2023-2024学年河南省名校高二年级下册5月联考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年河南省名校高二下学期5月联考数学模拟试题

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.设集合"二卜三>(I8={2,3,5},C={x∣l"<4},则(4Ce)CB=()

A.{4}B.{3,4}C.{3}D.{2,3}

【正确答案】C

【分析】解出集合A,利用交集定义可求得集合(4nc)n8.

【详解】因为Z='x-〉0'={x|x—2〉θ}={x∣x〉2},8={2,3,5},C={x∣l<X<4},

则ZCC={x∣2<x<4},故(力∏C)nB={3}.

故选：C.

2.己知实数α,b满足α<b,i为虚数单位，则复数α(T+i)+b(l-i)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【正确答案】D

【分析】根据复数代数形式的加减运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】复数a(—l+i)+b(l-i)=(b-α)+(α-6)i,

则复数α(T+i)+b(l-i)在复平面内对应的点为他一α,α-b),

因为α<b,所以b—4>0,a-b<O,所以点伍—a,a—6)位于第四象限.

故选：D

3.已知等比数列{%}的前〃项和为S,∕eN*,且%+%=3,S3+4=S2+6,则等比数列{a,,}的公

比为()

11

A.VB.2C.-D.3

23

【正确答案】A

【分析】设公比为g,依题意可得%+a∣=6,再由4+4=3两式相除即可得解.

【详解】设公比为g,因为S3+q=S2+6,则S3-∙S2+q=6,即q+q=6,

又生+。4=3，BPa2+a4-axq+aiq-3,

3ɪ

所以<7=

62,

故选：A

4.若在一次大型数学考试(满分150分)中，考生分数X服从正态分布N(l20,64),则考生分数在104

分以上的概率为()

(若X~N(〃Q2),则

P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6827,P(XZ-2σ≤X<μ+2σ)=0.9545,

P(3b≤X≤∕∕+3b)=0.9973)

A.0.5B.0.84135C.0.97725D.0.99865

【正确答案】C

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.

【详解】由题意,P(104≤X<120)=；P(Io4≤X≤136)=:χθ.9545=0.47725,

所以P(X>104)=P(IO4≤X≤120)+P(X>120)=0.47725+0.5=0.97725,

所以考生分数在104分以上的概率为0.97725.

故选:C.

5.已知(α+x)(2+x)5的展开式中的常数项为32,则『项的系数是()

A.aB.40C.80D.120

【正确答案】D

【分析】利用(α+x)(2+x)5的展开式中的常数项求出。的值，然后写出(4+x)(2+x)5的展开式通项,

令X的指数为3,求出参数后代入通项即可求得结果.

【详解】因为(α+x)(2+x)5="(2+xy+x(2+x)5,其中x(2+x),中不含常数项，

5

(2+x)的展开式通项为TM=C*∙25dxM左=0,1,2,…,5),

所以，(α+x)(2+x)5的展开式中的常数项为25q=32α=32,解得。=1，

(2+x)5的展开式中Y的系数为C^∙22=4O,

5】=5rr

X(2+x)的展开式通项为XT.+xC'5-2~x=C5-25TXTG=O,1,2,…,5),

令r+l=3可得尸=2,则x(2+x)5的展开式中d的系数为C>23=80,

因此，(4+》)(2+》)5的展开式中/的系数为40+80=120.

故选：D.

6.已知有3项工作，每项工作分别需要安排2个人完成，每人只需完成一项工作，现有3男、3女共6名

工作人员，则每项工作恰好有一男一女的概率为()

3241

A.-B.-C.—D.—

551515

【正确答案】B

【分析】计算出所有的分配方法种数以及每项工作恰好有一男一女的分配方法种数，利用古典概型的概率

公式可求得所求事件的概率.

C2C2C2

【详解】将3男、3女共6名工作人员分为三组，分组种数为6,：二,

A3

C2C2C2

再将这三组工作人员分配给三项工作，不同的分配种数为6；2A；=90.

ʌɜ

若这每项工作恰好有一男一女，则不同的分配方法种数为A；A；=36种.

