东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试题（含答案解析）

东北三省三校2023届高三第一次联合模拟考试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={x∈Z,-x-2≤θ},集合B=Ny=Jl-Iog?，,则AB=()

A.[-1,2]B.(1,2]C.{1,2}D.{-1,1,2}

2.己知i为虚数单位，复数Z满足∣z-(3+2i)∣=l,则复数Z对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量非零”,b满足+»),且向量匕在向量°方向的投影向量是;”,

则向量d与匕的夹角是()

πC兀_πC2兀

A.-B.—C.-D.—

6323

4.杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算

法》和《杨辉算法》.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学

的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性

质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等.

第

0行

第

1行

第

2行2

第

3行

第

4行64

第

5行OO

第

6行655

20

第〃-I行ICLC3…c3c"…C合C3ι

第〃行1Cj,G…ɑ…cr2Crɪ

图2

我们借助杨辉三角可以得到以下两个数列的和.

l+l+l+∙∙∙+l=n;

1+2+3+…+C-=Cj

若杨辉三角中第三斜行的数：1,3,6,10,15,…构成数列{%},则关于数列包}叙

述正确的是()

ʌ-4,+4+1=5+1)22

B.an+an+l=n

C.数列｛〃“｝的前〃项和为c：D.数列｛4｝的前〃项和为c3

5.若sin(2a+?+cos2a=G,则tana=()

A∙也B.1C.2-√3D.2+√3

3

6.”阿基米德多面体''这称为半正多面体(semi-regularsolid),是由边数不全相同的正多

边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的

三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面

为正方形的一种半正多面体.已知AB=逑，则该半正多面体外接球的表面积为(

)

2

C.14πD.12π

7.某学校在校门口建造一个花圃，花圃分为9个区域(如图)，现要在每个区域栽种一

种不同颜色的花，其中红色、白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则

它们在不相邻(没有公共边)区域的概率为()

3

cD.

∙i4

8.已知函数"x)=1Io,若关于X的方程"r)=-∕(x)有且仅有四

个相异实根，则实数4的取值范围为()

a∙(α占)b∙(*'+°o)

c∙(0⅛)u(1'+α))D.(0,1)(1,同

二、多选题

9.函数/(x)=ASin(5+6)(其中A,ω,。是常数，A>0,ω>0,~<φ<^)

试卷第2页，共6页

的部分图象如图所示，则下列说法正确的是()

A./(x)的值域为

B./(x)的最小正周期为π

D.将函数/(x)的图象向左平移E个单位，得到函数g(x)=&cos2x的图象

10.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对

称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的

焦点.已知抛物线C∕=8x,O为坐标原点，一条平行于X轴的光线4从点M(5,2)

射入，经过C上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线&射出，经过点M

A.∖PQ∖=8

B.若延长尸。交直线x=-2于£>,则点。在直线乙上

C.MQ平分4PQN

D.抛物线C在点P处的切线分别与直线入尸P所成角相等

11.已知实数m8满足点-访+b=0(α>l),下列结论中正确的是()

A.b>aB.b≥4

C.-+~>∖D.e”+^-+2α>e"+Z+2匕

abeαe6

12.已知异面直线”与直线b,所成角为60,平面α与平面夕所成的二面角为80,直

线a与平面α所成的角为15,点P为平面a、夕外一定点，则下列结论正确的是()

A.过点P且与直线。、匕所成角均为30的直线有3条

B.过点P且与平面a、夕所成角都是30的直线有4条

C.过点p作与平面a成55角的直线，可以作无数条

D.过点尸作与平面a成55角，且与直线。成60的直线，可以作3条

三、填空题

13.(2x-y)6的二项展开式中工2寸的系数是.(用数字作答)

14.若/(X)=黄^+1为奇函数，则实数。=.

15.已知圆C：(X-I)2+(y—4)2=4,直线y=匕+1交圆C于M、N两点，若一CMN的

面积为2,则实数&的值为.

16.已知椭圆C：♦+点∙=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳、尸2,点A、B在椭圆C

上，满足A月WE=0,AF^λFβ,若椭圆C的离心率ee当当,则实数/取值

范围为.

四、解答题

17.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.从下面①②③中选取两个作为条

件，证明另外一个成立.

①/-c?=机.；(2)⅛+⅛cosA=>∕3asinB；③SinA=石SinC.

