作

射线A。，交线段于点C(点C不与。、8重合)，若NAC8=80。.判定AAOB,/MOC是否是“梦想三

角形”，为什么？

(3)如图2,点。在AABC的边上，连接。C,作/AOC的平分线交AC于点E,在。C上取一点F,使得

ZEFC+ZBDC=180o,NDEF=NB.若△BCO是“梦想三角形”，求乙B的度数.

图1图2

【答案】(D36。或18。：(2)(3)见解析.

【解析】解：当108。的角是另一个内角的3倍时,

最小角为180o-108o-108÷3o=36o,

当180。-108。=72。的角是另一个内角的3倍时，

最小角为72。+(1+3)=18°,

“梦想三角形”的最小内角的度数为36。或18°.

故答案为:36。或18。.

(2)ΔAOB,A49C都是“梦想三角形”

证明："：ABLOM,

.".ZOAB=90°,

：.NA8。=90°-NMoN=30°,

.NOA8=3NA8O,

・・・ZXAOB为“梦想三角形”，

oo

VZΛ∕O∕V=60,ZACB=SOf/ACB=NOAC+NMON,

ΛZOAC=80o-60o=20o,

ΛNAO8=3NoAG

・・・ZXAOC是“梦想三角形”.

o0

(3)解：VZEFC+ZBDC=ISO9ZADC+ZBDC=ISO9

：.ZEFC=ZADCt

：.AD//EF,

：.ZDEF=ZADEt

•：NDEF=/B,

：.ZB=ZADE9

：.DE//BC,

."CDE=NBCD,

TAE平分NAoC

/.NADE=NCDE,

：.ZB=ZBCDf

是“梦想三角形”，

：・/BDC=3/B,或NB=3N8OC

•：ZBDC+ZBCD+ZB=180°,

/…/540、。

・・・/3=36。或NB=(——)°.

7

【变式l-2](2020∙宁波市期末)若ABC中刚好有NB=2NC,则称此三角形为“可爱三角形”，并且NA

称作“可爱角现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是().

A.45。或36oB.72或360C.45。或72。D.36。或72。或45。

【答案】C

【解析】解：由题意可知：设这个等腰三角形为448G且N8=2∕C,

①当N3是底角时，则另一底角为NA,且NA=N6=2NC,

由三角形内角和为180。可知：ZΛ÷ZB÷ZC=180o,

Λ5ZC=180o,.∙.∕C=36°,NA=NB=72°,

此时可爱角为/A=72。，

②当NC是底角，则另一底角为NA,且NB=2∕A=2NC,

由三角形内角和为180°可知：ZA+ZB+ZC=ISOo,

Λ4ZC=180o,即NC=45°,

此时可爱角为NA=45。，

故答案为：C.

【例2】(2020•江苏泰州月考)

(1)如图1：在四边形ABC中，AB=AC,ZB=ZADC=Wo,E、F分别是BC、Cn上的点，且EF=BE+FZλ

探究图中NBAE、ZFAD.NEAF之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是：延长皿到点G,使OG

=BE.连接AG,先证明AABEgZVlOG,再证明△AEF丝AAGF,可得出结论，他的结论应是；

(2)如图2,若在四边形ABCD中，AB=A。，/8+/O=180。.E、尸分别是BC、CO上的点，且EF=BE+FD,

上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)如图3,已知在四边形ABCz)中，ZABC+ZADC^18O°AB=AD,若点E在CB的延长线上，点F在

8的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD,请写出/EAF与/D4B的数量关系，并给出证明过

程.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF.理由:

延长FC到点G,使。G=BE,连接4G,

uo

∖AB=ADtZB=ZADG=90,

：.ΛABE^ΛADGf

：.ZBAE=ZDAGfAE=AGf

♦：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：.∆AEF^ΔAGF,

.Β.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF.

