2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列四个数中，是负数的是(

)A.|−4| B.−(−42.已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是(

)A.3.1536×106 B.3.1536×1073.下面运算正确的是(

)A.7a2b−5a2b=4.如图所示物体的左视图是(

)

A.

B.

C.

D.5.已知点P(a,2)与点Q(−3A.3 B.−3 C.2 D.6.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠FA.10°

B.15°

C.18°7.下列命题中，假命题是(

)A.菱形的面积等于两条对角线乘积的一半 B.矩形的对角线相等

C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形 D.对角线相等的菱形是正方形8.已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为6cmA.48πcm2 B.36πc9.我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛x两银子，1只羊y两银子，则可列方程组为(

)A.5x+2y=192x+10.若点A(−2,y1)，B(2,y2)，A.y1<y2<y3 B.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.分解因式：5x2−5y12.为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，3，4，3，5，则这组数据的众数是______．13.已知关于x的一元二次方程x2−2x+a214.一个多边形的内角和为1440°，则它的边数为______．15.若正比例函数y=−2x与反比例函数y=kx16.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=120°，过点C的圆的切线交BO于点

三、计算题：本大题共1小题，共6分。17.计算：8−四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.(本小题6分)

先化简再求值：4(m+1)19.(本小题6分)

科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向．

(1)求点B到AC的距离．

(20.(本小题8分)

某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成5个小组(x表示成绩，单位：分)，A组：75≤x<80；B组：80≤x<85；C组：85≤x<90；D组：90≤x<95；E组：95≤x<100.并绘制出如图两幅不完整的统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

(1)21.(本小题8分)

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．

(1)证明：22.(本小题9分)

数学源于生活，寓于生活，用于生活.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用.为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的2.5倍．

(1)求每套《什么是数学》的价格；

(2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想23.(本小题9分)

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于E，AC⊥PQ于C，交⊙O于D．

(1)求证AE平分∠24.(本小题10分)

定义：若直线l：y=kx+b与函数G交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，将|AB|叫做函数G在直线l上的弦长，且|AB|=1+k2|xA−xB|，其中|xA−xB|叫做函数G在直线l上的截距．

(125.(本小题10分)

已知直线y=−x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，点B的坐标为(5,1)．

(1)求∠BAC的度数；

(2)如图，连接AB、AC、BC，点E在直线AC上运动，若△ABC和△ABE相似，求点E的坐标；

(3)点E为线段A答案和解析1.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了绝对值，相反数，有理数的乘方，掌握−42表示42的相反数是解题的关键．

根据绝对值的定义计算A选项；根据相反数的定义计算B选项；根据有理数的乘方计算C，D选项，从而得出答案．

【解答】

解：A选项，原式=4，故该选项不符合题意；

B选项，原式=4，故该选项不符合题意；

C选项，原式=16，故该选项不符合题意；

D选项，原式2.【答案】B

【解析】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．

故选：B．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，3.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化．

利用合并同类项、同底数幂的除法、完全平方公式以及积的乘方的知识，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．

【解答】

解：A、7a2b−5a2b=2a2b，故本选项错误；

B、x8÷4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查几何体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．根据左视图是矩形，左视图中间有横着的实线进行选择即可．