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

18.已知等差数列｛4｝的首项［=1,记｛%｝的前〃项和为S“，S4-2a汹+14=0.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)若数列｛q｝公差d>l,令CIl=,求数列｛%｝的前八项和7；.

19.如图，在四棱锥P—ABCO中，底面A3CO为菱形，ACYPE,PA=PD,E为梭

AB的中点.

试卷第4页，共6页

(1)证明：平面R4D，平面A8C£＞；

(2)若∕¾=AΣ＞,ZBAD=60°,求二面角E-Pz)-A的正弦值.

20.某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了了解学生参与活动的情况，随机

调查了100名学生一个月(30天)完成锻炼活动的天数，制成如下频数分布表：

天数10,5](5,101(10,15](15,20](20,25J(25,30J

人数4153331116

(1)由频数分布表可以认为，学生参加体育锻炼天数X近似服从正态分布N(〃,4),其

中〃近似为样本的平均数(每组数据取区间的中间值)，且＜τ=6.1,若全校有3000名学

生，求参加“每天锻炼1小时''活动超过21天的人数(精确到1)；

(2)调查数据表明，参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中有30名男生，

天数在［0,15］的学生中有20名男生，学校对当月参加“每天锻炼1小时'’活动超过15天

的学生授予“运动达人''称号.请填写下面列联表：

活动天数

性别合计

[0,15](15,30]

男生

女生

合计

并依据小概率值。=0.05的独立性检验，能否认为学生性别与获得“运动达人''称号有关

联.如果结论是有关联，请解释它们之间如何相互影响.

附：参考数据：P("-b≤X≤"+cr)=0.6827；P(∕7-2σ≤X≤∕7+2σ)=0.9545；

Pgb≤X≤…)=0.9973〃=记尚篙E

n=a+b+c+d^

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

22

21.已知双曲线C：*■一卷=l(a>0∕>0)过点A(3,-&),且渐近线方程为χ±0y=O.

(2)如图，过点8(1,0)的直线/交双曲线C于点M、M直线MA、NA分别交直线x=l于

点尸、Q,的值.

22.已知函数”χ)理e2，+g-2)e*-：,广⑺为函数/(x)的导函数.

⑴讨论广(X)的单调性;

⑵若HX2(入<&)为/(x)的极值点，证明：々一为<∣n(3-α)-lnα+(-l.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.C

【分析】根据题意，先将集合A,B化简，然后根据交集的运算即可得到结果.

［详解］因为A={xeZk2-χ-2≤θ}={xeZ∣-l≤x≤2}={T,O,l,2}

8=卜Iy=JlTog2*b贝IlITOgy≥0且x>0,则可得3={x∣0<x≤2}

所以AB={1,2}

故选：C

2.A

【分析】根据复数模的几何意义得出Z对应点的轨迹，从而可判断其所在的象限.

【详解】因为∣z-(3+2i)∣=l,

所以点Z的轨迹是以(3,2)为圆心，1为半径的圆,

所以复数Z对应的点在第一象限.

【分析】根据题意结合数量积的运算律以及投影向量运算求解.

rrr

［详解］∙.∙(α+2⅛)l(a-2⅛),plιj(α+2fe)∙(ɑ-2⅛)=α2-4⅛2=O,即同=2忖,

又Y向量6在向量”方向的投影向量

r/r\

(MCOSG%="(谪HloSG林斗，

则geosk,61=；,即cos(a,/?)=；,

且(a,"∈［0,π］,贝Ma,。)=W,

即向量d与人的夹角是g∙

答案第1页，共18页

故选：B.

4.A

【分析】确定4,=4。，计算%+%“=(〃+I)2,得到A正确B错误，取特殊值排除CD

得到答案.

【详解】q,=ι+2+3+∙∙∙+Cι+C;=^^.

对选项A：all+an+t=〃(丁)+(〃+21("+1)=(〃+])2,正确；

2

对选项B：an+αn+l="(7)+("+21("+I)=(rt+1),错误；

对选项C：当〃=3时，ɑ1+α2+a3=10≠C3=1,错误；

对选项D：当九二3时，al+a2+a3=∖0≠C}=6f错误；

故选：A

5.C

【分析】利用两角和的正弦公式，化简已知等式，求出角。，再利用两角差的正切公式，求

出角α的正切值.