故答案为：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)成立，理由：

延长尸。到点G,使DG=BE,连接AG,

oo

YZB+ZADF=180,ZADG+ZADF=ISOf

・♦・NB=NAOG,

又TAB=AZ),

：.ΔABf^ΔADG,

：,/BAE=NDAG,AE=AGf

•：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf

：.∆AEF^ΔΛGF,

・•・ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)ZE4F=180o-ɪZDAB.

2

延长。C至G,使DG=BE,连接AG,

：.ZADC=ZABE,

又∙.∙A8=AQ,

Λ∆ADG^∕∖ABE（SAS）,

：.AG=AE,NDAG=NBAE,

•；EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.ΔΔAGF（SSS）,

.∖ZFAE^ZFAG,

'：ZFAE+ZFAG+ZGAE=360o,

.∖2ZFAE+（NGA8+N8AE）=360°,

Λ2ZME+（ZGAB+ZDAG）=360°,

即2ZMf+ZDAB=360o,

.∙.NEAF=I80°--ZDAB.

2

【变式2-1］（2018•河南洛阳月考）（1）操作发现：将等腰RJABC与等腰RjADE按如图1方式叠放，

其中NACB=NAr）E=90°，点。，E分别在AB，AC边上，Λ/为BE的中点，连结CM,.小

明发现CW=DM，你认为正确吗？请说明理由.

（2）思考探究：小明想：若将图1中的等腰Rt,ADE绕点A沿逆时针方向旋转一定的角度，上述结论会

如何呢？为此进行以下探究：

探究一：将图1中的等腰RjADE绕点A沿逆时针方向旋转45°（如图2）,其他条件不变，发现结论

CW=依然成立.请你给出证明.

探究二：将图1中的等腰Rt-ADE绕点4沿逆时针方向旋转135°（如图3）,其他条件不变，则结论

CW=OM还成立吗？请说明理由.

图1图2图3

【答案】见解析.

【解析】解：(1)过B作BNLAB,交。M的延长线交于N,连接CM

.".DE∕∕BN,

：./DEM=ZMBN,

,JEM=BM,ZEMD=ZBMN

：.4EMD迫丛BMN,

：.BN=DE=DA,MN=MD,

AC=BC

在△和△CN8中，＜NA=NCBN=45,

BN=DA

：.XCADQXCNB,

：.CD=CN,

AOCN是等腰宜角三角形，CM是底边的中线,

.'.CMA-DN,

.∙.ADCM是等腰直角三角形，

：.DM=CM.

(2)探究一

连接。M并延长，交BC于N,

・.,NEDA=NAC8=90。，

.∖DE∕∕BC,

：•ZDEM=ZMBCf

ZDEM=ANBM

在AEMO和43MN中，∖EM=BM,

ZEMD=ZNMB

:∙∕∖EMD与ABMN(ASA),

:∙BN=DE=DA,MN=MD

YAC=BC,

：.CD=CNf

・・・AOCN是等腰直角三角形，CM是底边的中线，

：.CMA.DM,NDCM=LNDCN=45。=NBCM,

2

...△CM。为等腰直角三角形.

：.DM=CM.

探究二

过点8作BN//DE交DM的延长线于N,连接CN,

：./E=NMBN=45。.

：点M是BE的中点,

：.EM=BM.

NE=ZMBN

在^EMD和ABMN中，（EM=BM

ZDME=4NMB

AEMDQABMN（ASA）,

.'.BN=DE=DA,MN=MD,

'：ZDAE=ZBAC^ZABC=45o,

.∙.NDAC=NNBC=90。

DA=BN

在^DCA和小NCB中<NDAC=NNBC,

CA=BC

：.ADCA^ANCB（SAS）,

：.ZDCA=ZNCB,DC=CN,

：.NDCN=∕ACB=90°,

.♦.△£）CN是等腰直角三角形，CM是底边的中线，

.∖CM-LDM,NDCM=LNDCN=45。=NCDM,

2

：.ACMD为等腰直角三角形.

LDM=CM.

【变式2-2］（2020•浙江椒江期末）

（阅读材科）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，

如果具有公共的项角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规

律的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图形中，小明发现若NBAC=ND4E,AB=AC,AD=AE,

则4ABD^ΛACE.

