湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题【含答案解析】

衡阳县2023年下学期期末质量检测试题高一数学考生注意：1．本试卷共4大题，22小题，满分150分，时量120分钟．2．试卷分试题卷和答题卡两部分，答题前，考生务必在试题卷和答题卡指定位置填写自己的姓名、考号、学校、班级等．3．将答案写在答题卡上，如答案写在试题卷上无效．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上）1.下列结论正确的是（）A. B. C. D.若，则【答案】C【解析】【分析】由数集的概念，元素与集合，集合与集合的关系，依次判断各选项即可.【详解】对于A，中不含有任何元素，是任何集合的子集，则，故A错误；对于B，表示有理数集，为无理数，则，故B错误；对于C，表示自然数集，表示整数集，则，故C正确；对于D，，则，故D错误.故选：C2.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.3.若实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件可得出，，再利用不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出答案.【详解】由，可得，，对于选项A：因为，可得，故选项A不正确；对于选项B：因为，可得，故选项B不正确；对于选项C：因为，当时，；故选项C不正确；对于选项D：因为，所以，所以，故选项D正确；故选：D.4.下列函数为奇函数且在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据选项中的函数依次进行定义域，奇偶性和单调性求解与判断即得.【详解】对于A项，函数的定义域为，是奇函数，由其图象可知函数在上递减，在上递增，故A项错误；对于B项，因，定义域为,且为奇函数，它的递增区间可由求得，故显然该函数在上必不是增函数，故B项错误；对于C项，，显然该函数定义域为R，且为奇函数，又，故幂函数在上为增函数，故C项正确；对于D项，的定义域为R，且，则函数为偶函数，故D项错误.故选：C.5.有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时刻t，水面高度y由图所示，图中PQ为一线段，与之对应的容器的形状是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用时间和高等的变化可知容器先是越往上越小，然后成规则直线上升状，从而求得结果.【详解】由函数图象可判断出该容器必定有不同规则形状，并且一开始先慢后快，所以下边粗，上边细，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，故排除A,C,D，故选B.【点睛】该题考查的是有关根据函数图象选择容器形状的问题，涉及到的知识点有通过图象看出其变化的速度快与慢的问题，从而得到其形状，选出正确结果.6.若，为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简已知得，再通过分析角的范围结合余弦函数的图象即得解.【详解】因，所以，因为，所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查三角恒等变换和余弦函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（）A.30 B.14 C.12 D.6【答案】A【解析】【分析】先根据题干求出函数的最小正周期，在画出函数的大致图像即可求解.【详解】因为函数是奇函数，所以，且又因为，所以即且函数关于对称，令得，所以，即函数的最小正周期，再由函数在上单调递减，方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根，函数的大致图像如图所示：由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称所以.故选：A8.函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由三角函数的基本关系可借助换元法将原函数化为，借助辅助角公式可得的范围，结合二次函数性质即可得其最大值.【详解】令，则，由，故，即，由，故的最大值为.故选：B.二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】借助指数幂与对数的运算法则逐项计算即可得.【详解】对A：，故A正确；对B：由，故，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D正确.故选：ACD.10.已知，且，在下列结论正确的是（）A.有最小值为4 B.有最小值为C.有最大值为2 D.有最小值为【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式逐一判断即可.【详解】A：因为正实数a，b满足，所以，当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确；B：因为正实数a，b满足，所以，当且仅当时，取等号，即有最大值，因此本选项不正确；C：因为正实数a，b满足，所以，当且仅当时取等号，因此本选项不正确；D：因为正实数a，b满足，所以，当且仅当时取等号，因此本选项正确，故选：AD11.若函数的定义域为，值域为，则实数的值可能为（）．