专题04轨迹方程的求法（讲义）原卷版

专题04轨迹方程的求法1.动点轨迹问题解题策略一般有以下几种：直译法：一般步骤为：①建系,建立适当的坐标系；②设点,设轨迹上的任一点P(x，y)；③列式,列出动点P所满足的关系式；④代换,依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简；⑤证明,证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；(3)代入法(相关点法)：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而变化，并且Q(x0，y0)又在某已知曲线上，则可先用x，y的代数式表示x0，y0，再将x0，y0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P(x，y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x，y均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2.解轨迹问题注意：（1）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等.（2）要验证曲线上的点是否都满足方程，以方程解为坐标点是否都在曲线上，补上在曲线上而不满足方程解得点，去掉满足方程的解而不再曲线上的点.题型【一】、定义法求曲线的轨迹方程定义法：定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。例1、（2022上·安徽芜湖·高二校考期末）已知、，若，则点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．例2、（2023上·江西南昌·高三南昌市第三中学校考阶段练习）一动圆与圆外切，与圆内切，则动圆圆心点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知动点的坐标满足方程，则动点的轨迹是（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆2．（2023上·山东聊城·高二统考期中）已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（

）A． B．C． D．3．（2023上·四川成都·高二校联考期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．4．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）已知圆，圆，动圆P以点P为圆心，且与圆外切，与圆内切.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)已知点为轨迹C上任意一点，求的最大值.题型【二】、直接法求曲线的轨迹方程直直接法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。例3、（2023上·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足．(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的长为，求直线的方程．例4、（2021上·四川成都·高三石室中学校考期末）已知点S是圆上任意一点，过S作x轴的垂线，垂足为H，点T满足，记点T的轨迹为C．(1)求轨迹C的方程；(2)设轨迹C与x轴的交点分别为，，与y轴正半轴的交点为B，M是轨迹C上任意一点，且M不在坐标轴上．若直线与直线交于点P，直线与直线交于点Q．试判断的形状，并说明理由．1．（2023上·福建泉州·高二统考阶段练习）已知直线，，动点满足，且到和的距离之积为.(1)求的轨迹的方程；(2)已知，过的动直线与交于不同两点，，若线段上有一点满足，求的最小值.题型【三】、参数法求曲线的轨迹方程参数法：参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t），y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。例5、（2023上·湖南长沙·高二雅礼中学校考期中）如图，设P是上的动点，点D是点P在x轴上的投影，Q点满足（）．(1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程；(2)若，设点，A关于原点的对称点为B，直线l过点且与曲线C交于点M和点N，设直线AM与直线BN交于点T，设直线AM的斜率为，直线BN的斜率为．（i）求证：为定值；（ii）求证：存在两条定直线、，使得点T到直线、的距离之积为定值．例6、（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，y轴同侧的两点P和Q分别在直线和上，且，记PQ的中点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线与曲线C有两个不同的交点A，B，求面积的最小值．1．（2023上·云南昆明·高三校考阶段练习）已知实数m，n满足.令，，记动点的轨迹为E.(1)求E的方程，并说明E是什么曲线；(2)过点作相互垂直的两条直线和，和与E分别交于A、B和C、D，证明：.2．（2024上·贵州贵阳·高三统考期中）圆：与轴的负半轴和正半轴分别交于两点，是圆与轴垂直非直径的弦，直线与直线交于点，记动点的轨迹为．(1)求轨迹的方程；(2)在平面直角坐标系中，倾斜角确定的直线称为定向直线．是否存在不过点的定向直线，当直线与轨迹交于时，；若存在，求直线的一个方向向量；若不存在，说明理由．题型【四】代入法（相关点法）代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。例7、（2022上·甘肃陇南·高二校考期末）已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，上顶点为，设点.(1)若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；(2)过原点的直线交椭圆于点、，若的面积为，求直线的斜率.例8、（2023上·河南·高三统考阶段练习）已知抛物线，直线垂直于轴，与交于两点，为坐标原点，过点且平行于轴的直线与直线交于点，记动点的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)点在直线上运动，过点作曲线的两条切线，切点分别为，在平面内是否存在定点，使得？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．1、双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程。题型【五】、交轨法交轨法：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。例9、（2023上·北京·高二校考期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，.(1)求动点的轨迹方程；(2)若直线的倾斜角为，求直线的方程；例10、（2023上·湖南·高二校联考期中）椭圆：的左、右焦