（材料理解）（1）在图1中证明小明的发现.

（深入探究）（2）如图2,AABC和AAED是等边三角形，连接8。，EC交于点O,连接AO,下列结论：

①BO=EC;②/8OC=60。；③/4OE=60。；④Eo=C0,其中正确的有.（将所有正确的序号填在横

线上）.

（延伸应用）（3）如图3,AB=BC,ZABC=ZBDC=60o,试探究N4与NC的数量关系.

EE

B

B

图1图2图3

【答案】见解析.

【解析】（1）证明：：NBAC=ZDAE,

：.ZBAC+ZCAD=ΛDAE+ACAD,

：.ZBAD^ZCAE,

AB=AC

在AABQ和^ACE中，,NBAD=NCAE,

AD^AE

二∆ABD^∆ACE;

(2)在。8上截取。尸=OC,连接C尸

YZVlBC和4A。E是等边三角形，

.".AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在AABQ和△4CE中，＜NBAO=NCAE,

AD^AE

：.ΛABD^AACE,

：.BD=CE,①正确，NADB=NAEC,

设AO与CE的交点为G,

∙.∙NAGE=NDGO,

oo

Λl80-ZADB-ZDGO=180-ZAEC-ZAGE9

：.NOoE=NOAE=60。，

o

ΛZBOC=60f②正确，

•：OC=OFf

•••△OCF是等边三角形，

：.CF=OC,ZOFC=ZOCF=60°=ZACB,

・・・ZBCF=ZACOt

'JAB=ACf

Λ∆BCF^∆ACO,

.∙.ZAOC=ZBFC=180o-ZOFC=120°,

ΛZAOE=180o-ZAOC=60o,③正确，

连接AR⅛OC=OE9贝IJooLCE,

2

λ

:BD=CE9

：.CF=OF=-BD,

2

：,OF=BF+OD,

J.BF<CFf

：.ZOBOZBCFf

∙/NOBC+NBCF=/OFC=60。,

ΛZOBC>30o,无法判断NO3C大于30度，所以，④不一定正确,

即：正确的有①②③，

故答案为①②③；

(3)延长£)C至P,使DP=DB

D

∙/ZBDC=60o,

.♦.△8。尸是等边三角形，

：.BD=BP,ZDBP=60o,

•：ZBAC=60o=ZDBP,

：.ZABD=ZCBP,

:AB=CB,

：.4ABDqACBP

.,.ZBCP=ZA,

∖'ZBCD+ZBCP=ISOo,

：.NA+NBCO=180。.

【例3】(2020•湖南广益期中)同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象。如图1,AB

是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CO经过反射后的反射光线是OE,。，是法线，法线垂直于镜

面AB.入射光线CD和平面镜所成的角NBQC叫做入射角，反射光线OE与平面镜所成的角NAQE叫做反

射角。镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：

(1)如图1,法线DH交X轴于点F,交y轴于点H,试探究NDFC与ND4H之间的数量关系并加以证明；

(2)如图2,第一象限的平面镜AB交X轴于点B,交y轴于点A,X轴负半轴上也放置了一块平面镜，

入射光线CO经过两次反射后得到反射光线EG,DH是法线,射线CO和EG的反向延长线交于点P.

①若第一象限平面镜与X轴夹角为26。，问入射角/BDC为多少时，反射光线EG与48平行？

②若NoCE>/QEC,平面镜AB绕点。旋转，是否存在一个定值％,使得ZDCE-ZDEC="/OHF总是成

立，若存在请求出Z值，若不存在，请说明理由.

图1图2

【答案】见解析.

