线性代数课件

矩阵§1矩阵的定义定义1

给出m

n个数,排成m行n列的矩形数表此数表叫做m行n列矩阵,简称m

n矩阵。记为亦记为A=(aij)mn,或A=(aij)或A=Amn如果矩阵A的元素aij全为实(复)数,就称A为实(复)数矩阵。只有一行的矩阵A=(a1a2...an)叫做行矩阵,行矩阵也记作A=(a1,a2,...,an)。只有一列的矩阵叫做列矩阵。两个矩阵的行数相等,列数也相等,就称它们是同型矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作O。方阵叫做n阶单位阵,简记作En

。特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素都是1,其他元素都是0。如变量y1,y2,...,yn可由变量x1,x2,...,xn线性表示,即称由变量x1,x2,...,xn到变量y1,y2,...,ym的变换为线性变换。它的系数构成一矩阵(aij)m

n(称为系数矩阵)是确定的。例线性变换对应n阶矩阵这个方阵的特点:不在对角线上的元素全为0,这种方阵称为对角阵,当

1=

2=...=

n=

时,A称为数量矩阵。§2矩阵的运算一.矩阵的加法定义2

设有两个m

n矩阵A=(aij),B=(bij),那么A与B的和记为A+B,规定为注意:只有当两个矩阵同型时,才能进行加法运算。加法满足运算规律:(1)A+B=B+A;(交换律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(结合律)二.数与矩阵相乘定义3

数

与矩阵A的乘积记做

A,规定为数乘矩阵满足运算规律:设矩阵A=(aij),记-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A称为A的负矩阵,显然有

A+(-A)=O.其中O为各元素均为0的同型矩阵,由此规定A-B=A+(-B).三.矩阵与矩阵相乘定义4

设A=(aij)m

s,B=(bij)sn那么规定矩阵A与B的乘积是C=(cij)m

n,其中并把此乘积记作C=AB。行矩阵与列矩阵相乘注意：只有当第一矩阵（左矩阵）的列数与第二矩阵（右矩阵）的行数相等时，两个矩阵才能相乘。例求：AB和BA。解：表明矩阵乘法不满足交换律。矩阵的乘法满足运算律：对于单位矩阵，有一般称为方阵的n次幂。规定；四、矩阵的转置定义5

把矩阵A的行换成同序数的列,得到的新矩阵称为A的转置矩阵,记作A'。满足运算律：有所以设A为n阶方阵,若A'=A,即

aij=aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A称为对称矩阵;若A'=-A,即

aij=-aji

(i,j=1,2,…,n),那么,A称为反对称矩阵。对称矩阵的特点是:

它的元素以主对角线为对称轴对应相等。反对称矩阵的特点是:

以主对角线为对称轴的对应元素绝对值相等,符号相反,且主对角线上各元素均为0。五、方阵的行列式

定义6

由n阶方阵A的元素构成的行列式(各元素位置不变),称为方阵A的行列式,记作|A|或detA

。设A,B为n阶方阵,

为实数,则有下列等式成立

若A为方阵,行列式的各元素的代数余子式Aij亦可构成如下方阵

称为A的伴随矩阵。

定义7

矩阵的初等行变换是指:1.交换两行的位置；2.把某一行乘以一个非零常数;3.把某一行的倍数加到另一行。§3矩阵的逆

定义8

设A为n阶方阵,若

A=0,则称A为奇异矩阵;否则,A为非奇异矩阵。定义9

对于n阶方阵A,如果有一个n阶方阵B,满足AB=BA=E,则称方阵A可逆,且把方阵B称为A的逆矩阵。

如果A是可逆的,则A的逆矩阵唯一。设B,C都是A的逆矩阵,则一定有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.A的逆矩阵记作A-1,即若AB=BA=E,则B=A-1