A.2 B.3 C.4 D.5【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件及二次函数的性质即可求解.【详解】由，得函数的对称轴为，当时，函数取最小值为，当或时，函数值为，因为函数的定义域为，值域为，所以，所以实数的值可能为.故选：ABC.12.设，已知在上有且仅有5个零点，则下列结论正确的是（）A.在上有且仅有3个最大值点 B.在上有且仅有2个最小值点C.在上单调递增 D.的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】将看成整体角，根据题意得，结合正弦函数的图象观察分析求得，且易得在上有且仅有3个最大值点，但最小值点个数不确定，最后由推得，根据求得的判断的范围能确保单调递增即得.【详解】设，由，可得，作出的图象如图，要使在上有且仅有5个零点，须使，解得：，故D项正确；对于A项，由图可知时，，在此区间上函数有且仅有3个最大值点，故A项正确；对于B项，由图可知时，，在此区间上，函数的最小值点可能有2个或3个,故B项错误；对于C项，当时，，由上分析知，则，即，而此时单调递增，故在上单调递增，故C项正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.已知，则______．【答案】49【解析】【分析】根据分段函数结合对数运算律求函数值即可.【详解】因为，又，.故答案为：49.14.将函数的图象向右平移m个单位，得到函数图象关于y轴对称，则m的最小值为______．【答案】【解析】【分析】根据三角函数平移变换规定得到，知其为偶函数，故图象应经过，结合正弦函数的图象与性质即可求得的范围即得.【详解】由函数的图象向右平移m个单位得到函数：的图象，因的图象关于y轴对称，故有，则有，解得：，因，故当且仅当时，m的最小值为.故答案为：.15.已知，若，则______．【答案】3【解析】【分析】由题意得，由此即可顺利得解.【详解】由题意，所以.故答案为：3.16.如图，某学校有一块扇形空地，半径为10m，圆心角为，现学校欲在其中修建一个矩形劳动基地，矩形的一边AB在扇形的一条半径上，另一边的两个端点C，D分别在弧和另一条半径上，则劳动基地的最大面积是______．【答案】##【解析】【分析】由图得到，进而得到，得到矩形的面积,再利用三角函数的性质求解.【详解】由已知：设,则，则，所以矩形的面积为：，，，，，，当，即，矩形面积取得最大值为.故答案为：四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17.计算求值（1）已知，求的值．（2）【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用正弦二倍角公式化简，再结合齐次式相关概念化简计算即可；（2）根据题意进行通分，根据正弦二倍角公式、两角和余弦公式、诱导公式进行化简计算即可.【小问1详解】原式【小问2详解】原式18.已知二次函数满足．（1）求的解析式．（2）求在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，则，利用换元法代入可求得的解析式；（2）由（1）可得函数的解析式，结合二次函数的性质分析可得答案.【小问1详解】令，则，，∴【小问2详解】对称轴，在上递减，在上递增∴，，即值域为19.已知集合，函数定义域为集合B．（1）若，求实数a的取值范围．（2）若，求实数a的取值范围．【答案】（1）或（2）且或【解析】【分析】（1）由知4满足函数的定义域，由此可得，解不等式可得所求范围；（2）由可得，根据转化为关于实数的不等式，解不等式可得所求范围.【小问1详解】由已知得，即所以或【小问2详解】；函数定义域为需满足，即，由于，当时，即，，函数无意义，所以，得由，知或，得且或20.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】，因此.,当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】【详解】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为.再由，得，因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为（Ⅱ），令，即.解得，（舍去）.当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为．当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为70万元．21.已知（1）求的单调递增区间．（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，得到函数的图象，若的图象在恰有2条对称轴，求实数m的取值范围．【答案】21.22【解析】【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化简为正弦型函数，利用正弦型函数的性质计算即可得；（2）借助三角函数的平移变换可得函数的解析式，借助正弦型函数的性质计算即可得m的取值范围.【小问1详解】，有，解得，∴的单调增区间为【小问2详解】将图像上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位，可得，当时，，则有，解得，即实数m的取值范围为.22.已知函数．（1）解关于的方程；（2）设函数，若在上的最小值为2，求的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据指数函数和对数函数的性质可得，进而结合题设可得，