八年级数学下册讲义（人教版）：二次根式的乘除（学生版）

第02课二次根式的乘除目标导航目标导航课程标准掌握二次根式的乘除法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.知识精讲知识精讲知识点01二次根式的乘法法则（1）计算法则：（）即：二次根式相乘，把相乘，根指数；（2）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为这一条件。（3）推广=1\*GB3①（a≥0，b≥0，c≥0）；=2\*GB3②；=3\*GB3③和在二次根式的乘法中任然可应用。(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点02二次根式乘法法则的逆用（1）计算法则：（a≥0，b≥0）即积的算术平方根等于积中各因式的利用这个性质可以把二次根式，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或，然后再将能的因式或因数开方后移到根号外。注：（1）公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0，实际上，公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可，如EQ\r(,（-4）×（-9）)≠EQ\r(,-4)．EQ\r(,-9)。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。推广：EQ\r(,abcd)=（a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）知识点03二次根式的除法法则计算公式：（a≥0，b＞0）即：二次根式相除，把相除，根指数不变。注：（1）a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立。若a，b都是负数，虽然eq\f(a,b)＞0，EQ\r(,eq\f(a,b))有意义，但EQ\r(,a)，EQ\r(,b)在实数范围内无意义；若b=0，则eq\f(a,b)无意义。（2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数，如EQ\r(,4eq\f(1,4))必须先化成EQ\r(,eq\f(17,4))，以免出现EQ\r(,4eq\f(1,4))=EQ\r(,4)×EQ\r(,eq\f(1,4))这样的错误。（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含的因数或因式，同时分母中不含。知识点04二次根式除法法则的逆用（1）（a≥0，b＞0）即商的算术平方根等于被除式的除以除式的。注：公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0。公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要eq\f(a,b)≥0即可。例如计算，不能写为，而应写为。利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为eq\f(EQ\r(,a),EQ\r(,b))（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成。常见的二次根式化简：①；②③知识点05最简二次根式的概念概念：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数不含；（2）被开方数中不含的因数或因式。注意，对于最简二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数或；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是。化简二次根式的一般方法方法举例将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方EQ\r(,8)=，EQ\r(,x3y4)=化去根号下的分母若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成EQ\r(,1eq\f(1,3))=或EQ\r(,1eq\f(1,3))=若被开方数中含有小数，应先将小数化成EQ\r(,0.9)=或EQ\r(,0.9)=被开方数是多项式的要先进行因式分解EQ\r(,X5+2x3y2+xy4)=拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：EQ\r(,a)与EQ\r(,a)；EQ\r(,a+b)与EQ\r(,a+b)；EQ\r(,a-b)与EQ\r(,a-b)；EQ\r(,a)+EQ\r(,b)与；aEQ\r(,b)+cEQ\r(,d)与等。能力拓展能力拓展考法01二次根式乘除法法则成立的条件【典例1】等式＝成立的条件是()A．x＞0 B．x＜1 C．0≤x＜1 D．x≥0且x≠1【即学即练】等式成立的条件是_____．【即学即练】如果代数式，那么m的取值范围是_____________【典例2】下列计算正确的是()A． B．C． D．【即学即练】下列结论中，对于实数、，成立的个数有（）①；

②；

③；

④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个考法02最简二次根式【典例3】下列式子中，属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【即学即练】下列二次根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．【即学即练】下列各式属于最简二次根式的有（）A． B． C． D．【即学即练】根式中，最简二次根式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【典例4】若最简二次根式与的被开方数相同,则a的值为()A．- B． C．1 D．-1【典例5】若，则的值用、可以表示为（）A． B． C． D．考法03二次根式的化简【典例6】把下列各式化成最简二次根式：(1)______；(2)______；(3)______；(4)______；(5)______；(6)______；(7)______；(8)______．【即学即练】把下列各式化成最简二次根式：=__；=__；=__．【即学即练】化简二次根式的结果为()A．﹣2a B．2a C．2a D．﹣2a【即学即练】若a、b、c均为实数,且a、b、c均不为0化简___________【即学即练】已知实数，则a的倒数为________．【典例7】已知：是整数，则满足条件的最小正整数为()A．2 B．3 C．4 D．5【即学即练】已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是_______．【即学即练】已知是正整数，则正整数的最小值是_______________________．考法03二次根式的乘法混合运算【典例8】计算的结果正确的是（）．A．1 B． C．5 D．9【即学即练】计算2×÷3的结果是（）A． B． C． D．【即学即练】计算：÷【即学即练】计算所得的结果是______________．【典例9】计算：(－)2(5＋2)＝____．【即学即练】计算：=__________【典例9】计算:【即学即练】计算：【即学即练】计算：考法04利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内【典例10】把根号外面的因式移到根号内得(

)A． B． C． D．-1【即学即练】将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式_____．【即学即练】把根号外的因式移入根号内，其结果是（）A． B．﹣ C． D．﹣【即学即练】已知：a=，b=，则a与b的关系是（）A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．平方相等考法05二次根式的大小比较【典例11】二次根式的大小比较：________．【即学即练】比较二次根式的大小：__________(填“<”、“=”、“>”).【即学即练】比较大小：______3（填“＞”、“＜”或“＝”）．【即学即练】估算比较大小：_______；______．【即学即练】若[]表示实数的整数部分，例如：[]=3，则[]=___．分层提分分层提分题组A基础过关练1．下列计算正确的是（）A． B．C． D．2．有下列各式①；②；③；④；⑤；⑥．其中最简二次根式有（）A．1 B．2 C．3 D．43．下列各式计算正确的是（）A． B． C． D．4．已知是整数，则满足条件的最小正整数为（）.A．2 B．3 C．4 D．55．计算，结果为（）A． B． C． D．6．计算的结果是（）A． B． C． D．7．如果，则x（）A． B． C． D．x取任意数8．·等于()A．a B．12a2b C．a2 D．2a题组B能力提升练1．在二次根式，，，中，是最简二次根式的是_____．2．计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：(1)_______(2)_________(3)__________(4)__________3．计算