2023年秋高中数学第5章一元函数的导数及其应用：函数的极值课件人教A版

第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值学习任务1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)4．能利用导数研究与函数极值等相关的问题．(数学运算)必备知识·情境导学探新知01“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”．说的是庐山的高低起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课研究的函数的极值．知识点1极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝__；而且在点x＝a附近的左侧________，右侧_________，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值．0f′(x)＜0f′(x)＞0f(a)(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝_；而且在点x＝b附近的左侧_______，右侧________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，________叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为____．0f′(x)＞0f′(x)＜0f(b)极值点极值提醒极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．知识点2求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是______；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是______．极大值极小值1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值一定比极小值大． (

)[提示]极大值不一定比极小值大，∴(1)错误；(2)每一个函数都至少有一个极大值或极小值． (

)[提示]有的函数可能没有极值．∴(2)错；(3)若f′(x0)＝0，则x0一定是极值点． (

)[提示]若f′(x0)＝0，且导函数有变号零点，x0才是极值点，故(3)错误．×××2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点√C

[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．故选C．]3．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是(

)A．y＝x3

B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2xBC

[对于A，y′＝3x2≥0，∴y＝x3单调递增，无极值；对于B，y′＝2x，x＞0时y′＞0，x＜0时y′＜0，∴x＝0为极值点；对于C，根据图象，在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，∴C符合；对于D，y＝2x单调递增，无极值．故选BC．]√√关键能力·合作探究释疑难02类型1不含参数的函数求极值类型2含参数的函数求极值类型3由极值求参数的值或取值范围类型4极值问题的综合应用类型1不含参数的函数求极值【例1】

(1)函数f(x)＝lnx－x的极大值与极小值分别为(

)A．极小值为0，极大值为－1B．极大值为－1，无极小值C．极小值为－1，极大值为0D．极小值为－1，无极大值√

(2)(多选)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则(

)A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线

√√

√

反思领悟

求可导函数f(x)极值的步骤(1)定义域：求函数的定义域；(2)求导：求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即导函数f′(x)的零点；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格内；(5)结论：若导数f′(x)在x0附近左正右负，则函数f(x)在x0处取得极大值；若左负右正，则函数f(x)取得极小值．

[解]

由题意可得f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．解方程f′(x)＝0，可得x＝－2或x＝2．解不等式f′(x)>0，可得x<－2或x>2，此时f(x)递增．解不等式f′(x)<0，可得－2<x<2，此时f(x)递减．

[思路引导]对函数f(x)求导，得到f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，根据导函数的零点2和2a的大小，分类讨论函数的单调性，根据函数的单调性确定函数的极值．

(2)当a<1时，2a<2，当x变化时，f(x)，f′(x)随x的变化情况如表：x(－∞，2a)2a(2a，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增

反思领悟

1．判断一个函数是否有极值的方法判断一个函数是否有极值，不仅要求解f′(x)＝0，还要根据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点．2．分类讨论求极值求解析式中含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想才能解决问题．讨论的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看f′(x)在其零点附近的符号的确定是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论．[跟进训练]2．若函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．

(2)当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝a．当0＜x＜a时，f′(x)＜0；当x＞a时，f′(x)＞0．∴f(x)在x＝a处取得极小值，且f(a)＝a－alna，无极大值．综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．类型3由极值求参数的值或取值范围【例3】

(1)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(

)A．(－1，2)B．(－3，6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)√D

f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因为f(x)既有极大值又有极小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有两个不相等的实数根，那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，解得a>6或a<－3．(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝(

)A．4或－3

B．4或－11C．4 D．－3√

反思领悟

已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，应注意两点：(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[跟进训练]3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．

当a＝1，b＝3时f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，且仅当x＝－1时，f′(x)＝0，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)·(x＋3)．当x∈(－∞，－3)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数；当x∈(－3，－1)时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数；当x∈(－1，＋∞)时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．故f(x)在x＝－1处取得极小值．∴a＝2，b＝9．类型4极值问题的综合应用【例4】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路引导]求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围．[解]

令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝－1，x2＝1．当x<－1时，f′(x)>0；当－1<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0．所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a；当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a．因为方程f(x)＝0有三个不同实根，

[母题探究]1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？[解]

由例题知，函数的极大值f(－1)＝2＋a，极小值f(1)＝－2＋a，若f(x)＝0恰有两个根，则有2＋a＝0，或－2＋a＝0，所以a＝－2或a＝2．2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．[解]

由例题可知，要使方程f(x)＝0有且只有一个实根，只需2＋a＜0或－2＋a＞0，即a＜－2或a＞2．反思领悟

解决函数零点的注意点(1)研究函数零点(方程根)的情况，可以通过导数研究函数的单调性、极大值、极小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．(2)解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．

x(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增学习效果·课堂评估夯基础0312341．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值点，且x＝1是f(x)的极小值点，则(

)A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0C

[由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数值是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值点，所以当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0．故选C．]√2．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a，b的值分别为(

)A．1，－3

B．1，3C．－1，3 D．－1，－31234√

3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的极大值为________．1234－1

4．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是______________________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1．]1234(－∞，－1)∪(2，＋∞)回顾本节知识，自主完成以下问题：(1)函数极值的求解依据与步骤是什么？[提示]一般地，求函数y＝f(x)的极值的步骤是：①求出函数的定义域及导数f′(x)；②解方程f′(x