【解答】

解：左视图为：

，

故选：B．5.【答案】A

【解析】解：点P(a,2)与点Q(−3,2)关于y轴对称，则a的值为3，

故选：A．

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a的值．

本题考查了关于y6.【答案】B

【解析】【分析】

此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．

直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．

【解答】

解：由题意可得：∠EDF=45°，∠AB7.【答案】C

【解析】解：A、菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，是真命题；

B、矩形的对角线相等，是真命题；

C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；

D、对角线相等的菱形是正方形，是真命题；

故选：C．

根据菱形的面积公式、矩形的性质、菱形、正方形的判定定理判断即可．

本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．8.【答案】C

【解析】解：底面周长是2×4π=8π，

则圆锥的侧面积是：12×9.【答案】A

【解析】解：∵5头牛，2只羊共19两银子，

∴5x+2y=19；

∵2头牛，3只羊共12两银子，

∴2x+3y=12．

∴可列方程组为5x+2y=192x+10.【答案】C

【解析】解：∵抛物线y=2(x−1)2+1，

∴对称轴为直线x=1，

∴点A到对称轴的距离为：1−(−2)=3，

点B到对称轴的距离为：2−1=1，

点C11.【答案】5(【解析】解：原式=5(x2−y2)=12.【答案】3

【解析】解：因为这组数据中3出现3次，次数最多，

所以这组数据的众数是3，

故答案为：3．

根据众数的概念求解即可．

本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．13.【答案】2

【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+a2−1=0有一个根是x=0，

∴a2−1=0，

解得a2=1，

∴原方程为x2−2x=14.【答案】10

【解析】解：设此多边形的边数为n，由题意，有

(n−2)⋅180°=1440°，

解得n=10．

即此多边形的边数为10．

故答案为15.【答案】(−【解析】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，

∴两函数的交点关于原点对称，

∵一个交点的坐标是(1,−2)，

∴另一个交点的坐标是(−1,216.【答案】30°【解析】解：如图所示：连接OC、CD，

∵PC是⊙O的切线，

∴PC⊥OC，

∴∠OCP=90°，

∵∠A=120°，

∴∠ODC=180°−∠A=6017.【答案】解：原式=22−【解析】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．18.【答案】解：4(m+1)2−(2m+5)(2m−5)【解析】根据完全平方公式，平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．

主要主要考查了完全平方公式，平方差公式，去括号以及合并同类项．去括号时，注意符号的处理．19.【答案】解：(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，

在Rt△ABD中，∠BAD=60°，AB=4千米，

∴BD=AB⋅sin60°=4×32=23(千米)，

∴点B【解析】(1)过点B作BD⊥AC，垂足为D，然后在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，即可解答；

(220.【答案】(1)40；

；

(2)C组对应的圆心角度数是：360°×1240=108°，

E组人数占参赛选手的百分比是：640×100%=15%【解析】【分析】

此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

(1)用A组人数除以A组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以B组所占百分比得到B组人数，从而补全频数分布直方图；

(2)用360度乘以C组所占百分比得到C组对应的圆心角度数，用E组人数除以总人数得到E组人数占参赛选手的百分比；

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】

解：(1)参加初赛的选手共有：8÷20%=40(人)，

B21.【答案】(1)证明：∵AD是斜边BC上的高，

∴∠BDA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BDA=∠BAC，【解析】(1)根据已知条件得出∠BDA=∠BAC，又∠B为公共角，于是得出22.【答案】解：(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，

根据题意得：5000x−50002.5x=60，

解得：x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意，

答：每套《什么是数学》的价格是50元；

(2)2.5×50=125(元)，

设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套【解析】(1)设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是2.5x元，利用数量=总价÷单价，结合5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，可得出关于x的分式方程，解之经检验后可得出每套《什么是数学》的价格，再将其代入2.5x中，即可求出每套《古今数学思想》的价格；

(2)设可以购进m套《古今数学思想》，则购进(70−m)套《什么是数学》，利用总价=单价×数量，结合总价不超过23.【答案】(1)证明：连接OE，

∵PQ切⊙O于E，

∴OE⊥PQ，

∵AC⊥PQ，

∴OE//AC，

∴∠OEA=∠EAC，

∵OA=OE，

∴∠OEA=∠OAE，

【解析】(1)连接OE，根据切线的性质得到OE⊥PQ，根据平行线的性质得到∠OEA=∠EAC，根据等腰三角形的性质得到24.【答案】解：(1)令y=ax2−5ax+6a=0，

解得：x=2或3，

则截距=|3−2|=1；

(2)设直线的表达式为：y=kx+14，

联立直线和抛物线的表达式得：kx+14=12x2−14，即x2−2kx−1=0，

则x1+x2=2k，x1x2=−1，

则弦长=1+【解析】(1)令y=ax2−5ax+6a=0，解得：x=2或3，即可求解；

(2)联立直线和抛物线的表达式得：kx+14=12x2−25.【答案】解：(1)当