【详解】因为sin(2a+1)+cos2o=G,

展开可得Sin2acosɪ+cos2asinɪ+cos2a=ʌ/ɜ,

00

所以G(JSin2α+坐∙cos20)=G,所以Gsin(2α+ɪ)=ʌ/ɜ,

ɔ

即sin(2α÷∣)=1,解得2α十1=>2E,A∈Z,

gpa=ɪ+⅛π,⅛∈Z；

tanatan(ɪ+⅛π)=tan专次∈Z,

tan⅞-tan

因为tan含=tang-1)=——ɪ-~与

1234ι+tan*tan与

34

所以ta喟=痣=2-仄

故选：C

6.A

【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心0,进而可

答案第2页，共18页

求球的半径和表面积∙

【详解】如图，在正方体EFG"一与与GK中，取正方体、正方形E由的中心。、。一

连接E£,OQ,。AO①,

VA,B分别为ElHt,的中点，则E1G1=2AB=3√2,

；•正方体的边长为$=3,

故Oq=«4=1,可得OA="00：+0.=还

22

根据对称性可知：点。到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为

。，半径R=OA=述，

2

故该半正多面体外接球的表面积为S=4πN=4π×=18π.

故选：A.

【分析】每个区域种不同颜色的花，有A；种方法，红色、白色种在相邻区域有9xA；xA；种

方法，通过对立事件求出正确答案.

【详解】每个区域种不同颜色的花，有A；种方法；这9个区域中相邻的区域有9个(13;23;

34;26;48;56;67;78;89),所以红色、白色种在相邻区域有9χA；χA；种方法，所以红色、白

色在不相邻(没有公共边)区域的概率为1-变与四=1,

A；4

故选：D.

8.D

【分析】利用函数图象的对称性，将关于X的方程"r)=-f(x)有且仅有四个相异实根,

答案第3页，共18页

转化为关于X的方程/(r)=-"x)在(0,+8)有且仅有两个相异实根，结合函数的图象，数

形结合，求出女的取值范围.

(x+l)lnx,x>O

【详解】/(x)=∙

Ax-In(-x)+A：,%<O

(-X+l)ln(-x),x<O(X-I)In(-x),x<O

∙∙∙∕(-x)=—f(T)=

-kx-∖nx+k,x>O⅛r+lnx-⅛,x>O

关于X的方程/(-X)=-/(X)有且仅有四个相异实根,

根据对称性知，》>0时，/(司=-/(-力有且仅有两个相异实根，

即(x+l)InX=履+InxT在(O,+∞)上有两个不相等的实数根，

化简得：MX-I)=XlnX.

令g(x)=xlnx,g'(x)=lnx+l,

由g'(x)=lnx+l>0,得x>,,由短(X)=InX+IvO,得0<x<，,

ee

∙∙∙g(χ)在(0,』)为减函数，(',+◎为增函数，

ee

Xg(I)=O,OVXVI时,lnx<0,Λg(x)=xlnx<O,

x>l时，InX>O,.∙.g(x)=xlnx>O,g(x)=xlnx的简图如图所示:

直线/：y=Z(x-1)恒过点(1,0),.g'(X)=InX+1,.∙.Z=g'⑴=1,

;"=1时，此时直线/：y=Mx—1)相切，直线/：y=z(x—i)与曲线g(χ)=χinx只有一个公共

点，此时方程Nx-1)=XInX在(O,+∞)上有一个实数根，不符合题意；

由图可知当0＜幺＜1或人＞1时，直线Ly=%(x-1)与g(x)=xlnx均有两个公共点，

即方程Z(x-1)=XlnX在(0,+8)上有两个不相等的实数根，

答案第4页，共18页

∙∙.关于X的方程"-X)=-4X)有且仅有四个相异实根时，Z的取值范围为(0,1)51,+∞)∙

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把方程有四个根的问题转化为(0,+8)上有两个根

的问题，通过构造函数，结合导数研究出函数的性质，结合简图找出临界状态，从而得到解

答.

9.AB

【分析】对A、B、C：根据函数图象求AQ-,即可分析判断；对D：根据图象变换结合

诱导公式求解析式，即可得结果.

