数学培优竞赛新方法(九年级)-第2讲-判别式-二次方程的根的检测器

第二讲判别式——二次方程的根的检测器我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻求某种优美的数学------狄拉克知识纵横在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；通过判别式，证明与方程相关的代数问题；借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题．例题求解【例1】(1)关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是。〔广东省竞赛题〕关于的方程只有一个实数根，那么的取值范围是。〔四川省竞赛题〕思路点拨对于〔1〕，利用判别式建立关于的不等式组，注意的隐含制约；对于〔2〕，通过变更主元，将高次方程转化为一元二次方程根的情形讨论。【例2】假设实数、满足，那么的取值范围是〔〕A、B、或C、D、〔《数学周报》杯全国初中数学竞赛题〕思路点拨原等式可整理成关于的一元二次方程。【例3】关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；(2)假设等腰三角形△ABC的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．〔荆门市中考题〕思路点拨对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值．【例4】设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根．〔重庆市竞赛题〕思路点拨去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，那么其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．【例5】，求证：〔无锡市竞赛题〕分析本例可按以下不同思路探索：从变形条件等式切入；条件等式在形式上类似“”,从构造一元二次方程入手。图形存在性探究【例6】求证：对任意一个矩形A，总存在一个矩形B，使矩形B与矩形A的周长和面积比等于〔福建省竞赛题〕学力训练根底夯实关于的方程有实数根，那么整数的最大值是。〔芜湖市中考题〕关于的一元二次方程，给出以下说法：①假设△，那么方程一定有两个不相等的实根。②假设是方程的一个根，那么△。③假设，那么方程一定有两个不相等的实数根。④假设，那么方程必有两个不相等的实数根。其中，正确的说法的序号是。等腰△ABC中，的长是关于的方程的两根，那么。〔宁波市中考题〕假设关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是〔〕A、B、C、D、〔扬州市中考题〕一直角三角形的三边为、、，∠B=，那么关于的方程的根的情况为〔〕。有两个相等的实根B、没有实数根C、有两个不相等的实数根D、无法确定〔河南省中考题〕6、关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的选项是〔〕A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种〔2011年潍坊市中考题〕在等腰△ABC中，三边分别为a、b、c，其中a=5，假设关于x的方程x2+〔b+2〕x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．〔江津市中考题〕△ABC的三边长为a、b、c，判断方程有无实根。：关于x的一元二次方程mx2-〔3m+2〕x+2m+2=0〔m＞0〕．

〔1〕求证：方程有两个不相等的实数根；

〔2〕设方程的两个实数根分别为x1，x2〔其中x1＜x2〕．假设y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求这个函数的解析式；

〔3〕在〔2〕的条件下，结合函数的图象答复：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m？〔北京市中考题〕方程的实数解为。〔安徽省竞赛题〕关于的方程有且只有一个实根，那么实数的取值范围是。假设方程有且只有相异二实根，那么的取值范围是．13．如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数()A．2B．1C．0设三个方程中至少有一个方程有实根，那么的取值范围是〔〕。A、B、或C、或D、〔江苏省竞赛题〕假设关于的方程没有实数根，那么必有实根的方程是〔〕。B、C、D、〔江西省竞赛题〕，判断关于的方程的根的情况。〔河南省竞赛题〕设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程，不可能都有两个相等的实数根。关于的方程有有理根，求整数的值。〔山东省竞赛题〕综合创新正整数满足是完全平方数，求的值。〔武汉市竞赛题〕20、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．

〔1〕当AB=4，DC=1，BC=4时，在线段BC上是否点P，使AP⊥PD？如果存在求线段BP的长；如果不存在，请说明理由；

〔2〕设A