。定理1

设A是n阶方阵,A是非奇异矩阵的充分必要条件为A是可逆的.证

先证必要性。设A为非奇异矩阵,设A的伴随矩阵为A*,则有

说明A是可逆的。证充分性。由于A是可逆的,即有A

-1,使A

-1A=E

说明A是非奇异矩阵。设A,B均为同阶可逆方阵,数

0,

下列运算法成立：

例

求方阵

的逆矩阵。解

因为

所以A-1存在,先求A的伴随矩阵A*

A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,

A31=2,A32=-4,A33=2§4矩阵的分块

定义将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵,每个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的矩阵称为分块矩阵。

列举三种分块形式：分块矩阵的运算法则:(1)矩阵A与B为同型矩阵,采用同样的分块法,有

(2)A为m

l矩阵,B为l

n矩阵,将A,B分成

其中Ai1,Ai2…,Ait的列数分别等于B1j,B2j,…,Bij的行数,则有

例求AB.解

A,B分块成

(3)设则(4)设方阵A的分块矩阵为

除主对角线上的子块不为零子块外,其余子块都为零矩阵,且Ai(i=1,2,…,m)为方阵,则A称为分块对角矩阵(或准对角矩阵).准对角矩阵的行列式为

若有与A同阶的准对角矩阵

其中Ai与Bi(i=1,2,…,m)亦为同阶矩阵,则有

若A可逆,则有

求A-1.例设解

向量组与矩阵的秩§1n维向量

定义1

n个数组成的有序数组（a1,a2,…,an）称为一个n维向量，简称向量。

用小写的粗黑体字母来表示向量。行向量列向量数a1,a2,…,an称为这个向量的分量。ai称为这个向量的第i个分量或坐标。分量都是实数的向量称为实向量；分量是复数的向量称为复向量。

n维行向量可以看成1×n矩阵，n维列向量也常看成n×1矩阵。

设k和l为两个任意的常数，为任意的n维向量，其中定义2

如果和对应的分量都相等，即ai=bi，i=1,2,…,n就称这两个向量相等，记为。

定义3

向量（a1+b1,a2+b2,…,an+bn）称为与的和，记为。称向量（ka1,ka2,…,kan）为与k的数量乘积，简称数乘，记为。

定义4

分量全为零的向量（0，0，…，0）称为零向量，记为0。与-1的数乘（-1）=（-a1,-a2,…,-an）称为的负向量，记为。向量的减法定义为向量的加法与数乘具有下列性质：满足（1）—（8）的运算称为线性运算。§2线性相关与线性无关

矩阵与向量的关系：通常把维数相同的一组向量简称为一个向量组，n维行向量组可以排列成一个s×n分块矩阵

其中为由A的第i行形成的子块，称为A的行向量组。

n维列向量组可以排成一个n×s矩阵

其中为由B的第j行形成的子块，称为B的列向量组。

定义5

向量组称为线性相关的，如果有不全为零的数k1,k2,…,ks，使反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就称线性无关。当是行向量组时，它们线性相关就是指有非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使当为列向量时，它们线性相关就是指有非零的s×1矩阵，使例判断向量组的线性相关性。解对任意的常数k1,k2,…,kn都有所以当且仅当k1=k2=…=kn=0

因此线性无关。例设向量组线性无关，，，，试证向量组也线性无关。证对任意的常数都有设有k1,k2,k3,使由线性无关，故有由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0所以线性无关。定理1

向量组（s≥2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量能由其他向量线性表出。证设中有一个向量能由其他向量线性表出，所以线性相关。如果线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,ks，使设k1≠0,那么即能由线性表出。例如，向量组是线性相关的，因为定理2

设向量组线性无关，而向量组线性相关，则能由向量组线性表出，且表示式是唯一的。证由于线性相关，就有不全为零的数k1,k2,…,kt,k，使由线性无关有k≠0。即可由线性表出。设为两个表达式。且线性无关得到l1=h1,l2=h2,…，lt=ht

因此表示式是唯一的。定义7

如果向量组中每个向量都可以由线性表出，就称向量组可由线性表出，如果两个向量组互相可以线性表出，就称它们等价。每一个向量组都可以经它自身线性表出。同时，如果向量组可以经向量组线性表出，向量组可以经向量组线性表出，那么向量组可以经向量组线性表出。向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出。因而，向量组可以经向量组线性表出。如果有向量组的等价具有下述性质：(1)反身性：向量组与它自己等价；(2)对称性:如果向量组与等价，那么也与等价。(3)传递性:如果向量组与等价，而向量组又与等价,那么与等价。§3线性相关性的判别定理定理3