【详解】对A：由图可知：A=即/(x)=3sin(azr+e),

Vsin(0>x+⅞9)∈[-l,l],则f[x)=>∣2s∖n[ωx+φ)e^->!2,>[^,

故的值域为卜夜，夜]，A正确；

T冗

对B：由图可得：v=τ7J-^Tr=√π.则T=τr,B正确；

41234

_2π

对C：TT二时二兀，且〃>>0，可得0=2,

，/(x)=0sin(2x+"),

由图可得：/(x)的图象过点(碧，-夜)

BpV2sin^2×-j-^-÷¢?^=—>/2,贝IJSinT=τ,

-π兀一r,口2π7π5π

sr1.--<<p<τ:'可得下<2+。<牙，

ZZɔoɔ

可得7+9=与，则*=g,C错误；

623

对D：可得:F(X)=0sin(2x+1),

将函数/(x)的图象向左平移T个单位,得到

g(x)=f1x+e)=0sin20+弓)+]=0Sin^2x+^+∙^=>∕2cos^2x+^,

D错误；

故选：AB.

10.BD

答案第5页，共18页

【分析】分别求出尸、。的坐标，利用焦点弦公式IPO=与+w+P求出弦长可得选项A错；

求出直线的方程和点。的坐标，可得选项B正确；分别求出直线M。和直线PQ的倾斜角

a、夕的正切，可得MQ不能平分NPQV,可得C错误；求出抛物线在P处的切线方程及

其斜率，再求出切线与直线4及直线FP所成角的正切值，可得选项D正确.

【详解】由题意可得明,2),又因为F(2,0),所以直线PF的斜率IG-3.

4V=.

直线PF的方程为：y=--(x-2),联立4,得2∕-17X+8=0,

3y=--(x-2)

175

解得%=；，々=8,所以Q(8,-8).从而|「。|=玉+々+4=三，所以A选项错误；

又直线Po的斜率原0=4,所以直线尸。的方程为：y=4x,延长尸O交直线X=-2于。，则

θ(-2,-8).因为直线4的方程为：旷=-8,所以点O在直线4上，所以B选项正确；

设直线MQ的倾斜角为α,直线PQ的倾斜角为夕，则tanα=洛=-；＜0,tan尸=一：,

可得NMQN为钝角，M。不能平分NPQN,所以C选项错误；

设抛物线在P处的切线方程为:y-2"(x-g)伏≠0),

y2=8X

联立C√1),得价2-8y+16-4Z=0,

y-2=k∖x--∖

由△=64—4A(16—4幻=O,解得&=2.

所以抛物线在P处的切线方程为:y=2x+1,则该切线与直线4所成角的正切值为2.

2+-

k-kτp3

设该切线与直线。所成角为凡则tan。==2.所以该切线与直线4所成

1+kkFPl-2×-

3

角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同，即抛物线。在点尸处的切线分别与直

线4、JFP所成角相等，所以D选项正确.

故选：BD.

H.ABD

答案第6页，共18页

【分析】根据题意可得6=金=(a-l)+」一+2=α+J-+l,对A：根据不等式性质分析

a-↑a-∖a-∖

运算；对B：利用基本不等式分析运算；对C：换元结合二次函数分析运算；对D：构建

利用导数结合基本不等式判断原函数的单调性，即可得结果.

【详解∏由Q2_"+人=々2_人(々_])=0(。>]),

可得6上=ST)2+2(α7)+"f+J-+2=α+J],

a-∖a-1a-∖a-∖

对A：丁4>1,贝∣J------H1>O,

a-∖

故力=0+∖η∙+l>α,A正确；

对B：由选项A可得：a-∖>0,⅛=(^-l)+—ʒ

当且仅当“-1=一1，即a=2时，等号成立，

a-1

故A≥4,B正确；

令L=re(0,l),则L+：=2r_»=_(f_i)2+i<],C错误；

aab

对D：eb+-+2a>ea+^-+2b,等价于e”-[-26>e"-'-24,

eaeeea

构建/(X)=e'-^-2Λ-(%>1),则/(力=e*+J-2>2JeQ-2=0当x>1时恒成立，

则f(x)在(l,+∞)上单调递增，

由选项A可知：b>a>l,则/(b)>∕(α),

Hlth+—+2a>e<'+—+2b,D正确；

故选：ABD.