由古典概型的概率公式可知，所求概率为尸=史=2.

905

故选：B

7.若存在唯一的实数使得曲线歹=-85(公<:+；](0>0)关于直线》=/对称，则0的取值

范围是()

(371「371(371「37^

A.一,—B.—C.—D.一,一

(44j[44」(22」[22」

【正确答案】C

【分析】利用诱导公式可得V=Sin⑦X—g(⑦>0),根据由题意知初一色=q+bτMeZ在∕∈0,二

I4j'，42<2

上有唯一的实根，结合正弦函数性质即可求解。的取值范围.

(兀π

【详解】J=-COS5+一=sinωx——0〉0),

I44

因为曲线关于直线x=f对称，

TTTT3JT(ʌJT\

所以&—=--^kπ,k∈Z,得而=一+Λπ,左∈Z,ωte∖0,-ω,

424V2J

因为存在唯一的实数fw(θ,∙∣),使得曲线y=-cos(①x+；=Sin(0%-：)(啰>0)关于直线》=/对称,

所以茫+E,A:WZ只有唯一的值落在0,2①(<y>0)中,

4I2J

c3兀兀

0<—<-ωrC

自右42—37

故有=>-<ω≤-.

7兀、兀22

——≥-ω

42

故选:C.

8

8.已知α=log78,力=亍,C=Iogg9,则α,b,c的大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.a>c>bD.b>a>C

【正确答案】D

【分析】构造函数/(χ)=W,其中X〉e,利用导数分析函数/(χ)的单调性，可判断。、b的大小关

系，利用作差法结合基本不等式可判断。、C的大小关系.

【详解】构造函数/(X)=匣，其中％〉e,则r(x)=上誓<0,

XX

所以，函数/(x)在(e,+8)上为减函数，

所以，/(7)>/(8),即苧>限则α=bg78=翳<5=6,

(/色7+山9丫

In8In9(In8)2-ln7∙ln9即叼(2J

(1—C--------------=----------------------->-----------------------------

In7In8In7∙In8In7∙In8

(In8)2-(ln√63j2(In隔『一(In痘『

In71n8^In71n8

因此，h>a>c.

故选：D.

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图所示，在正方体ZBCr>-Z4GA中，平面4。13门平面/8。)=直线/,则下列选项中结论正

确的是()

A.∕±Z)Z)1B.I//AC

c./工平面ac>A4D./与CR所成的角为60°

【正确答案】ABD

【分析】对于A,由正方体的性质可得。〃，平面ZBCO,再由线面垂直的性质分析判断，对于B,由

已知可得ZC〃平面4匕8,再利用线面平行的性质分析判断，对于C,由正方体的性质可得NC与平面

不垂直，而/〃NC，从而可分析判断，对于D,连接NO∣,则/与CA所成的角即为N/ICQ,

再由A4Cn为等边三角形可求得结果.

【详解】对于A,因为平面4G8C平面/5Cz)=直线/,所以/u平面ZBCO

因为DDl，平面ZBCZ),

所以/工DD∣,所以A正确，

对于B,因为/C〃4G，NC(Z平面4£3，4&<=平面4°13，

所以NC〃平面

因为平面4G8c平面/8C。=直线/,NCU平面ZBCO,

所以/〃/C,所以B正确，

对于C,因为/1C与平面NOA4不垂直，I〃AC,

所以/与平面4。。/不垂直，所以C错误，

对于D,连接力A，因为/〃ZC,

所以/与CR所成的角即为ZACD1,

因为CA为等边三角形，所以4Cn=60°,

所以/与Cn所成的角为60。，所以D正确，

故选：ABD

10.已知α>0,b>0,且有〃（/+4"）=16,则α+2∕>的可能取值为（)

717

A.3B.一C.4D.

2T

【正确答案】CD

【分析】由题意可得/+44b=j∣,求出（α+2b）2关于b的表达式，利用基本不等式即可求解.

【详解】因为。>0,6>0,且满足〃（/+4"）=16,所以/+4必=¥

则(α+26)2==16,

当且仅当患=4/,即b2=2时取等号，

则（4+26）2的最小值为16,所以4+2b的最小值为4.