有一个部分组线性相关的向量组线性相关。设这个部分组为。则有不全为零的数k1,k2,…,kr，使证设向量组有一个部分组线性相关。因此也线性相关。推论

含有零向量的向量组必线性相关。定理4

设p1,p2,…,pn为1，2，…，n的一个排列，和为两向量组，其中即是对各分量的顺序进行重排后得到的向量组，则这两个向量组有相同的线性相关性。证对任意的常数k1,k2,…,ks，上两式只是各分量的排列顺序不同，因此当且仅当所以和有相同的线性相关性。(2)如果线性无关，那么也线性无关。定理5在r维向量组的各向量添上n-r个分量变成n维向量组。(1)如果线性相关，那么也线性相关。证对列向量来证明定理。利用(1)式,用反证法容易证明(2)式也成立。因此,也线性相关,即(1)式成立。如果线性相关,就有一个非零的s1矩阵X,使引理1

如果n阶方阵A的行列式等于零,那么A的行(列)向量组线性相关。定理6

n维向量组线性无关的充要条件是矩阵的行列式不为零(A可逆)。此时,矩阵A的n个列向量也线性无关。定理7

n+1个n维向量组必线性相关。推论当m>n时,m个n维向量组线性相关。定理8

如果向量组可由线性表出且s>t，那么线性相关。推论1

如果向量组，可由向量组线性表出，且线性无关，那么。推论2

两个线性无关的等价的向量组必含有相同个数的向量。§4向量组的秩与矩阵的秩定义8

一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中向这部分组任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分组都线性相关。例在向量组中，为它的一个极大线性无关组。首先，由与的分量不成比例，线性无关。再添入以后，由可知所得部分组线性相关，不难验证也为一个极大线性无关组。定义8‘

一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且这向量组中任意向量都可由这部分组线性表出。向量组的极大线性无关组具有的性质：性质1

一向量组的极大线性无关组与向量组本身等价。性质2

一向量组的任意两个极大线性无关组都等价。性质3

一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。定义9

向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。如果向量组能由向量组线性表出，那么的极大线性无关组可由的极大线性无关组线性表出。因此的秩不超过的秩。定理9

向量组的任意线性无关的部分组都可扩充为一个极大线性无关组。推论秩为r的向量组中任意含r个向量的线性无关的部分组都是极大线性无关组。定义10

矩阵的行秩是指它的行向量组的秩，矩阵的列秩是指它的列向量组的秩。定义11

在一个s

n矩阵A中任意选定k行和k列，位于这些选定的行和列的交点上的k2个元素按原来的次序所组成的k

k级矩阵的行列式，称为A的一个k级子式。引理2

设，n维向量组线性无关的充要条件是矩阵中存在一个不为零的r级子式。定理10

矩阵的行秩等于列秩。由此,A'的列秩(A的行秩r1)

A'的行秩(A的列秩r2),即有。证设矩阵A的行秩为r1,A的列秩为r2。那么,A中有r1个行向量线性无关,由引理2,A中有一个r1级子式D不为零,那么A中子式D所在的r1个列向量也线性无关;因而,。统称矩阵的行秩和列秩为矩阵的秩,矩阵A的秩一般记为R(A)。规定零矩阵的秩为0。定理11

矩阵A的秩为r的充要条件是它有一个不为零的r阶子式而所有r+1阶子式全为零,这时,这个非零的r级子式所在的行和列就分别为A的行向量组和列向量组的极大线性无关组。§5矩阵的初等变换

矩阵的初等行变换都是可逆的,且其逆变换也是同类的初等行变换。定义12

下面的三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对换矩阵两行的位置

[对换第i行和第j行的位置记为r(i,j)].(2)矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数

[第i行乘以k记为r(i(k)](3)把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去[第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k))]定理12

