八年级数学上册讲义（人教版）：三角形全等的判定5（HL）（学生版）

专题12.2.5三角形全等的判定5（HL）目标导航目标导航1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“HL”条件判定两个三角形全等；2.使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.3.通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.知识精讲知识精讲知识点01三角形全等的判定5（HL）知识点直角三角形全等的判定：HL文字：在两个直角三角形中，如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记：HL）图形：符号：在Rt与Rt中，【微点拨】证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．在直角三角形中，只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）【知识拓展1】HL判定三角形全等的条件例1．（2022·湖南怀化·八年级期中）如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件_____.【即学即练】1．（2022·河南周口·八年级期中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．【知识拓展2】利用HL证明三角形全等（求线段的长度）例2．（2022·山东青岛·一模）如图，在中，，，为边上一点，于点．若，，则的长为（）A． B．2 C． D．4【即学即练】2．（2022•西城区八年级期中）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．3.（2022•承德八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是AB上一点，且BE＝BC，过E作DE⊥AB交AC于D，如果AC＝5cm，则AD+DE等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【知识拓展3】利用HL证明三角形全等（求角的度数）例3．（2022·山东东营·七年级期末）如图，ABC中，，，点E在BC上，点F为AB延长线上一点，且，，则（

）A．58° B．60° C．65° D．70°【即学即练3】3．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）如图，在正方形ABCD中，等边△AEF的顶点E，F分别在边BC和CD上，则∠CEF＝_____°．4．（2022·陕西·紫阳县师训教研中心八年级期末）如图，在Rt△ABC中，，，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且．(1)求证：；(2)过点B作，且，求∠FBA度数．【知识拓展4】利用HL证明三角形全等（证明类）例4．（2022·湖南常德·八年级期中）如图，∠A=∠B=90°，E是AB上的一点，且AE=BC，∠1=∠2．(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【即学即练4】4．（2022·全国·八年级单元测试）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF．则下列结论中：①AD是△ABC的高；②AD是△ABC的中线；③ED＝FD；④AB＝AE＋BF．其中正确的个数有（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5．（2022•万柏林区八年级月考）如图，AC∥BD，∠C＝90°，AC＝BE，AB＝DE，求证：DE⊥AB．能力拓展能力拓展考法01利用HL判定三角形全等（动态全等问题）【典例1】（2021·北京市师达中学八年级期中）如图，，cm，cm，点P在线段AC上，以每秒2cm的速度从点A出发向C运动，到点C停止运动，点Q在射线AM上运动，且，当点P的运动时间为_________秒时，△ABC才能和△PQA全等．变式1．（2021·湖南·长沙市八年级阶段练习）如图，在Rt△中，，，，一条线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，要使△和△全等，则_____．变式2.（2021•兰山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝时，△ABC和△APQ全等．02利用HL证明三角形全等（探究类）【典例2】（2021•西湖区校级月考）如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2．（1）Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由；（2）试判断CE和DE的关系，并说明理由．变式1.（2021•城北区校级月考）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．分层提分分层提分题组A基础过关练1．（2022·江西景德镇·八年级期中）如图，已知，，．则的理由是（

）A．HL B．SAS C．AAS D．ASA2．（2022·湖南·长沙市南雅中学八年级期末）如图，在Rt△ABC的斜边AB上截取AD＝AC，过点D作DE⊥AB交BC于E，则有（

）A．DE＝DB B．DE＝CE C．CE＝BE D．CE＝BD3.（2022•宝安区八年级期中）如图，∠C＝∠D＝90°，添加下列条件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC与Rt△ABD全等的条件的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34.（2021•秦淮区期末）结合图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．5．（2022·浙江绍兴·八年级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD与BE相交于点F，且AC=BF，DF=DC．若∠ABE=15°，则∠DBF的度数为_____．6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，四边形ABCD，连接BD，AB⊥AD，CE⊥BD，AB＝CE，BD＝CD．若AD＝5，CD＝7，则BE＝________．7．（2022·广西北海·八年级期中）如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，EF过点C，BE⊥EF于点E，DF⊥EF于点F，BE＝DF．求证：EC＝CF．8．（2022·辽宁锦州·八年级期中）如图，已知D是△ABC的BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE＝DF，求证：AB＝AC．9．（2022·陕西渭南·八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，AC平分，，交AD的延长线于点E．(1)求证：是等腰三角形；(2)连接BE，求证：AC垂直平分BE．10．（2021·湖北咸宁·八年级期中）如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．(1)求证：Rt△ABC≌Rt△DCB；(2)求证：AO＝DO．题组B能力提升练1．（2022·陕西·咸阳市秦都区电建学校八年级期中）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，DB＝DC，，，垂足分别为E，F，DE＝DF．求证：．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED＝∠CFD＝90°，②∴．③∵DE⊥AB，DF⊥AC，④∵在和中，，证明步骤正确的顺序是（

）A．③→②→①→④ B．③→①→④→②C．①→②→④→③ D．①→④→③→②2．（2022·广东·普宁市红领巾实验学校八年级期中）如图所示，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC垂直平分BD；④BD平分∠ABC，其中正确的结论有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．②③3．（2022·山东青岛·八年级期中）如图，在△ABC中，，，D为BC延长线上一点，点E在AC上，．若，则∠BAD的度数为（

）A． B． C． D．4．（2021春•金水区校级月考）下列说法正确的有（）①两个锐角分别相等的的两个直角三角形全等；②一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．45．（2022·江苏泰州·八年级期中）如图，正方形中，是上一点，给出下列三条信息：①，②，③，请从上述三条信息中选择两个作为已知条件，选择另外一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．你选择的条件是______，结论是______（填序号）．6．（2021·湖北·八年级期中）如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．7．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．(1)求证：∠1＝∠3；(2)试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．8．（2022·山东烟台·七年级期末）如图，为外一点，为的垂直平分线，分别过点作，，垂足分别为点，，且．(1)求证：为的角平分线；(2)探究，，之间的数量关系并给出证明9．（2021·河北承德·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，过点D作DE⊥AB于E．(1)∠B=°；(2)若线段AB=8cm，则BC=；(3)若DE=DC，求α的度数．10．（2021·湖北宜昌·八年级期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．题组C培优拔尖练1．（2021·北京市海淀外国语实验学校八年级期中）如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（

）A．①③B．②③C．①②D．①②③2．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）如图，已知△ABC中高AD恰好平分边BC，∠B=30°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点且OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形AOCP．其中正确的为（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②③④3．（2021·广东·珠海市文园中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，已知，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE长是（

）A．2 B．5 C．4 D．34．（2022·河南洛阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠CAE＝29°，则∠ACF的度数为________°．5．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，中，，于点D，，若，则的度数为_____．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C的坐标分别为，，将矩形绕点B顺时针旋转，点A，C，O的对应点分别为．当点落在x轴的正半轴上时，点的坐标为________．7．（2021·辽宁沈阳·八年级期末）如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．8．（2020·湖北荆门·八年级期中）如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一点，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延长线交AC于点F．(1)求证：△BDE≌△ADC；(2)求证：BE⊥