12.BC

【分析】根据选项30=%,可知A只有1条，根据30<叫=40,30<幽旦=50,

222

可知B有4条，做以P为顶点，且与圆锥中轴线夹角为35,且底面在α上的圆锥可知C有

无数条，同理做与圆锥中轴线夹角为60的母线可知该直线不存在，选出选项即可.

【详解】解：因为异面直线“与直线匕所成角为60,

所以过点P与直线6所成角均为30的直线只有1条，故选项A错误；

答案第7页，共18页

因为平面α与平面夕所成的二面角为80,

则过点尸与平面α1所成角都是阻=40和%幽=50的直线各有一条加，〃,

22

若过点P与平面%"所成角都是30,则在孙〃的两侧各有一条，

所以共2x2=4条，故B正确；

因为点P为平面α外，且过点P作与平面α成55角的直线，

则在以尸为顶点，底面在ɑ上的圆锥的母线，如图所示：

所以可以做无数条，故选项C正确；

过点P作与平面α成55角，形成以尸为顶点，

与圆锥中轴线夹角为35,且底面在α上的圆锥的母线，

与直线。成60的直线，形成以尸为顶点，

且与圆锥中轴线夹角为60的圆锥的母线，如图所示：

因为角度不同，因此两个圆锥的母线没有重合母线，故不能做出满足条件的直线，故D错

误.

故选：BC

【点睛】方法点睛：该题考查立体几何综合应用，属于难题，关于角度的方法有：

(1)异面直线所成角：平移异面直线至有交点，则异面直线所成角即为平移后相交直线所

成角；

(2)线面角：过线上一点做面的垂线，连接垂足及线与面的交点形成线段，则线与该线段

所成角即为线面角；

(3)面面角：过面面交线上一点在两个面中分别做交线的垂线，则两垂线的夹角即为面面

角.

13.60

答案第8页，共18页

【分析】运用二项式的通项公式直接进行求解即可.

【详解】二项式(2x—的通项公式为Ti=Q∙(2xfr∙(-y)∖

令z∙=4,所以尸炉的系数是C}22.(T)4=60,

故答案为：60

14.1

【分析】根据奇函数定义结合指数运算求解.

【详解】若〃X)=用+1为奇函数,则/(χ)+f(τ)=0,

故d+1+&17+l)=今4-"华+2=-S+l)+2=0,解得α=l∙

IeX-I)IeT-1)eA-let-l'7

故答案为：1.

15.-7或1##1或-7

【分析】利用点到直线的距离公式和勾股定理，求出IMNI,再利用三角形面积公式建立方

程，求出&的值.

【详解】圆C：(x-l)2+(y-4)2=4,圆心C(l,4),半径r=2,

设圆心C(l,4)到直线y=kx+∖的距离为"，则d为,CMN的边MN上的高,

由点到直线的距离公式得，JT+1L,

√⅛2+1√⅛2+l

由勾股定理得：IMNl=2√r2-J2=2√4-rf2,

设一CWN的面积S,则S=JMNlM=2,

所以‘x2"=2,

2

两边平方得，(4-/)/=4,即/-4∕+4=0,

所以屋=2,

因为"二悬'所以(舄

化简可得(A-3)2=2(公+1),

所以公+6Z-7=0,

所以k=—7或A=I.

答案第9页，共18页

故答案为：-7或1.

16.[3,5]

【分析】先写出点耳、A的坐标，再利用AK=九片5求得点8的坐标，将点8的坐标代入椭

圆C方程即可化简出实数2与离心率。的关系，从而得到实数4取值范围.

【详解】根据题意知E(-c,O),由碣由E=O得整_L片亮,

(b2∖

不妨设点A在第一象限，则点A的坐标为G-.

Ia)

由知2>0,且卜2c,-----l=2(xβ+c,ye),

b2]

从而得到点8的坐标为一

将点B的坐标代入椭圆C方程得(手一][^⅛]_

-ai+~b^=l

整理得(/1+2)2e2+l-e2=∕2,即[卜2-1)2+3«2+1](/1+1)=0,

所以∕l=Q⅛∙=3-3.

∖-e2l-e2

又因为ee坐,半，所以3≤±-3≤5,即实数4取值范围为[3,5].

JZ

故答案为：[3,5.

17.答案见解析.