故选:CD.

11.已知双曲线£:/-4=4（%HO）的右顶点为A,左、右焦点分别为耳、F2,直线《、4分别是E

m~

的斜率大于0、小于。的渐近线，P是4上一点，且PNLX轴，则下列选项中结论正确的是（）

A.若4的斜率是2，则“2=4,且双曲线的离心率为J5

B.若PFJIl2,则双曲线的离心率为百

c.P4有可能垂直于4

D.ZVjJPg一定是直角三角形

【正确答案】AD

【分析】利用已知条件求出切2的值，结合双曲线的离心率公式可判断AB选项；利用反证法可判断C选

项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断D选项.

22

【详解】由题意可知，双曲线C的标准方程为L一二1=1，其渐近线方程为y=±M∣χ,

Λλm2

因为双曲线。的焦点在X轴上，则；1>0,

对于A选项，若4的斜率是2,即W∣=2,则/=4,

双曲线C的离心率为e=£=J12j+1=JwI2+1=>A对；

对于B选项，由题意可得z(J7,θ),则α=J7,⅛=√∑∣∕n∣,C=J(I+加2)人,

因为P8Hl2,则ZPOF2=ZPF2O,

故APoK为等腰三角形，且IPol=I尸用，因为尸/_Lx轴，则A为OK的中点,

2

所以，1J(l+m)Λ=2√I,可得加2=3,

此时，双曲线C的离心率为e=£=+l=JF'+l=2'B错；

对于C选项，若PKj■/一直线∕∣的方程为y=∣m∣x,

由点到直线的距离公式可得IPFJ-∣m∣V∑,

Jl+m^

22

所以，|oPI=y∣∖0F2f-∖PF2f=^l+m)λ-mλ=√I，

因为产4，X轴，则40P=NPOB,NoNP=NoPg=90°,

ʌ∖OA∖∖OP∖CC

所以，MλOPSAPOF一则扇=鬲，即丁布*则…

与双曲线C的标准方程矛盾，假设不成立，C错；

对于D选项，易知点耳卜41+加2)九0卜个(1(1+/)儿0b

将X=J元代入方程y=网》可得y=帆，即点尸(JΣ,∣M∣JT),

=λ-(∖+nr'jλ+nrλ=O,

所以，PFJPF2,故△£尸鸟一定为直角三角形，D对•.

故选：AD.

12.已知函数/(X)=四”L若关于X的方程-4/2(力+4。./(尤)-2"3=0有3个不同的实根，则

X

实数。的取值可以为()

q212

A.-------B.—2eC.------D.e+1

2c—2e

【正确答案】ABC

【分析】首先分析函数/(x)的图象，再结合二次方程的实数根，利用数形结合求实数α的取值范围.

【详解】/(X)=——,r(ɪ)ɪ—ʒ—(x>0),

XX

令/'(x)=°,得X=N,

当x∈0,e^2时，/¢(^)>0,/(x)单调递增，

(_1ʌ

当x∈e2,+00时，/(x)单调递增，

\/

当丫一0*时，函数/(x)取得最大值士，如图，画出函数/(χ)的图象，

λ-c2

%

OX

-4/2(X)+4α√∙(x)-2Q-3=O,

ʃ/、-4a±J16a2+16(-2tz-3)a±y∕a2-2a-3

/(X)=­，----------------=-2------------

如图，

当q+Λ∕<7"—2iz—3c旦0a—J4~-2a-3<e

~~2,<2<2

a=

故选：ABC

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量加=(，』)，=(∕-4,l-z),若)〃；，则实数，的值为

【正确答案】±2

【分析】首先求出］的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】因为而=(//)，五一3=(7—4,1T),

所以〃=加一(〃?一〃)=(/1)一«-4,1-√)=(4,f),

XmlIn`所以J=1*4，解得/=±2.

故±2

14.已知函数/(x)=2χ3-炉，则曲线〃x)在X=O处的切线方程为

【正确答案】x+y+l=0

【分析】由导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而可求切线方程.