【解析】解:

(1)ZDFC=ZDAH

o

∖'DHLAB1ZADH=90

：.ND4H+NAHo=90。

•：ZOFH+ZAHD=90o

ΛZDAH=ZOFH

YZDFC=ZOFH

：.NDFC=NDAH

(2)①由题意得：NDBE=26。

设NBoC=M则NAoE=N8DC=x

'.'EG//AB1

INDEP=NADE=X

：.ZBED=ZBEP

∙.'NDEP=NBED+/BEP=X

：.ZBED=-X

2

由NADE=NBED+NDBE,

得：X=LX+26,解得：x=52

2

即当∕BQC=52。时，EG//AB

[ZDCENBDe+NDBE

②由三角形的外角性质得：｛,,CL

NADENDEC+4DBE

(ZBDC=ZDCE-ZDBE

即！，

ZADE=NDEC+ZDBE

Y入射角等于反射角，

.∙.ZADE=ZBDC

.∙.∕DCE-NDEC=2NDBE

易得：NOHF=NDBE

：.NDCE-NDEC=2NOHF

二存在一个定值k=2,使得NDCE-NDEC=2NOHF总、是成立.

【变式3-1］（2020•江西期中）数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36。的等腰三角形我们称

之为黄金三角形，”黄金三角形''具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角

形，为此，请你，解答问题：

(1)已知如图1：黄金三角形△ABC中，乙4=36。，直线BO平分/A8C交AC于点。，求证：AABO和AOBC

都是等腰三角形；

(2)如图2,在AABC中，AB=AC,ZA=36o,请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角

形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数.

(3)已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36。，求原三角形的最大内角

的所有可能值.

【解析】解：⑴证明：VZABC=(180-36)÷2=72,BD平分NABC,NABD=36。,

二NABD=/BAD,

为等腰三角形，

ZBDC=720=ZC,

.∙.aBCQ为等腰三角形；

(2)如图所示：

(3)当一个三角形满足①直角三角形；②一个内角是另一个内角的2倍；③一个内角是另一个内角的3倍,

这三种情况之一时，该三角形必能被过某一顶点的直线分成两个等腰三角形.

①最大内角为90。；

②36。是另一内角的2倍，最大内角为：126。

一个内角是36。的2倍，最大内角为：72°；

除36。角外的两个内角度数满足2倍关系，最大内角为96°(不合题意，舍去)；

③36。是另一内角的3倍，最大内角为：132。

一个内角是36。的3倍，最大内角为：108。；

除36。角外的两个内角度数满足3倍关系，最大内角为108°；

综上所述:最大角的可能值为72。,90。，108。，126。，132°.

【例4】(2020•山西平定期中)请阅读下列材料，并完成相应任务.

塞瓦定理

塞瓦定理载于1678年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现.如图，塞瓦定理是指在AABC

BDCEAF

内任取一点O,延长AQBO,CO分别交对边。，E,F于,则——X—×—=1.

DCEABF

任务：

(I)当点。,E分别为边BGAC的中点时，求证：点b为AB的中点;

(2)若AABC为等边三角形，AB=I2,AE=A,点。是BC边的中点，求的长.

【答案】见解析.

【解析】(1)证明：E分别为边BC、AC的中点，

：.BIACD,AE=CE

由塞瓦定理,得器X詈X熊=1

J.AF=BF

即尸是AB的中点.

(2)解：∙.∙Z∖4BC为等边三角形，AB=12

：.AB=AC=BC=U

'：AE=4

：.CE=S

。是8C中点

：.BD=CD=6,

∖'AB=∖2

.'.AF=U-BF

由赛瓦定理，得：殷XqX竺二I

DCEAFB

.68\2-BF,

64BF

解得：BF=8.

【习题专练】

1.（2020.湖南长沙月考）规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“雅系特征值”,

2

记作3若k=§，则该等腰三角形的顶角为.

【答案】45°.

【解析】解:

∙."AA8C中,AH=AC,

：.NB=NC,

：.ZA：ZB：ZC=2：3：3,

2

即ZA=180o×---------=45°,

2+3+3

二ZA=450.

故答案为：45°.

2.（2020.江苏鼓楼期末）在/M4N的两边上各取点B、C,在平面上任取点P（不与点A、B、C重合），连

接PB、PC,设/BPC为/1,NABP为N2,/ACP为/3.请探索/1、/2、N3和NBAC这4个角之间

的数量关系.