【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明

即可.

【详解】选①②作条件，③做结论

由②，得：sinB+sinBcosA=>∕3sinAsinB,JfijsinB>O,

所以1+cosA=TisinA，BPʌ/ɜsinA-cosA=1,

根据辅助角公式可得，sin(Λ-^)=iO<A<π,

o2

所以，A=1,贝U/=〃+。2-2^ccosA=/+c?-be,

答案第10页，共18页

22

由①知，a=c+bei代入可得，b=2c9所以〃=Gc,

即：SinA=百sinC.

选①③作条件，②做结论

由③，得：a=ʌ/ɜe,a2=c2+be?

所以=c?+be,贝∣Jh=2c,

所以CoSAJ+：一〃=!，0<A<π,所以A=g,

Ibc23

由③知，sinA=ʌ/ɜsinC,

所以SinC=当g=:,所以c=g,所以B=1,

y3，62

所以，b-∖-bcosA=2c+c=3c=∖[3×ʌ/ɜe=∖∣3a=百。sinB.

选②③作条件，①做结论

由②，得：sinB+sinβcosA=ʌ/ɜsinAsinβ,而sin5>O,

所以l+cosA=6sinA,即GSinA-COSA=1,

根据辅助角公式可得，sin(A-^=;,所以，A='

623

由③，sinA=ʌ/ɜsinC»

所以SinC=^^∙=:,得：C=γ,所以3=1,

√3262

所以SinA=bSinC,sin8=2sinC,则α=Gc,b=2c,

即：OI-Cl=be.

18.(I)Q〃=2〃-1或。ZI=一2〃+3

⑵T=l-(2"+])∙2"

【分析】(1)根据题意结合等差数列的通项公式运算求解；

(2)根据题意可得CL右怒泊=UF-而K，利用裂项相消法

求和

【详解］(1)由题意可得：54-2α2¾+l4=4αl+6√-2(t∕+Λl)(2^+α,)+l4=4+ω-2(rf+l)(2J+l)+l4=0,

答案第11页，共18页

整理得屋=4,则d=±2

可得。“=1+2(〃-1)二2〃-1或。〃=l-2(n-l)=-2n+3,

故。〃=2〃-1或%=-2∕z+3.

(2)VJ>l,由(1)可得d=2q=2"l,

人J%一(2n-l)(2w+l)∙2rt-(2w-1)∙2π-*-(2π+l)∙2n，

故T=q+C2+G+Lc«=(1^3×2,M3×2,^5×22}+L+((2w-l)∙2π,-(2n+l)∙2,']=ɪ~(2∕z+l).2,t

所以I=I-(2∕J+1)∙2”.

19.(1)证明见解析

⑵当

【分析】(1)根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系，利用空间向量求二面角.

【详解】(1)取AZ)的中点0,连接。P,08,820E,

：底面ABCO为菱形，则AC工BD,

又∙.∙0,E分别为AO,AB的中点，则OEBD,

故ACLOE,

注意到ACOE∖PE=E,OE,PEu平面POE,

则ACj_平面PoE,

「OEu平面PO£,则ACj_OE,

关：PA=PD,E为棱AB的中点，则ADLOE,

ACIAD=A,AClAo=A,4CAE)U平面A88,

OEL平面ABCQ,

且PoU平面PAD,故平面RV5_L平面ABCD.

(2)若P4=4),ZBAD=60°,则4ABO为等边三角形，且。为Ao的中点,

故。LAz),

由(1)得，如图所示建立空间直角坐标系。一孙z,

设AD=2,则P(0,0,√3),E(^,-,O),D(-I,O,O),

22

答案第12页，共18页

ULII/L∖uuβl(3出、

可得OP=(1,0,6"学0〉

/7∙DP=X÷∖∕3Z=O

设平面PDE的法向量〃=(χ,y,z),则,n∙DE=-x+^-y=O

22

取X=百，则>=-3,z=-l,

所以〃=(∖∕3,-3,-l),

取平面PDA的法向量加=(0,1,0),

则M温>=4=√==-亚

∖n∖∖fn∖\/1313

设二面角E—PO-A为e∈0，|

则cosθ=ɜ>ʌɜ>可得Sine=71-cos2θ=,

1313

所以二面角E-Pz)-A的正弦值为独Z

13

20.(1)476A

(2)答案见解析

【分析】(1)利用频数分布表,求得样本的平均数,从而写出X近似服从正态分布X-M14.9,6,1),

利用参考数据求得参加“每天锻炼1小时”活动超过21天的人数;

(2)根据频数分布表和已知条件，完善列联表，根据独立性检验的公式，求出学生性别与

获得“运动达人''称号是否有关联和它们之间如何相互影响.