如果矩阵A经过有限次初等行变换变为B,则A的行向量组与B的行向量组等价,而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性关系。例求下列向量组的一个极大线性无关组与秩。解作所以为一个极大无关组，且秩等于3。定义13

如果矩阵A经有限次初等变换化成B，就称矩阵A与B等价。矩阵的等价关系具有下列性质：(1)反身性：A与A等价。(2)对称性：如果A与B等价，那么B与A等价。(3)传递性：如果A与B等价，B与C等价，那么A与C等价。定理13

如果矩阵A与B等价，那么R(A)＝R(B)。定理14

每个矩阵都有等价标准形，矩阵A与B等价，当且仅当它们有相同的等价标准形。推论两个同型矩阵等价的充分必要条件是它们的秩相等。§6初等变换与求矩阵的逆定义14

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。初等矩阵都是方阵，互换E的第i行与第j行（或者互换E的第i列与第j列）的位置，得,(j)1101111011OLMOMLO=iEMMLL用常数k乘E的第i行（或i列），得把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得这三类矩阵就是全部的初等矩阵，有E(i,j)-1＝E(i,j)E(i(k))-1=E(i(1/k)),E(i+j(k))-1=E(i+j(-k))

定理15

对一个s×n矩阵A作一初等行变换就相当于在A的左边乘上相应的s×s初等矩阵；对A作一初等列变换就相当于在A的右边乘上相应的n×n初等矩阵。推论1

矩阵A与B等价的充分必要条件是有初等方阵P1，P2，…，Ps，Q1，…，Qt使

A＝P1P2…PsBQ1…Qt

推论2

n×n矩阵A可逆的充分必要条件它能表成一些初等矩阵的乘积。推论3

两个s×n矩阵A、B等价的充分必要条件为存在可逆的s×s矩阵P与可逆的n×n矩阵Q使

A=PBQ推论4

可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。例设求A-1。解对(A¦E)作初等行变换§7向量空间定义15

设V为n维向量的集合，如果V非空且对于向量加法及数乘运算封闭，即对任意的和常数k都有就称集合V为一个向量空间。例

n维向量的全体Rn构成一个向量空间。3维向量可以用有向线段来表示，所以R3也可以看作以坐标原点为起点的有向线段的全体。例

n维零向量所形成的集合{0}构成一个向量空间。定义16

如果V1和V2都是向量空间且,就称V1是V2的子空间。(2)V中任意向量都可以经线性表出，那么，向量组就称为V的一个基，r称为V的维数，并称V为一个r维向量空间。定义17

设V为一个向量空间。如果V中的向量组满足(1)线性无关；如果向量空间V没有基，就说V的维数为0，0维向量空间只含一个零向量。如果把向量空间V看作向量组，那么V的基就是它的极大线性无关组，V的维数就是它的秩。当V由n维向量组成时，它的维数不会超过n。例设验证是R3的一个基并将用这个基线性表示出来。解由知线性无关，因此是R3的一个基。如果P1，P2，…，Pl为初等矩阵，使

P1P2…PlA=E,则A-1=P1P2…Pl

因此只需对矩阵(A¦B)作初等行变换，当把A变为E时，B就变成了A-1B。所以线性方程组

§1消元法定理1

初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组。定义1

线性方程组的系数所组成的矩阵叫做线性方程组的系数矩阵,把系数及常数所组成的矩阵叫做增广矩阵。设线性方程组系数矩阵是增广矩阵是对一个方程组实行消元法求解,即对方程组实行了初等变换,相当于对它的增广矩阵实行了一个相应的初等变换。而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵。例解线性方程组解增广矩阵是交换矩阵第一行与第二行,再把第一行分别乘以(-1/2)和(-2)加到第二行和第三行,再把第二行乘以(-2)得在B1中将第二行乘以2加到第三行得相应的方程组变为三角形(阶梯形)方程组:回代得x3=-2,x2=3,x1=4§2线性方程组有解判别定理定理2