分析问题：由于点P是平面上的任意点，要考虑全面，需对点P的位置进行如下分类.

(1)若点尸在NMAN的两边上，易知点8、C将两边分成线段AB、AC,射线BM、CTV四个部分，根据提

示，完成表格;

条件一级分类二级分类图形表示数量关系

ɪ

Z2=0o

点P在

且NI=N3+NB4C

线段AB

上

ACN

点P在线上M,

A

N2T80。且

的两边点尸在

Nl+N3+ZBHC=180°

上射线BM

上

ACʌ

点尸在线

图略

段AC上

点P在射

线AX上点P在射

线UV上图略

(2)点P在/MAN的内部，如图1,线段BC将内部分成线段8C,区域①，区域②三个部分.若点P在

线段BC上，则所求数量关系：/1=180。且/2+/3+/84›180。；

若点P在区域①中，则所求数量关系为：—；

若点P在区域②中，写出这4个角之间的数量关系，并利用图2加以证明.

图2备用图

类比解决：

(3)点P在NAMN的外部时，直接写出当点P在该部分时这4个角之间的数量关系.

【答案】见解析.

【解析】解：（I）/3=0咀N1=N2+ZBAG

/3=180。且N1+N2+NBAC=180°；

（2）若点尸在区域①中，Zl+Z2+Z3+ZBAC=360°,

若点/＞在区域②中，Z∣=Z3+Z2+ZBAC,

延长BP,交射线AN于点。

：NPQC是AABQ的外角

二NPDC=N2+NBAC

VZl是4PCz）的外角

①N2=∕1+N8AC+N3

②N1=00且N2=∕3+NBAC

③N1+N2=N3+NBAC

④N3=0。且NBAC=N1+N2

⑤"AC=/1+N2+/3

⑥NBAC=N1+N3且/2=0。

⑦N1+N3=N2+NBAC

⑧N1=0。且N3=N2+NBAC

⑨∕3=∕l+N8AC+∕2

3.（2019.湖北房县）请按照研究问题的步骤依次完成任务.

（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明NA+N8=∕C+NO.

阳5

（简单应用）

（2）如图2,AP,CP分别平分NA4。、ZBCD,若∕A3C=20t5,ZADC=26o,求NP的度数（可直接使用

问题（1）中的结论）

（问题探究）

（3）如图3,直线AP平分NBA。的外角/砌O,CP平分/BCZ）的外角/BCE,若/ABC=36。，ZADC=16°,

猜想NP的度数为一；

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设NC=X,ZB=y,ZCAP=-ZCAB,ZCDP=-ZCDB,试问/P与/C、/8之间的

-33

数量关系为（用X、y表示NP）；

（5）在图5中，AP平分/BA。，CP平分∕BCE）的外角/8CE,猜想/尸与NB、O的关系，直接写出结论.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）证明：在A4O8中，N4+/8+N4O8=180。，

在ACOD中，ZC+ZZ）+ZCOD=180°,

•：ZAOB=ZCOD,

/.ZA+ZB=ZC+ZD;

(2)解：CP分别平分NBAZ),NBCD,

：.Nl=/2,Z3=Z4,

NP+N3=Nl+NB①

由（1）的结论得:

ZP+Z2=Z4+ZZX2)

①+②，得2NP+∕2+N3=Nl+∕4+∕B+∕Zλ

：.ZP=—(ZB+ZD)=23°：

2

(3)解：

平分∕E1D,CP平分NBCE,

,N1=N2,Z3=Z4,

.∙.Z∕¾Z)=180o-Z2,NPCO=I80°-∕3,

VZP+(180o-Zl)=ZD+(180o-Z3),ZP+Z1=ZB+Z4,

；.2NP=NB+ND,

：.ZP=—(∕8+∕E))=LX(36°+16°)=26°；

22

故答案为：26°；

(4)由题意可得：NB+NCAB=NC+NBDC,

即y+ZCAB=x+ZBDC,即C=X-y,

NB+NBAP=NP+NPDB,

即y+NZMP=NP+NPO8,

.∙.y+(ZCAB-ZCAP)=ZP+(ZBDC-ZCDP),

.∙.y+CZCAB--ZCAB)=ZP+QZBDC--ZCDB),

33

11

.∙.ZP=v+ZCAB--ZCAB-ZCDB+-ZCDB

33

2

=>+-(NCAB-NCDB)

