河南省信阳市固始县2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷【含答案解析】

2023-2024学年普通高中高二（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线在y轴上的截距为（）A. B. C.1012 D.2024【答案】B【解析】【分析】利用截距的定义，结合直线方程即可得解.【详解】因为，令，得，所以直线在y轴上的截距为.故选：B.2.已知数列为等差数列，前项和为，若，则等于（）A.2023 B.2024 C.2025 D.2048【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的下标和性质与求和公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.3.直线的方向向量分别为，，平面的法向量为，则下列正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系与对应向量的关系逐项进行判断即可求解.【详解】对于A，若，则，即，故错误；对于B，若，则，即，故B错误；对于C，若，则，即，故C错误；对于D，若，则，即，故D正确.故选：D4.直线与平行，则a的值为（）A.0 B. C.或0 D.或0【答案】C【解析】【分析】利用直线平行求得，再进行检验即可得解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，当时，两直线分别为，，显然平行，满足题意；当时，两直线分别为，，也平行，满足题意；综上，或.故选：C.5.2023年9月第14届中国国际园林博览会在安徽合肥举行．某媒体甲、乙、丙三名记者去河南园、北京园、香港园进行现场报道，若每个地方恰有一名记者，则甲去河南园的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.【详解】记河南园、北京园、香港园分别为，则样本空间(甲1，乙2，丙3)，(甲1，乙3，丙2)，(甲2，乙1，丙3)，(甲2，乙3，丙1)，(甲3，乙2，丙1)，(甲3，乙1，丙2)}，共6个基本事件，则甲去河南园的基本事件有2件，所以甲去河南园的概率为.故选：A.6.直线与抛物线交于A，B两点，则（O为抛物线顶点）的值为（）A. B. C.4 D.12【答案】B【解析】【分析】联立直线与抛物线方程求得，从而利用平面向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】由，得，易得，设，则，.故选：B.7.如图，在平行六面体中，，，，，则等于（）A. B. C. D.10【答案】A【解析】【分析】先用向量线性运算表示出，再利用数量积的运算法则计算，从而得解.【详解】依题意，设,，，因为，所以，，，，又，所以.故选：A.8.如图，已知分别是双曲线的左、右焦点，过点F₁的直线与双曲线C的左支交于点A，B，若则双曲线C的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义结合勾股定理求得，再利用勾股定理求出即可得解.【详解】依题意，设，则，，由，得，在中，，整理得，因此，，在中，有，整理得，显然，即，解得，所以双曲线的渐近线方程为．故选：C【点睛】易错点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为（即），应注意其区别与联系.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.方程（m为常数）表示的曲线可能是（）A.两条直线 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】ABC【解析】【分析】分类讨论的取值范围，结合二元二次方程的特征即可得解.【详解】当时，方程为，即，表示两条直线，故A正确；当时，方程为，表示椭圆，故B正确；当时，方程，表示双曲线，故C正确；当时，，显然方程不表示任何曲线；由于方程没有一次项，方程不可能表示抛物线，故D错误.故选：ABC.10.如图，在正四棱柱中，M是的中点，，则（）A. B.平面C.二面角的余弦值为 D.到平面的距离为【答案】BCD【解析】【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断即可.【详解】以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，对于A，，则，所以不垂直，故A错误；对于B，所以，所以，是平面的一个法向量，即平面，故B正确；对于C，易知平面的一个法向量，而，所以二面角的余弦值为，故C正确；对于D，到平面的距离，故D正确.故选：BCD.11.九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．《红楼梦》中有林黛玉巧解九连环的记载．九连环一般是用金属丝制成圆形小环九枚，九环相连，套在条形横板或各式框架上，并贯以环柄．玩时，按照一定的程序反复操作，可使9个环分别解开，或合二为一，假设环的数量为，解开n连环所需总步数为，解下每个环的步数为，数列满足：，，，则（）A. B.C. D.成等比数列【答案】AC【解析】【分析】根据题意逐一计算与的前6项，从而判断ABC，利用，结合等比数列的定义判断D，从而得解.【详解】因为，，，所以，，，，故AC正确，B错误；当时，，即，则，所以不是等比数列，故D错误.故选：AC.12.已知，分别是椭圆左、右焦点，如图，过的直线与C交于点A，与y轴交于点B，，，设C的离心率为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量的知识，结合椭圆的定义与勾股定理求得所需线段关于的表示，从而利用离心率的定义与余弦定理逐一分析判断各选项即可.【详解】因为，，所以，，对于A，依题意，设，则，如图，在中，，则，故或(舍去)，所以，故A正确；对于B，由选项A知，，则，在中，，即，故B正确；对于C，在中，，故C错误；对于D，由选项C可得，，在中，，整理得，故，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将各线段用表示出来，从而得解.