设A是一个m行n列矩阵通过矩阵的行初等变换能把A化为以下形式由定理2,我们可以把线性方程组的增广矩阵进行初等变换化为:与之相应的线性方程组为其解与原方程组相同。(1)若dr+1,dr+2,…,dm中有一个不为0,方程组无解,那么原方程组也无解(2)若dr+1,dr+2,…,dm全为0,则方程组有解,那么原方程组也有解.定理3(线性方程组有解的判别定理)线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r。(1)当r等于方程组所含未知量个数n时,

方程组有唯一的解;(2)当r<n时,方程组有无穷多解。线性方程组无解的充分必要条件是系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩不相等。在方程组有无穷多解的情况下,方程组有n-r个自由未知量,其解为其中xr+1,xr+2,…,xn是自由未知量,若给一组数l1,l2,…,ln-r就得到方程组的一组解例研究线性方程组解写出增广矩阵对B进行初等行变化可化为系数矩阵的秩与增广矩阵的秩不相等,所以方程组无解。§3线性方程组解的结构定义2

若一个线性方程组的常数项都等于0,那么这个线性方程组叫做齐次线性方程组.定理4

一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是:它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n.(1)线性无关;(2)方程组的任意一个解向量都能由线性表出.则称为齐次线性方程组的基础解系

.定理5

齐次线性方程组若有非零解，则它一定有基础解系，且基础解系所含解向量的个数等于n-r，其中r是系数矩阵的秩。推论（齐次线性方程组解的结构定理）齐次线性方程组若有非零解，，则它的通解就是基础解系的线性组合。定义3

设是齐次线性方程组的r个解向量,如果满足下列条件:例解齐次线性方程组解齐次线性方程组的系数矩阵为对A进行行初等变换，得由此可以看出，r＝2<4，故有非零解.其对应的方程组是基础解系为方程组的通解为定理6

（非齐次线性方程组解的结构定理）如果非齐次线性方程组有解，那么它的一个解与其导出方程组的解之和是非齐次线性方程组的一个解，非齐次线性方程组的任意解都可以写成它的一个特解与其导出方程组的解之和。

例

试求

的全部解。

解

对增广矩阵进行行初等变换

系数矩阵与增广矩阵的秩都是2，故有解。

对应的齐次线性方程的基础解系（去掉常数列）为

令x3＝x4＝x5＝0，得齐次线性方程组的一个特解为(30/7,-3/7,0,0,0)'

(不能忽略常数列)，于是它的全部解为

其中k1，k2，k3，为任意实数。

特征值与二次型5.1向量的内积1.2方阵的特征值和特征向量5.3相似矩阵定理6实对称矩阵的特征值都是实数。定理8设A为实对称矩阵，则必存在正交矩阵T，使例设求正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。解显然A'=A。故一定存在正交矩阵T，使T-1AT为对角矩阵。先求A的特征值求得一基础解系为正交化，令再单位化，令求得一基础解系为只有一个向量，只要单位化，得以正交单位向量组为列向量的矩阵T就是所求的正交矩阵。有§4化二次型为标准型二次型写成对称形式定义8n元变量的二次齐次多项式称为二次型。当为复数时，称为复二次型，为实数时称为实二次型。记其中A为实对称矩阵。说明经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵A变为对称矩阵C'AC,且二次型的秩不变,矩阵的合同关系与相似关系一样,都满足反身性,对称性,传递性.证因A'=A,故B'=(C'A

C)'=C'A'C=C'AC=B即B为对称矩阵.

又因为B=C'AC,而C'与C均为可逆矩阵,故A与B等价,于是R(B)=R(A).定理9任给可逆矩阵C,令B=C'AC,如果A为对称矩阵,则B亦为对称矩阵,且R(B)=R(A),此时,也称A与B合同.要使二次型f经可逆变换x=Cy变成标准形,这就是要使也就是要使C'AC成为对角矩阵。5.5正定二次型推论对称矩阵A正定当且仅当A的特征值全为正.