【详解】(1)由频数分布表知

4x2.5+15x7.5+33x12.5+31x17.5+11x22.5+6x27.5

P==14.9,贝IJX-N(1496.1),

IOO

答案第13页，共18页

P(4-<τ≤X<"+σ∙)=0.6827,

r.P(X>21)=P(X>14.9+6.1)==0.15865,

2

.∙.3000×0.I5865=475.95≈476,

参加''每天锻炼1小时''活动超过21天的人数约为476人.

(2)由频数分布表知，锻炼活动的天数在［0,15］的人数为：4+15+33=52,

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有20名男生，

参加“每天锻炼1小时活动的天数在［0,15］的学生中有女生人数：52-20=32

由频数分布表知，锻炼活动的天数在(15,30］的人数为31+11+6=48,

参加“每天锻炼1小时”活动的天数在(15,30］的学生中有30名男生，

二参加“每天锻炼1小时”活动的天数在［0,15］的学生中有女生人数：48-30=18

列联表如下：

活动天数

性别合计

[0,151(15,30]

男生203050

女生321850

合计5248100

零假设为“。：学生性别与获得“运动达人”称号无关

IoOX(30>32-20xl8尸

Z2≈5.769>3.841

50×50×52×48

依据α=0.05的独立性检验，我们推断不成立，即：可以认为学生性别与获得“运动达人”

称号有关;

而且此推断犯错误的概率不大于0.05,根据列联表中的数据得到，男生、女生中活动天数超

过15天的频率分别为：三=0.6和2=0.36,可见男生中获得“运动达人”称号的频率是女

生中获得“运动达人''的称号频率的瞿≈L67倍，于是依据频率稳定与概率的原理，我们可

以认为男生获得“运动达人''的概率大于女生，即男生更容易获得运动达人称号.

答案第14页，共18页

21.(1)—-y2=l

3

(2)1

【分析】(1)根据渐近线方程设双曲线C的方程为:-y2=zl(z^o),代入点AG一夜),

运算求解即可得结果；

(2)设/：犬="+1,加(“,凹),"(々,%)，根据题意求点/3，。的坐标，结合韦达定理证明

W+%=0,即可得结果，注意分类讨论直线是否与N轴垂直.

【详解】(1)：双曲线C的渐近线方程为X±√5y=(),则可设双曲线C的方程为

2

ɪ-/=Λ(Λ≠O),

代入点A(3,-√Σ),即天-卜尤)2=1=几，

故双曲线C的方程为二-丁=]

3

2

(2)由双曲线C的方程为:-V=i的方程可得.=Gb=Lc=行了'=2,

由题意可得点3(1,0),则有:

当直线/与y轴垂直时，则〃卜6,0)”(6,()),

可得直线=令x=l,则),=-0,

即点小,一半)，

同理可得：点Q(I,用，

故IPM=IBoI=半，即踢=1；

当直线/不与y轴垂直时，设直线/：x=)+l,M(XQ),N(w,%),

x=ty+∖

联立方程/2消去X得(尸-3)V+2)-2=0,

-------V—1

I3

答案第15页，共18页

nla„2t2

则A>O,y+必=一τr~?y+%=一，

T—JI—ɔ

可得直线AM:y=入土变(x—3)—√Σ=江变(x-3)-a,

ɪ,-3以一2'

令―记―给

即点hfc⅛]

以-2

M+2%

同理可得：点。I,-1---------TT-

ty-2

\2/

(√2z+2)yl("+2)%_("+2)[(%一2)%+(02-2)y]_+2)[29跖-2(y∣+%)]

伤,-,-

ZyI-2仇一-22(θ∣2)(ry2-2)(θ∣2)(fy2-2)

(万+2)(一4/4/

+f2-3

=0'

(ryl-2)(ry2-2)

∣P3∣

即点p，Q关于X轴对称，故户同=忸。，即福=1；