数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲-几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的根本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1】〔1〕如图1，圆内接中，，为圆的半径，于点，于点，求证：阴影局部四边形的面积是的面积的.

〔2〕如图2，假设保持角度不变，求证：绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形〔图中阴影局部〕面积始终是的面积的．〔广东省中考题〕思路点拨对于〔1〕，连，那么要证明，只需证明；对于〔2〕，类比〔1〕的证明方法证明。【例2】如图，⊙和⊙外切于点，是⊙和⊙的公切线，为切点．

〔1〕求证：；

〔2〕过点的直线分别交⊙和⊙于点，且是连心线时，直线DB与直线交于点．请在图中画出图形，并判断与是否互相垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由；

〔3〕在〔2〕的其他条件不变的情况下，将直线绕点旋转〔不与点重合〕，请另画出图形，并判断与是否互相垂直？假设垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由．〔沈阳市中考题〕思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明假设，那么这一位置关系不变。【例3】如图，定长的弦在一个以为直径的半圆上滑动，是的中点，是对作垂线的垂足，求证：不管滑到什么位置，是一定角．〔第18届加拿大数学竞赛题〕思路点拨不管滑到什么位置，弧及的度数都是定制，从探寻与的关系入手。【例4】如图，扇形的半径，圆心角，点是弧上异于的动点，过点作于点，作于点，连接，点在线段上，且.

〔1〕求证：四边形是平行四边形；

〔2〕当点在弧上运动时，在中，是否存在长度不变的线段？假设存在，请求出该线段的长度；

〔3〕求证：是定值．〔广州市中考题〕思路点拨对于〔3〕，设法把用的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。【例5】如图，等边内接于圆，在劣弧上取异于的点，设直线与相交于，直线与相交于点，证明：线段和的乘积与点的选择无关．〔湖北省竞赛题〕思路点拨即要证是一个定值，在图形中的边长是一个定值，说明与有关，从图知为与的公共边，作一个大胆的猜测，，从而我们的证明目标更加明确．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，⊙交x轴于两点，交轴于两点，且为弧的中点，交轴于点，假设点的坐标为．

〔1〕求点的坐标；

〔2〕连接，求证：；

〔3〕如图2，过点作⊙的切线，交轴于点．动点在⊙的圆周上运动时，的比值是否发生变化？假设不变，求出比值；假设变化，说明变化规律．〔深圳市中考题〕学力训练根底夯实阅读以下材料，然后解答问题．

经过正四边形〔即正方形〕各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．

如图，正四边形ABCD的外接圆⊙，⊙的面积为，正四边形的面积为，以圆心为顶点作，使，将绕点旋转，分别与⊙相交于点，分别与正四边形的边相交于点．设由弧及正四边形的边围成的图形〔图中的阴影局部〕的面积为.〔1〕当经过点时〔如图①〕，那么之间的关系为：〔用含、的代数式表示〕；

〔2〕当时〔如图②〕，点为垂足，那么〔1〕中的结论仍然成立吗？请说明理由；

〔3〕当旋转到任意位置时〔如图③〕，那么〔1〕中的结论仍然成立吗？请说明理由．〔邵阳市中考题〕如图，在等腰三角形中，为底边的中点，以为圆心作半圆与相切，切点分别为．过半圆上一点作半圆的切线，分别交于．求证：为定值。如图，等边三角形的周长为，为其内任一点，于，于，于。求证：〔1〕为定值；〔2〕为定值。〔三明市中考题〕4.半径为的⊙经过半径为的⊙的圆心，⊙与⊙交于两点．

〔1〕如图1，连接交⊙于点，并延长交⊙于点，过点作⊙的切线交⊙′于两点，求的值；

〔2〕假设点为⊙上一动点．

①当点运动到⊙内时，如图2，过点作⊙O的切线交⊙O′，于两点，那么的值与〔1〕中的结论相比拟有无变化？请说明理由；

②当点运动到⊙外时，过点C作⊙的切线，假设能交⊙于两点，如图3，那么的值与〔1〕中的结论相比拟有无变化？请说明理由．〔济南市中考题〕

能力拓展5.如图，内接于圆的四边形的对角线与垂直相交于点，设圆的半径为，求证：〔1〕是定值；〔2〕是定值。6.如图，为正方形的外接圆的劣弧上任意一点，求证：为定值。7.如图，为直角三角形，，点在轴上，点坐标为，线段与轴相交于点，以为顶点的抛物线过点．

〔1〕求点的坐标〔用表示〕；

〔2〕求抛物线的解析式；

〔3〕设点为抛物线上点至点之间的一动点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，试证明：为定值．〔湘潭市中考题〕8.如下图，四边形是矩形，点的坐标分别为，点是线段上的动点〔与端点不重合〕，过点作直线交折线于点．

〔1〕记的面积为，求与的函数关系式；

〔2〕当点在线段上时，假设矩形关于直线的对称图形为四边形，试探究四边形与矩形的重叠局部的面积是否发生变化？假设不变，求出该重叠局部的面积；假设改变，请说明理由．〔广州市中考题〕综合创新9.如图1所示，以点为圆心的圆与轴，轴分别交于点，直线与⊙相切于点，交轴于点，交轴于点．

〔1〕请直接写出，⊙的半径，的长；

〔2〕如图2所示，弦交轴于点，且，求的值；

〔3〕如图3所示，点为线段上一动点〔不与重合〕，连接交⊙于点，弦交轴于点．是否存在一个常数，始终满足？如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．

〔深圳市中考题〕10.小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点，两直角边与该抛物线交于两点，请解答以下问题：

〔1〕假设测得〔如图1〕，求的值；

〔2〕对同