【详解】因为/'(x)=6χ2一e",所以/'(O)=T,

即曲线/(x)在x=0处的切线的斜率左=∕'(0)=-l,

又因为/(O)=T,所以切点为(0,-1),

所以曲线/(x)在*=0处的切线方程为了+1=-3，即x+y+l=O.

故答案为.x+y+l=O

15.已知夕为第一象限角，tan[e+(J=2,则sin(26+；J=

【正确答案】逗

10

【分析】由两角和的正切公式求出tan。，根据同角三角函数的基本关系求出Sin6、CoSe,再由二倍角

公式求出Sin26、cos26,最后由两角和的正弦公式计算可得.

八兀

/、tan，+tan一J]

【详解】因为tan∣θ+-=----------------------------=2,解得tan。=一

I4JITanetan兀Iane3

4

,zι11

CSine1sinθ=-，SIn9八=——7=

tanθ=-------=—√103√10

所以.cosθ3,解得,3或'

22n3

sin^+cosθ=1cosθ=­t---cosθ——1=,

√10√W

・C1

sinθ=-J=

√10

又。为第一象限角，所以〈

3

COSθ=-7=

√10

.1334

所以Sin2θ—2Sinθcos。=2x-X-=一

√10√1055

Tl∖Tπrπ兀

所以Sin2θ+-=sin2θcos—+cos2θsin—=X也+久包=述

I444525210

故逑

10

16.己知棱长均为2ΛΛ的多面体48C-44G由上、下全等的正四棱锥4一483C和C-N88∣G拼接

而成，其中四边形力84G为正方形，如图所示，记该多面体的外接球半径为R,该多面体的棱切球(与

该多面体的所有棱均相切的球)的半径为，•，则6=.

r

【正确答案】√2

【分析】如图。为正方形Z84G的中心，则。既是多面体/8C-4AG的外接球的球心，也是棱切球

的球心，过点。作O"∙LB∣G于点”，求出外接球的半径R与棱切球的半径，•，即可得解.

【详解】在多面体Z8C-44G中，。为正方形∕88∣G的中心，如图所示：

由题意可知。既是多面体力8。-44£的外接球的球心，也是棱切球的球心,

过点O作OH工BCl于点H,在RtAZQG中，OC∖=3BG=&,

AICI=26,所以R=OG=O4="，

所以尸=OH-V3，

故6

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛αn｝的前n项和为Sn,且4=1,S,=20,,-l,∏∈N*.数列也｝为等差数列,4=%也=%.

（1）求｛4,,｝与也｝的通项公式；

（2）记％=-----,求｛g｝的前〃项和

Qn

【正确答案】（1）。〃=21,hn=2ni

2〃+3

⑵T=6—

rl2"^'

【分析】（1）由%与S,,的关系可得｛q,｝是首项为1,公比为2的等比数列,即可得出｛α,,｝的通项公式,由

4=%也=（即可得出也｝的通项公式；

2〃一I

（2）由（1）知%=F-，由错位相减法即可得出答案.

【小问1详解】

■:Sn=2an—1,Sn+i—2αzι+∣-1,两式作差得:an+l=2%,又％=1,

/.｛%｝是首项为1,公比为2的等比数列，则%=2"τ.

设｛⅛｝的公差为d,由4=%=2也=%=8,可得d=———=-~~-=2,

4—13

bn=2+2(〃-1)=2〃.

【小问2详解】

h—12〃—1z

由⑴知：J=------=〒厂，｛q,｝1的前n项和北，

anZ

1352/7-1

所以（,=

12222"~'

IEl352〃一32«-1

-T=-I—74——+…H-------I---------，

2222232"T2"

两式作差得：—T=1+1H1—rH1——-----——

22222"^22"