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.已知，平面的法向量，若，则______．【答案】【解析】【分析】利用直线与平面垂直得到直线的方向向量与平面的法向量共线，从而利用空间向量平行的坐标表示即可得解.【详解】因为，所以与共线，又，，则，所以，.故答案为：.14.已知点，抛物线的焦点为为抛物线上的点，则周长的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义求得，从而得解.【详解】依题意，，设抛物线的准线为，分别过点作，为垂足，则，如图，则，所以周长.故答案为：.15.圆与的位置关系为______；与圆，都内切的动圆圆心的轨迹方程为______．【答案】①.内含②.【解析】【分析】先利用圆心距与两半径之差的比较得到两圆位置关系；再利用两圆内切推得，从而利用椭圆的定义即可得解.【详解】依题意，圆心，半径，圆心，半径，所以，则两圆内含；设动圆的圆心，半径为，则，，依椭圆的定义知，的轨迹为椭圆，其中，又，所以的轨迹方程为.故答案为：内含；.16已知数列满足．且，若，则________．【答案】2024【解析】【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.【详解】因为，所以，又，则，所以，故，则，所以，则的各项分别为，所以.故答案为：2024【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而求得，由此得解.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知圆，直线．（1）求m的取值范围；（2）当圆的面积最大时，求直线被圆截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将圆的一般方程进行配方，从而由半径大于0得到关于的不等式，解之即可得解.（2）利用配方法求得圆的面积取得最大值时的值，从而利用弦长公式即可得解.【小问1详解】因为圆，可化为，由，得，故的取值范围为.【小问2详解】因为，故当时，半径取得最大值，则圆的面积最大，此时，圆的方程为，圆心到直线的距离，则所求弦长为，故当圆面积最大时，直线被圆截得的弦长为.18.如图，四棱锥中，都为等腰直角三角形，，，，，为的中点．（1）与平面是否平行？请说明理由；（2）求与平面所成角的余弦值．【答案】（1）不平行，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，求得与平面的法向量，从而得以判断；（2）结合（1）中结论，求得与平面的法向量，从而得解.【小问1详解】都为等腰直角三角形，，平面，所以平面，又，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，故，易知平面的一个法向量为，则，所以与平面不平行.【小问2详解】由（1）得，，设平面的法向量为，则，即，令，得，设直线与平面所成角为，又，则，所以.故直线与平面所成角的余弦值为.19.在第19届杭州亚运会上中国乒乓球队勇夺6金．比赛采用“11分制”规则：11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位亚运选手进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.7，乙发球时乙得分的概率为0.5，各球的结果相互独立，在某局双方平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求且甲获胜；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）（2）分析所求概率对应的情况，再利用相互独立事件及互斥事件的概率公式即可得解.【小问1详解】“且甲获胜”就是平后，两人又打了2个球比赛结束，则这两个球均是甲得分.因此，且甲获胜.【小问2详解】就是平后，两人又打了4个球比赛结束，4个球的得分情况是：前2个球甲、乙各得1分，后2个球均是甲得分或均是乙得分，设事件“且甲获胜”，事件“且乙获胜”，则，，.20.已知动点与定点的距离等于点到的距离，设动点的轨迹为曲线．椭圆的一个焦点与曲线的焦点相同，且长轴长是短轴长的倍．（1）求与的标准方程；（2）有心圆锥曲线（椭圆，圆，双曲线）有下列结论：若为曲线上的点，过点作的切线，则切线的方程为．利用上述结论，解答问题：过作椭圆的切线（为切点），求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用抛物线与椭圆的定义与性质即可得解；（2）先根据题意得到直线的方程，联立方程求得，进而求得弦长，再利用点线距离公式求得点到直线的距离，从而得解.【小问1详解】由抛物线定义可知，曲线为抛物线，为抛物线的焦点，则，所以方程为；由，即，又，所以，故椭圆的标准方程.【小问2详解】设，由上述结论知，过点的椭圆的切线方程分别为，因为在两条切线上，所以，即，则点的坐标都满足方程，故直线的方程为，联立，得，解得，所以，而点到直线的距离，所以.21.设为数列的前n项和，．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的关系式，结合累乘法即可得解；（2）利用错位相减法即可得解.【小问1详解】因为，当时，，即；当时，，两式相减，得，整理得，即，所以，当时，也满足上式，所以.【小问2详解】因为，所以，则两式相减得，，所以.【点睛】关键点点睛：熟练掌握数列的相关方法：公式法、累乘法、错位相减法，是解决本题的关键.22.已知双曲线过点，离心率为，斜率为k的直线l交双曲线C于A，B两点，且直线的斜率之和为0．（1）求双曲线C的方程；（2）是否存在直线l，使得是以P为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）利用离心率与双曲线过点得到关于的方程，解之即可得解；（2）假设存在这样的直线，联立直线与椭圆方程得到，从而利用直线的斜率之和为0求得，再由等腰三角形三线合一求得，再检验即可得解.【小问1详解】根据题意，，即，所以，则，因为双曲线过点，所以，即，解得，则.