线性空间与线性变换6.1线性空间的定义与性质定义1

设V是一个非空集合，R为实数域，如果对任意两个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为的和，记作；对于任一个数k∈R与任一个元素∈V，总有唯一的一个元素∈V与之对应，称为k与的积，记为；两种运算满足以下八条运算规律（对任意∈V

,∈R）：V就称为(实数域R上的)向量空间(或线性空间),V中的元素称为(实)向量(上面的实数域R也可为一般数域).(3)在V中有一个元素0(叫做零元素)，使对任何∈V，都有；(4)

对任何∈V，都有V中的元素，使（称为的负元素）；凡满足上面八条元素规律的加法及数量乘法称为线性运算；凡定义了线性运算的集合称为向量空间（或线性空间）。向量不一定是有序数组；向量空间V对加法与数量乘法（数乘）封闭；向量空间中的运算只要求满足八条运算规律，不一定是有序数组的加法及数乘运算。注意：例实数域R上次数不超过n的多项式的全体，记为P[x]n，即P[x]n

={anxn+…+a1x0+a0|an,an-1,…a1,a0∈R}对于通常的多项式加法、多项式数乘构成R上的向量空间。例实数域R上次数n的多项式的全体，记为W，即W={anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0|an,an-1,…a1,a0∈R，且an≠0}。W对于通常的多项式加法、多项式数乘不构成R

上的向量空间。因为0(anxn+…+a1x0+a0)=0

W，即W对数乘不封闭。例

n个有序实数组成的数组的全体Sn={x=(x1,x2,…xn)|x1,x2,…xn∈R}对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘k•(x1,x2,…xn)=(0,0,…0)不构成R上的向量空间，因为1x=0，不满足运算规律（5）性质１零元素是唯一的。假设01,02是线性空间V中的两个零元素，即对任何∈V，有＋01＝，＋02＝，于是特别有

02＋01＝02，01＋02＝01故01＝01＋02＝02＋01＝02性质２任一元素的负元素是唯一的。（的负元素记作）假设有两个负元素与，即。于是性质３因为所以又因为所以而定义2

R上线性空间V的一个非空子集合W如果对于V的两种运算也构成数域R上的线性空间，称W为V的线性子空间（简称子空间）。定理1

线性空间V的非空子集W构成V的子空间的充分必要条件是W对于V中的两种运算封闭。性质4

如果,那么或者。假设，那么6.2维数、基与坐标如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V就称为无限维的。维数为n的线性空间称为n维线性空间，记作Vn。定义3

在线性空间V中，如果存在n个元素满足：(2)

V中任一元素都可由线性表示，那么，就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数。(1)线性无关。这样，Vn的元素与有序数组(x1,x2,…xn)之间存在着一种一一对应。若知为V的一个基，则对任何，都有一组有序数x1,x2,…xn使：并且这组数是唯一的(否则线性相关)。反之，任给一组有序数x1,x2,…xn，可唯一确定Vn中元素：定义4

设是线性空间Vn的一个基，对于任一元素，有且仅有一组有序数x1,x2,…xn使

x1,x2,…xn这组有序数就称为在基下的坐标，记作(x1,x2,…xn)。例

在线性空间P[x]3中，就是P[x]3的一个基，P[x]3的维数是4，P[x]3中的任一多项式可写成因此f(x)在基下的坐标为在线性空间Vn中取定一个基，则Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量(x1,x2,…xn)之间有一个一一对应的关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，即设,；则(1)

；(2)

。可以说Vn与Rn有相同的结构，称为Vn与Rn同构。一般地，设V与U是R上的两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应，那么就说线性空间V与U同构。同构主要是保持线性运算的对应关系，因此，Vn中的线性运算就可转化为Rn中的线性运算，并且Rn中凡只涉及线性运算的性质都适用于Vn，但Rn中超出线性运算的性质，在Vn中就不一定具备，如内积。定理2

R上的两个有限维线性空间同构当且仅当它们的维数相等。6.3基变换与坐标变换不同基与不同的坐标之间的关系设及是线性空间Vn的两个基，且上两式称为基变换公式.或表示为矩阵C称为到的过渡矩阵，C一定是可逆矩阵。定理3设Vn中的元素在基下的坐标为（），在基下的坐标为（），若两个基满足基变换公式的第二式，则有坐标变换公式6.4线性变换定义5

设A、B是两非空集合，如果对于A中的任一元素，按