2022-2023学年广西壮族自治区南宁市金伦中学高二数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广西壮族自治区南宁市金伦中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在正项等比数列{an}中成等差数列，则等于(

)A．3或﹣1 B．9或1 C．1 D．9参考答案：D【考点】等比数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过设数列{an}的公比为q（q＞0），利用a3=3a1+2a2计算可知q=3，通过=计算即得结论．【解答】解：设数列{an}的公比为q（q＞0），依题意，a3=3a1+2a2，∴a1q2=3a1+2a1q，整理得：q2﹣2q﹣3=0，解得：q=3或q=﹣1（舍），∴==q2=9，故选：D．【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．2.椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（

）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA．7倍 B．5倍

C．4倍

D．3倍参考答案：A3.已知点为双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由有，又，所以为直角三角形，且，由勾股定理求出，根据双曲线的定义有，即，所以双曲线的离心率，选B.4.已知一水平放置的三角形的平面直观图是边长为1的正三角形，那么原三角形的面积为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B5.如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最大值为()．A.5

B.

C．2+1

D.－1参考答案：A6.函数的定义域为，值域为，变动时，方程表示的图形可以是（

)A．

B． C．

D．参考答案：B7.直线与直线平行，则它们之间的距离为

(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.已知等差数列中，，则的值为（

）A.30

B.64

C.31

D.15参考答案：D9.在△ABC中，已知a=4，b=6，B=60°，则sinA的值为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．【解答】解：∵a=4，b=6，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA===．故选A10.双曲线﹣=1的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出a，b，c即可．【解答】解：由﹣=1得a2=64，b2=36，则c2=a2+b2=64+36=100，则a=8，c=10，则双曲线的离心率e===，故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的单调递增区间是

．参考答案：略12.当x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是．参考答案：﹣2＜k＜2【考点】二次函数的性质．【分析】由题意可得k2﹣4＜0，解不等式可求k的范围．【解答】解：∵x∈R时，一元二次不等式x2﹣kx+1＞0恒成立，∴k2﹣4＜0，∴﹣2＜k＜2，故答案为：﹣2＜k＜2．13.如图，在中，，点为的中点，点为线段垂直平分线上的一点，且.固定边，在平面内移动顶点，使得的内切圆始终与切于线段的中点，且在直线的同侧，在移动过程中，当取得最小值时，点到直线的距离为

.参考答案：14.双曲线的一个焦点到其渐近线的距离是

．参考答案：3【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线得a2=16，b2=9，．可得取焦点F及其渐近线y=±．再利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：由双曲线得a2=16，b2=9，∴=5．取焦点F（5，0），其渐近线y=±．∴焦点F（5，0）到渐近线的距离d==3．故答案为3．15.如图是某校高二年级举办的歌咏比赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为

．参考答案：3.2【考点】极差、方差与标准差．【专题】对应思想；数学模型法；概率与统计．【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，确定所剩数据，从而可求数据的平均数和方差．【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，84，86，88，平均数为（83+84+84+86+88）=85，方差为（4+1+1+1+9）=3.2，故答案为：3.2．【点评】本题考查了茎叶图的读法，属于基础题．正确理解茎叶图和准确的计算，是解决本题的关键．16.已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为__________.参考答案：17.若函数在区间（）上既不是单调递增函数，也不是单调递减函数，则实数a的取值范围是________

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.证明：.参考答案：证明：要证：，只要证：，只要证：只要证：，即证：，即证：也就是要证：，该式显然成立，所以得证.

19.已知．（1）求函数的极值；（2）设，对于任意，，总有成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)的极小值为：，极大值为：(2)试题分析:(1)先求函数的定义域,然后对函数求导,利用导数求得函数的单调区间,进而求得极值.(2)由(1)得到函数的最大值为,则只需.求出函数的导数,对分成两类,讨论函数的单调区间和最小值,由此求得的取值范围.试题解析:(1)所以的极小值为：，极大值为：；(2)由(1)可知当时，函数的最大值为对于任意，总有成立，等价于恒成立，①时，因为，所以，即在上单调递增，恒成立，符合题意.

②当时，设，，所以在上单调递增，且，则存在，使得所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以不恒成立，不合题意.综合①②可知，所求实数的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数导数与极值,考查利用导数求解恒成立问题.求极值的步骤：

①先求的根（定义域内的或者定义域端点的根舍去）；②分析两侧导数的符号：若左侧导数负右侧导数正，则为极小值点；若左侧导数正右侧导数负，则为极大值点.求函数的单调区间、极值、最值是统一的，极值是函数的拐点，也是单调区间的划分点，而求函数的最值是在求极值的基础上，通过判断函数的大致图像，从而得到最值,大前提是要考虑函数的定义域.20.已知点、,（）是曲线C上的两点，点、关于轴对称，直线、分别交轴于点和点，（Ⅰ）用、、、分别表示和;（Ⅱ）某同学发现，当曲线C的方程为：时，是一个定值与点、、的位置无关；请你试探究当曲线C的方程为：时，的值是否也与点M、N、P的位置无关；（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为时，探究与经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．（只要求写出你的探究结论，无须证明）．参考答案：解：（Ⅰ）依题意N（k,－l），且∵klmn≠0及MP、NP与轴有交点知：M、P、N为不同点，直线PM的方程为，……3分则，同理可得

…6分（Ⅱ）∵M,P在椭圆C：上,,（定值）．∴的值是与点M、N、P位置无关

．……………11分（Ⅲ）一个探究结论是：．

………14分提示：依题意,,．∵M,P在抛物线C：y2=2px（p>0）上,∴n2=2pm,l2=2pk．．∴为定值．21.（不等式选讲,本题满分12分）已知函数.（1）解不等式；

（2）若，求证：参考答案：（Ⅰ）∵.

------1分因此只须解不等式.

----------2分当时，原不式等价于，即.------3分当时，原不式等价于，即.

-----4分当时，原不式等价于，即.

-------5分综上，原不等式的解集为.

…6分（Ⅱ）∵

---------8分又0时，∴0时，.

…12分以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分.22.如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=．（1）求证：AO⊥平面BCD；（2）求二面角A﹣BC﹣D的余弦值．参考答案：【考点】直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】证明题．【分析】（1）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，连接OC，而AO⊥BD，AO⊥OC．∵BD∩OC=O，满足定理条件；（2）过O作OE⊥BC于E，连接AE，根据二面角平面角的定义知∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，在Rt△AEO中求出此角即可．【解答】解：（1）证明：连接OC，∵△ABD为等边三角形，O为BD的中点，∴AO⊥BD．∵△ABD和△CBD为等边三角形，O为BD的中点，AB=2，，∴．