1√1Γ,ɔ

（2）2H—12〃+3

=H-------：-----------=5----------•

11TT

2

_/2〃+3

所以】=6—h∙

18.随着全国新能源汽车推广力度的加大，尤其是在全国实现“双碳”目标的大背景下，新能源汽车消费迎

来了前所未有的新机遇.为了更好了解大众对新能源汽车的接受程度，某城市汽车行业协会依据年龄采用

按比例分层随机抽样的方式抽取了200名市民，并对他们选择新能源汽车，还是选择传统汽车进行意向调

查，得到了以下统计数据：

选择新能源汽车选择传统汽车合计

40岁以下65

40岁以上（包含40岁）60100

合计200

（1）完成2x2列联表，并判断依据α=0.001的独立性检验，能否认为选择新能源汽车与年龄有关；

（2）以样本的频率作为总体的概率，若从全市40岁以上（包含40岁）购买汽车的人中有放回地随机抽

取3人，用X表示抽取的是“选择新能源汽车''的人数，求X的分布列及数学期望E（X）∙

n(ad-bc^)^,,

附：Z27----U----77----C---r,n=a+b+c+d.

(α+b)(c+d)(α+C)(6+d)

a0.1000.0500.0100.001

2706

Xa3.8416.63510.828

【正确答案】(1)至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.

(2)分布列见详解，E(X)=L2.

Mad-be)2

【分析】(1)根据2x2列联表中的数据以及公式/进行计算求解.

(α+b)(c+1)(α+c∙)(b+i∕)

(2)利用二项分布进行计算求解.

【小问1详解】

由题可知：

选择新能源汽车选择传统汽军合计

40岁以下6535100

40岁以上(包含40岁)4060100

合计10595200

所以鼠深需"L8,

所以至少有99.9%的把握认为选择新能源汽车与年龄有关.

【小问2详解】

由题可知，从全市40岁以上(包含40岁)购买汽车的人中有放回地随机抽取,

抽取的是“选择新能源汽车”的人的概率为0.4,所以X〜8(3,04),

所以X的可能取值为：0,1,2,3,且

P(X=O)=C：XO.4oX0.63=0.216：

P(X=I)=C；xθ.4∣xθ.62=0.432；

产(χ=2)=CXO.42xθ.6=0.288；

P(X=3)=C；X0.43X0.6°=0.064；

所以X的分布列为：

X0123

P0.2160.4320.2880.064

数学期望E(X)=IX0.432+2×0.288+3×0.064=1.2.

19.如图，已知四棱锥尸一/BC。的底面NBC。是矩形，PB=PD,AC与BD交于点O，过ZB的平面

分别与PC,P0交于点£,尸，且尸OLEF.

(1)证明：尸O人平面N6C0；

(2)若E是尸C的中点，且4B=4,BC=2,AE=2yβ，求二面角/一8E-尸的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析

⑵与

【分析】(1)通过求证P。，CZ)和PO_L8。，由线面垂直的判定定理即可求证；

(2)建立空间直角坐标系，求出/8和尸。，求平面P8E与平面48E的法向量，利用向量法即可求解.

【小问1详解】

VABHCD,CD<Z平面ABEF,ABU平面ABEF,

CDH平面ABEF.

,/CDU平面PCO,且平面PCDCl平面ABEF=EF,：.CDHEF.

；POLEF,：.POLCD.

'：尸8=「。，0是8。的中点,，POlBD.

•；BDCCD=D,8。CDU平面ABCD,

：.PomABCD.

【小问2详解】

如图所示,过点。作OM_L/8于M,过点。作ON_LBC于N,

由(1)知P。工平面ZBCO,

.∙.以O为坐标原点,丽,丽,丽的方向分别为X轴J轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系

O-xyz,

设PO=4,.∙.Z(l,-2,0),8(1,2,0),1(),

I2IJ

由ZE=2√J,可得(一|)+32+^=(2√3)2.解得α=JL

.•・荏=，33,在、

~2,~1,~Y

122)，,C8=(2,0,0),

设云=(x∣,y∣,zj为平面PBC的法向量，

c---八2x=0

tn∙CB—01

则<_,即3

fh∙BE=0I-^x1-y∣+

不妨令ZI=2,可得加=(θ,JJ,2).

设I=(X2,%，)为平面ABEF的法向量，

3y/3

__TF∏—工2+3JΛ>H-------Z=0

n∙AE=0ɔ2z2ɔ22

则〈_,即《；

H∙BE=03√3

_/72+丁2=0

不妨令Z2=百,可得G=(1,0,√3).