-3

=y+-(x-v)

-3

21

=—x+-y

33

21

故答案为：NP=-XH—y；

33

(5)由题意可得：ZB+ZBAD=ZD+ZBCDfNDAP+NP=NPCD+ND,

：•ZB-ZD=ZBCD-ZBAD,

TAP平分NB40,CP平分NBCE,

：.ZBAP=ZDAP9ZPCE=ZPCBf

：.—/BAD+NP=(ZBCD+-ZBCE)+ZD,

22

ΛɪZBAD+ZP=[ZBCD+^(180o-ZBCD)]+ZD,

：.ZP=90°+—NBCD--ZBAD+ZD

22

=90°+ɪ(NBCD-NBAD)+ND

2

=90。+L(ZB-ZD)+ZD

2

180o+ZB+Zr>

2

4.(2019・南京师范大学附属中学期中)(约定)若一个三角形中有一个是直角，称此三角形为I类美丽三角

形；若一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，称此三角形为∏类美丽三角形；若一个三角形中有一个

角是另一个角的3倍，称此三角形为HI类美丽三角形；I、II、In类美丽三角形合称为美丽三角形.

如图1中的AABC中，ZC=90,则AABC是I类美丽三角形；

如图2中的ZkABC中，NC=2NB=2α,则AABC是∏类美丽三角形；

如图3中的AABC中，NC=2NB=3α,则△ABC是HI类美丽三角形；

(结论1)美丽三角形都可以用一条过某一顶点的直线分割成两个等腰三角形.

(1)请在图1、2、3中分别画出分割线，并标出相等的角(用a表示)或相等的边.

(应用I)(2)如图4,一个含有2()和15角的三角形，再拼上一个三角形后就可以拼成一个美丽三角形,

图5就是其中的一种拼法.请在该三角形的三边上各拼上一个三角形，使之成为I、II、IIl类美丽三角形

各一个，在备用图中分别画出来并在图上标出所拼三角形的三个角的度数.

(结论2)如果过一个三角形某一顶点的直线可以把它分割成两个等腰三角形，那么这个三角形一定是美丽

三角形.

（应用2）（3）如图6,如果在图4中的最短边Ae上拼上一个三角形后所形成的ABS能被两条直线分割

成三个等腰三角形，其中一个等腰三角形的底边为BC、底角为NB,设所拼三角形中与20角相邻的角为α,

请直接写出所有a的大小.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）分割线如图所示:

①有90。角；②有一个角是另一个角的两倍（单倍角要小了45。）③有一个角是另一个角的三倍（单倍角要

小于45。）

ʌa的大小可为5。或55。或130。或85。或135°或10。或65°.

5.(2020・湖南广益期末)对于平面直角坐标系XOy中的点P(aS),若点P的坐标为(α+奶,3+勾(其

中左为常数，且ZHO),则称点尸'为点P的"左属派生点”.例如：P(1,4)的“2属派生点”为

Λ(l+2×4,2×l+4),即P'(9,6).

(1)若点尸的“3属派生点''尸'的坐标为(6,2),求点尸的坐标；

(2)若点P在X轴的正半轴上，点P的“々属派生点”为P点，且线段尸P的长度为线段OP长度的2倍，

求去的值;

⑶如图，已知点A(0,2),点尸是X轴上一点，且是点(2,4)的“属派生点”，以线段AP为一边，在其

一侧作如图所示等边三角线APQ.现P点沿X轴运动，当点尸运动到原点。处时，记Q的位置为3.问

三角形ABQ的面积是否是一个定值，如果是，请求出面积；如果不是，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)设点P的坐标为尸(a,b),

a+3b=6

由题意得:

3a+b=2

a-Q

解得<

b=2

∙∙.点P的坐标为P(0,2);

(2)设点尸的坐标为P(m,0),/«>0

由7属派生点”的定义得：点尸的坐标为(〃?为”),

则因zn=2m,解得：k=±2；

(3)aABQ的面积是一个定值

设点P的坐标为P(，〃，0),

：点(2,4)的7属派生点”的为(2+4k,2A+4),

2+4Z=mm--6

解得V,C

2攵+4=0k=-2

即P(-6,0),OP=G,

"JOA=I,

ΔAPQ和^AOB是等边三角形

：.AP=AQ,ΛPAQ=ΛOAB,AO=AB

：.ZPAQ-ZOAQ=ZOAB-ZOAQ,即APAO=AQAB

：.∕∖A0P^∕∖A8Q

∙,∙S&ABQ=SeAOP=ɪOPOA=6

故AABQ的面积是一个定值，为6.

6.在等腰三角形中，过其中的一个顶点的直线如果能把这个等腰三角形分成两个小的等腰三角形，我们称

这种等腰三角形为“少见的三角形“，这条直线称为分割线，下面我们来研究这类三角形.

(1)等腰直角三角形是不是“少见的三角形”？

(2)已知如图所示的钝角三角形是一个“少见的三角形''，请你画出分割线的大致位置，并求出顶角的度数；

(3)锐角三角形中有没有“少见的三角形”？如果没有，请说明理由；如果有，请画出图形并求出顶角的度

设/A=x°,

则/ACD=/A=X°,ZB=ZA=Xo,

：・NBCD=∕B=x0,

∙/ZΛ+ZACB+ZB=180o

即x+x+x÷x=180,

解得：x=45,

则顶角是90。；

•♦•△A5C是等腰直角三角形，即等腰直角三角形是“少见的三角形”;

(2)如图，

设N3=x0,

t

∖AB=AC9

o

：.ZC=ZB=Xf

u

∖BD=ADt

Q

：.ZBAD=ZB=XF

o

：,ZADC=ZB+ZBAD=2xf

λu

.AC=DCf

：.ZADC=ZCAD=2xo,

：.NBAC=3x。,

Λx+x+3x=180,x=36o,

则顶角NBAC=IO8。.

(3)如图，

AC=BCfAB=AD=CD,

设Ne=X。,

•：AD=CD,

：・ZCAD=ZC=xo,

・・・ZADB=ZCAD+ZC=2xo,

,

∖AD=AB9

o

：.ZB=ZADB=Ixf

♦；AC=BC,

o

.∖ZCAB=ZB=2xf

VZCAB+ZB÷ZC=180o,

.*.Λ+2.γ+2,r=180,x=36o,

则顶角是36。.

7.(2019•湖南天心期末)定义：若两个三角形，有两边相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全

等三角形，我们就称这两个三角形为偏差三角形.

(1)如图1,已知A(3,2),B(4,0),请在X轴上找一个C,使得△OAB与△OAC是偏差三角形.你

找到的C点的坐标是,直接写出/08A和NocA的数量关系.

(2)如图2,在四边形ABC。中，AC平分NBA。，ZD+ZB=180o,问△ABC与△ACQ是偏差三角形吗？

请说明理由.

(3)如图3,在四边形ABCD中，AB=DC,AC与8。交于点P,BD+AC=9,N84C+NBDC=I80。，其中

ZBDC<90o,且点C到直线BO的距离是3,求△ABC与△BCQ的面积之和.

【答案】见解析.

【解析】解：(1)

9：AC=AB,△048与AOAC是偏差三角形，A(3,2),8(4,0),

・・・点C的坐标为(2,0),

・；AC=AB,

，ZACB=ZABCf

VZ0CΛ÷ZACB=I80°,

o

：.ZOBA+ZOCA=ISO9

故答案为：(2,0),ZOBA÷ZOCA=180o;

(2)AABC与AACO是偏差三角形

在Ao上截取A"=A3

〈AC平分NRAO,

ΛZCAW=ZC