设二面角A-BE-P的平面角为6,

易知二面角N-8E-P的平面角为锐角,

.二面角/一8E-尸的余弦值为叵.

20.在中，Q,b,c分别为内角4夙C的对边.

（1）若V2sinCcos5=V2sirU-SinB，求C;

(2)若24bsinC=c2,求一的取值范围.

b

71

【正确答案】(1)C=—

4

(2)[√2-l,√2+1]

【分析】（1）由三角形的内角和可得SinZ=Sin（8+C）,代入JIsinCcosB=J5sin?I-Sin5中并用两角

和的正弦把sin（8+C）展开即可得CoSC,从而可得C；

（2）由2αbsinC=c2结合余弦定理可得E∙+2=sinC+cosC,求出sinC+COSC的范围并解不等式即

2b2a

可得区的取值范围.

h

【小问1详解】

因为V^SinCCoSB=V2sirU-SirLB=V^Sin（8+C）-sirιβ

=V∑sin5cosC÷V2cosJSSinC-sin5，

即J∑sinBcosC=siπ5，因为8∈（0,兀），所以sinB>O，

所以COSC=巫，又C∈（O,π）,所以C=巴.

24

【小问2详解】

由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，

因为24bsinC=/，所以2αbsinC=α?+〃-2αbcosC，

所以"=g+-L.=SinC+cosC>O,

2ab2b2a

因为C£（。,兀），sinC+cosC>O,

所以SinC+cosC=>∕2sin（C+-）∈（O,V2],

4

即OV----1----≤V2,解得一∈[V2—1,>/2+1],

2h2ah

所以区的取值范围是[√∑7,√∑+1].

b

22/y

21.已知椭圆。：鼻+会=15〉6>0）的离心率为半，长轴长为4.

（1）求椭圆C的标准方程；

/、ɪɪI

（2）过点。（1,1）的直线/交椭圆。于43两点，点尸在直线/上且在椭圆外，若网，两，两成等差

数列，求点尸的轨迹方程.

【正确答案】（1）-+^=↑

42

(2)2y+x-4=0

【分析】（1）依题意求出。、c,即可求出b,从而求出方程;

/、/、112

（2）设Z（X”必），8（》2，为），依题意可得网+国=西，直线/的斜率存在，设/：y=左（x—1）+1,

尸（/，。，九\），联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，依题意可得2口==1+一1；，代入韦

达定理，即可得到2为+/-4=0,从而求出动点轨迹方程，再计算斜率不存在时P点坐标，代入检验即

可.

【小问1详解】

依题意e=£=也，24=4,所以α=2,c=√2.

a2

则b=J°2-02=也,所以椭圆方程为9+5=1.

【小问2详解】

设Z（XlM,B（x2,y2）,

111112

因为网'园［'两成等差数列,所以网+网二园,

若直线/的斜率存在，设/:y=左（x-l）+l,P（XO,九），

y=Ar（x-1）+1

由2,整理得（1+2左2）》2一4左（左—l）χ+2（F-2左一1）=0,

—I-ɪ-=1

42

显然A〉。，则％+%3,*」俨-21),

1-1+2公中2ι+2公

11_2/T2_11

由网+国一两可得G=ɪo-ɪ,+⅞-x2'

即2Γxθ-x0(xl+x2)+x1x2J=(XO-I)[2x0-(X]+0)]，

即

(XO+l)(xl+x2)-2XIX2=2x0,

4k(k-i)4(⅛2-2⅛-l)X。-2

所以(x0+l)∙=2x0,整理得到A

∖+2k2∖+2k22(1。)

又因为X)=MXOT)+1,所以-XO+4=2%,即2%+XO-4=0,

所以点P的轨迹方程为2y+x-4=0,

----1----=1

若直线/的斜率不存在，由《42,解得后或《

不妨令工

∖pQ∖,

[12

+

即,_T6,+√6-lʃp-ɪl,因为yp〉逅或为,<_",解得,p=1,

歹P2yp222